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東京大学 工学系研究科 航空宇宙工学専攻 2021年8月実施 固体力学（午前）

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

原題：2022年度専門科目（午前）

固体力学（午前）

当問題では微小変形の球対称問題を考える。平衡方程式は体積力を無視できる場合、

dσrdr+2(σr−σθ)r=0(1)\frac{d\sigma_r}{dr}+\frac{2(\sigma_r-\sigma_\theta)}{r}=0\tag{1}

ひずみと変位の関係は、

εr=dudr,εθ=ur(2)\varepsilon_r=\frac{du}{dr},\qquad \varepsilon_\theta=\frac ur\tag{2}

と表すことができる。ここに、rr は中心からの距離、σr,σθ\sigma_r,\sigma_\theta はそれぞれ半径方向、周方向の応力、εr,εθ\varepsilon_r,\varepsilon_\theta はそれぞれ半径方向、周方向のひずみ、uu は半径方向の変位である。

第1問 εr,εθ\varepsilon_r,\varepsilon_\theta が満足すべき適合条件式を求めよ。

第2問 フックの法則が成り立つ弾性体では、A,BA,B を任意の定数として、応力の一般解が次式で表されることが知られている。

σr=A+2Br3,σθ=A−Br3(3)\sigma_r=A+\frac{2B}{r^3},\qquad \sigma_\theta=A-\frac B{r^3}\tag{3}

この式が (1) 式の平衡方程式を満足することは明らかである。いま、ヤング率を EE、ポアソン比を ν\nu として、球対称問題におけるフックの法則を書き下し、(3) 式が第1問で求めた適合条件式を満足することを示せ。

以下では半径 aa の球形の空孔を有する物体を考える。この物体はミーゼスの降伏条件に従う弾完全塑性体で、弾性変形時のヤング率を EE、ポアソン比を ν\nu、単軸引張時の降伏応力を YY とする。また、aa は物体の大きさと比べて十分に小さいとする。ここに、「ミーゼスの降伏条件に従う弾完全塑性体」とは、相当応力 σeq\sigma_{\mathrm{eq}} が YY になると降伏し、塑性変形域内では σeq=Y\sigma_{\mathrm{eq}}=Y（一定値）となることを意味する。なお、相当応力 σeq\sigma_{\mathrm{eq}} は、3つの主応力を σ1,σ2,σ3\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3 として、次式で定義される。

σeq=12(σ1−σ2)2+(σ2−σ3)2+(σ3−σ1)2(4)\sigma_{\mathrm{eq}}=\frac1{\sqrt2} \sqrt{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}\tag{4}

第3問 空孔内で pp なる内圧が作用するとき、弾性変形時における応力分布を求めよ。また、pp を徐々に大きくする場合、降伏が始まるときの pp の値（pYp_Y とおく）を求めよ。

第4問 p>pYp>p_Y のとき、弾塑性境界を r=cr=c とすると、a≤r≤ca\le r\le c の領域は塑性変形域、r≥cr\ge c の領域は弾性変形域となる。r=cr=c における σr\sigma_r の値を求めよ。

第5問 第4問で p=Yp=Y のとき、cc の値、および、a≤r≤ca\le r\le c と r≥cr\ge c の各領域における応力分布を求めよ。

第6問 p=Yp=Y の状態から pp を零にしたときの残留応力分布を求めよ。ただし、バウシンガー効果は考慮しなくてよい。

第7問 この物体がトレスカの降伏条件に従う弾完全塑性体の場合、第3問～第6問の結果はどうなるかを理由とともに簡単に述べよ。

题目描述​

固体力学（上午）

考虑微小变形的球对称问题。忽略体积力时，平衡方程为

dσrdr+2(σr−σθ)r=0.(1)\frac{d\sigma_r}{dr}+\frac{2(\sigma_r-\sigma_\theta)}{r}=0.\qquad(1)

应变与位移的关系为

εr=dudr,εθ=ur.(2)\varepsilon_r=\frac{du}{dr},\qquad \varepsilon_\theta=\frac ur.\qquad(2)

