東京大学 工学系研究科 航空宇宙工学専攻 2021年8月実施 流体力学（午後）

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• 东京大学
• 可压缩流动
• 控制体动量守恒

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

原題：2022年度専門科目（午後）

流体力学（午後）

図1のように、はじめシリンダー内で静止していた熱量的完全気体があり、等速 $u_p$ でピストンを押して圧縮したところ、気体内に等速 $u_s$ で右に進む垂直衝撃波が発生した。ここで速度 $u_p$ および $u_s$ は実験室系から見た値であり、また気体の比熱比を $\gamma$ として以下の問いに答えよ。

第1問 衝撃波静止系では一般に以下の3つの式が成り立つ。

$$\rho_1u_1=\rho_2u_2$$

$$p_1+\rho_1u_1^2=p_2+\rho_2u_2^2$$

$$\frac{a_1^2}{\gamma-1}+\frac{u_1^2}{2} =\frac{a_2^2}{\gamma-1}+\frac{u_2^2}{2}$$

ただし、$p_1,\rho_1,a_1,u_1$ はそれぞれ衝撃波静止系で見たときの上流側の気体の圧力、密度、音速、速度であり、下流での対応する物理量は添字2で表す。図1の系において、$u_1$ と $u_2$ をそれぞれ $u_p$ と $u_s$ を用いて表せ。

第2問 $\rho_2/\rho_1$ を $p_2/p_1$ と $\gamma$ のみを用いて表せ。

第3問 衝撃波マッハ数を $M_s=u_s/a_1$、ピストンマッハ数を $M_p=u_p/a_1$ とするとき、$M_s$ を $M_p$ と $\gamma$ のみを用いて表せ。また、$M_p$ を $p_2/p_1$ と $\gamma$ のみを用いて表せ。

第4問 衝撃波は右側の壁で反射した後、実験室系から見て左向きに等速 $u_r$ で進んだ。この時、衝撃波静止系から見た上流と下流の気体の速度をそれぞれ $u_p$ と $u_r$ を用いて表せ。

第5問 反射した衝撃波と右側の壁の間の気体の圧力を $p_3$ とするとき、$p_3/p_2$ を $p_2/p_1$ と $\gamma$ のみを用いて表せ。

题目描述

流体力学（下午）

如图1，气缸内有初始静止的量热完全气体。以恒定速度 $u_p$ 推动活塞压缩气体，气体内产生以恒定速度 $u_s$ 向右传播的正激波。$u_p,u_s$ 均在实验室坐标系中测量，气体比热比为 $\gamma$。回答下列问题。

第1问 在激波静止系中，一般满足以下三式：

$$\rho_1u_1=\rho_2u_2,$$

$$p_1+\rho_1u_1^2=p_2+\rho_2u_2^2,$$

$$\frac{a_1^2}{\gamma-1}+\frac{u_1^2}{2} =\frac{a_2^2}{\gamma-1}+\frac{u_2^2}{2}.$$

其中 $p_1,\rho_1,a_1,u_1$ 分别为在激波静止系中观察的上游气体压力、密度、声速和速度，下游对应物理量以下标2表示。对图1系统，分别用 $u_p,u_s$ 表示 $u_1,u_2$。

第2问 仅用 $p_2/p_1$ 和 $\gamma$ 表示 $\rho_2/\rho_1$。

第3问 定义激波马赫数 $M_s=u_s/a_1$ 和活塞马赫数 $M_p=u_p/a_1$。仅用 $M_p,\gamma$ 表示 $M_s$；再仅用 $p_2/p_1,\gamma$ 表示 $M_p$。

第4问 激波在右壁反射后，以实验室系中向左的恒定速度 $u_r$ 传播。分别用 $u_p,u_r$ 表示在反射激波静止系中观察的上游、下游气体速度。

第5问 设反射激波与右壁之间的气体压力为 $p_3$，仅用 $p_2/p_1,\gamma$ 表示 $p_3/p_2$。

Kai

第1問

入射衝撃波の静止系では気体は左へ流れる。その速さは

$$\boxed{u_1=u_s,\qquad u_2=u_s-u_p}.$$

第2問

$P=p_2/p_1,\ q=\rho_2/\rho_1$ とおく。質量保存から $u_2=u_1/q$、運動量保存から

$$\frac{\rho_1u_1^2}{p_1}=\frac{P-1}{1-1/q}.$$

$a_i^2=\gamma p_i/\rho_i$ をエネルギー式に用いると

$$\frac{\gamma}{\gamma-1}\left(\frac Pq-1\right) =\frac12(P-1)\left(1+\frac1q\right).$$

整理して

$$\boxed{q=\frac{(\gamma+1)P+\gamma-1}{(\gamma-1)P+\gamma+1}}.$$

第3問

前問と運動量式より $M_s^2=[(\gamma+1)P+\gamma-1]/(2\gamma)$。また

$$M_p=M_s\left(1-\frac1q\right)=\frac{2(M_s^2-1)}{(\gamma+1)M_s}.$$

正の根を選んで

$$\boxed{M_s=\frac{\gamma+1}{4}M_p+\sqrt{1+\left(\frac{\gamma+1}{4}M_p\right)^2}}.$$

圧力比による表示は

$$\boxed{M_p=(P-1)\sqrt{\frac{2}{\gamma[(\gamma+1)P+\gamma-1]}}}.$$

第4問

反射前の状態2は実験室系で右向きに $u_p$、壁側の状態3は静止している。左向きに動く反射衝撃波から見ると両者とも右向きで、

$$\boxed{u_{\rm upstream}=u_p+u_r,\qquad u_{\rm downstream}=u_r}.$$

第5問

$Q=p_3/p_2$ とする。反射波の前後の速度差も $u_p$ であるから、第3問を状態2の音速 $a_2$ で用いて

$$\left(\frac{u_p}{a_2}\right)^2 =\frac{2(Q-1)^2}{\gamma[(\gamma+1)Q+\gamma-1]}.$$

一方、$a_2^2/a_1^2=P/q$ なので

$$\frac{(Q-1)^2}{(\gamma+1)Q+\gamma-1} =\frac{(P-1)^2}{P[(\gamma-1)P+\gamma+1]}.$$

この二次方程式の根は $Q=1/P$ と

$$\boxed{\frac{p_3}{p_2}=\frac{(3\gamma-1)P-(\gamma-1)}{(\gamma-1)P+\gamma+1}}.$$

反射衝撃波は圧縮波なので $P>1,Q>1$ となる後者を選ぶ。