其中 rr 为到中心的距离；σr,σθ\sigma_r,\sigma_\theta 分别为径向、周向应力；εr,εθ\varepsilon_r,\varepsilon_\theta 分别为径向、周向应变；uu 为径向位移。

第1问 求 εr,εθ\varepsilon_r,\varepsilon_\theta 应满足的相容条件。

第2问 对满足胡克定律的弹性体，已知应力通解为

σr=A+2Br3,σθ=A−Br3,(3)\sigma_r=A+\frac{2B}{r^3},\qquad \sigma_\theta=A-\frac B{r^3},\qquad(3)

其中 A,BA,B 是任意常数。显然它满足平衡方程 (1)。设杨氏模量为 EE，泊松比为 ν\nu，写出球对称问题的胡克定律，并证明式 (3) 满足第1问的相容条件。

以下考虑含半径 aa 的球形空孔的物体。材料是遵从 Mises 屈服准则的弹性理想塑性体，弹性阶段杨氏模量为 EE，泊松比为 ν\nu，单轴拉伸屈服应力为 YY。aa 远小于物体尺寸。“遵从 Mises 屈服准则的弹性理想塑性体”指等效应力 σeq\sigma_{\mathrm{eq}} 达到 YY 时屈服，且在塑性区内恒有 σeq=Y\sigma_{\mathrm{eq}}=Y。三个主应力为 σ1,σ2,σ3\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3，等效应力定义为

σeq=12(σ1−σ2)2+(σ2−σ3)2+(σ3−σ1)2.(4)\sigma_{\mathrm{eq}}=\frac1{\sqrt2} \sqrt{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}.\qquad(4)

第3问 空孔内承受压力 pp 时，求弹性变形阶段的应力分布。若逐渐增大 pp，求开始屈服时的压力 pYp_Y。

第4问 当 p>pYp>p_Y 时，设弹塑性分界为 r=cr=c，则 a≤r≤ca\le r\le c 是塑性区，r≥cr\ge c 是弹性区。求 r=cr=c 处的 σr\sigma_r。

第5问 第4问中，取 p=Yp=Y，求 cc 及 a≤r≤ca\le r\le c、r≥cr\ge c 两区域的应力分布。

第6问 从 p=Yp=Y 卸载到 p=0p=0，求残余应力分布。不必考虑包辛格效应。

第7问 若材料改为遵从 Tresca 屈服准则的弹性理想塑性体，第3～6问的结果会如何变化？简述结果及理由。

Kai​

第1・2問​

u=rεθu=r\varepsilon_\theta を微分して

dεθdr+εθ−εrr=0.\boxed{\frac{d\varepsilon_\theta}{dr}+\frac{\varepsilon_\theta-\varepsilon_r}{r}=0}.

周方向の主応力は二つとも σθ\sigma_\theta であるから

εr=σr−2νσθE,εθ=(1−ν)σθ−νσrE.\varepsilon_r=\frac{\sigma_r-2\nu\sigma_\theta}{E},\qquad \varepsilon_\theta=\frac{(1-\nu)\sigma_\theta-\nu\sigma_r}{E}.

一般解を代入すると

εr=(1−2ν)A+2(1+ν)B/r3E,εθ=(1−2ν)A−(1+ν)B/r3E.\begin{gathered} \varepsilon_r=\frac{(1-2\nu)A+2(1+\nu)B/r^3}{E},\\ \varepsilon_\theta=\frac{(1-2\nu)A-(1+\nu)B/r^3}{E}. \end{gathered}

したがって εθ′=3(1+ν)B/(Er4)\varepsilon_\theta'=3(1+\nu)B/(Er^4)、(εθ−εr)/r=−3(1+ν)B/(Er4)(\varepsilon_\theta-\varepsilon_r)/r=-3(1+\nu)B/(Er^4) であり、適合条件を満たす。対応する変位は

u=(1−2ν)Ar−(1+ν)B/r2E.\boxed{u=\frac{(1-2\nu)Ar-(1+\nu)B/r^2}{E}}.

第3問​

無限遠で応力が消失するので A=0A=0。σr(a)=−p\sigma_r(a)=-p より B=−pa3/2B=-pa^3/2。よって

σr=−pa3r3,σθ=p2a3r3.\boxed{\sigma_r=-p\frac{a^3}{r^3},\qquad\sigma_\theta=\frac p2\frac{a^3}{r^3}}.

主応力が (σr,σθ,σθ)(\sigma_r,\sigma_\theta,\sigma_\theta) なので σeq=∣σθ−σr∣=3pa3/(2r3)\sigma_{\rm eq}=|\sigma_\theta-\sigma_r|=3pa^3/(2r^3)。r=ar=a で最初に降伏し、

pY=2Y3.\boxed{p_Y=\frac{2Y}{3}}.

第4・5問​

弾性域では σr=2B/r3, σθ=−B/r3\sigma_r=2B/r^3,\ \sigma_\theta=-B/r^3。界面で −3B/c3=Y-3B/c^3=Y だから

σr(c)=−2Y3.\boxed{\sigma_r(c)=-\frac{2Y}{3}}.

塑性域では σθ−σr=Y\sigma_\theta-\sigma_r=Y なので、平衡式より σr′=2Y/r\sigma_r'=2Y/r。内圧条件を用いると

σr=−p+2Ylog⁡ra,σθ=−p+Y+2Ylog⁡ra.\sigma_r=-p+2Y\log\frac ra,\qquad \sigma_\theta=-p+Y+2Y\log\frac ra.

界面の連続条件より p=2Y/3+2Ylog⁡(c/a)p=2Y/3+2Y\log(c/a)。p=Yp=Y なら

c=ae1/6.\boxed{c=ae^{1/6}}.

このとき

a≤r≤c:σr=Y(2log⁡ra−1),σθ=2Ylog⁡ra,r≥c:σr=−2Yc33r3,σθ=Yc33r3.\boxed{ \begin{array}{ll} a\le r\le c:&\sigma_r=Y\left(2\log\frac ra-1\right),\quad\sigma_\theta=2Y\log\frac ra,\\[2pt] r\ge c:&\sigma_r=-\dfrac{2Yc^3}{3r^3},\quad\sigma_\theta=\dfrac{Yc^3}{3r^3}. \end{array}}

第6問​

内圧を YY だけ減らす弾性応力増分は Δσr=Ya3/r3, Δσθ=−Ya3/(2r3)\Delta\sigma_r=Ya^3/r^3,\ \Delta\sigma_\theta=-Ya^3/(2r^3)。これを加えて

a≤r≤c:σrres=Y(2log⁡ra−1+a3r3),σθres=Y(2log⁡ra−a32r3),r≥c:σrres=−Y(23e1/2−1)a3r3,σθres=Y2(23e1/2−1)a3r3.\boxed{ \begin{array}{ll} a\le r\le c:&\sigma_r^{\rm res}=Y\left(2\log\frac ra-1+\frac{a^3}{r^3}\right),\\ &\sigma_\theta^{\rm res}=Y\left(2\log\frac ra-\frac{a^3}{2r^3}\right),\\[3pt] r\ge c:&\sigma_r^{\rm res}=-Y\left(\frac23e^{1/2}-1\right)\frac{a^3}{r^3},\\ &\sigma_\theta^{\rm res}=\frac Y2\left(\frac23e^{1/2}-1\right)\frac{a^3}{r^3}. \end{array}}

塑性域の残留応力差は Y[1−3a3/(2r3)]Y[1-3a^3/(2r^3)] で、絶対値は最大でも Y/2Y/2。外側弾性域でも YY 未満であり、除荷中に逆方向の再降伏は生じない。

第7問​

トレスカ条件も、この主応力状態では max⁡∣σi−σj∣=∣σθ−σr∣=Y\max|\sigma_i-\sigma_j|=|\sigma_\theta-\sigma_r|=Y となる。したがって第3～6問の結果はすべて同じである。

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