東京大学 総合文化研究科 広域科学専攻 広域システム科学系 2019年8月実施 総合科目 第3問

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• Two-Body-Central-Force-and-Effective-Potential
• Cyclic-Coordinate-and-Conserved-Momentum

Author

Miyake

Description

質量 $m_1$ の質点 $1$ と質量 $m_2$ の質点 $2$ が、お互いに万有引力で引き合いながら真空中を運動している。 質点 $2$ から質点 $1$ に向かうベクトルを $\vec{r}$ とし、 二つの質点の重心を原点 $\text{O}$ とする座標系を用いる。 二つの質点は同一平面内を運動するが、$\vec{r}$ をその面内の二次元極座標で表し、 動径および方位角成分を $(r, \phi)$ とする。万有引力定数を $G$ とし、

$$\begin{aligned} &\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \\ &M = m_1 + m_2 \end{aligned}$$

として、以下の設問に答えよ。なお必要に応じて、時間微分を $\dot{r}$ や $\dot{\phi}$ などと上付きドットを用いて表しても良い。

(1) 質点 $1$ および質点 $2$ の位置ベクトルを、$m_1$, $m_2$ および $\vec{r}$ 用いて表せ。

(2) 二つの質点の運動エネルギーの総和を $\mu$, $r$ および $\phi$ を用いて表せ。

(3) この系の重力ポテンシャルエネルギーを $\mu$, $M$, $r$ および $G$ を用いて表せ。

(4) $l \equiv r^2 \phi$ が保存量となることを示せ。

(5) 動径成分 $r$ についての運動方程式を、$\mu$, $M$, $r$, $l$ および $G$ を用いて書き下せ。

(6) 系の全エネルギー $E$ を $\mu$, $M$, $r$, $l$ および $G$ で表せ。

(7) $E$が最小値を取る時の $E$ の表式を $\mu$, $M$, $l$ および $G$ を用いて求め、その時の二つの質点の軌道の様子を述べよ。

(8) $\vec{r}=(r_1, \phi_1)$ を質点 $1$ の位置ベクトルとする。 二つの質点のが重力的に束縛されお互いの周りを周回する条件と、その時の $r_1$ と $\phi_1$ の関係を求めよ。

Kai

(1)

題意より、

$$\begin{aligned} m_1 \vec{r}_1 + m_2 \vec{r}_2 = \vec{0} , \ \ \ \ \vec{r} = \vec{r}_1 - \vec{r}_2 \end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned} \vec{r}_1 = \frac{m_2}{m_1+m_2} \vec{r} , \ \ \ \ \vec{r}_2 = - \frac{m_1}{m_1+m_2} \vec{r} \end{aligned}$$

を得る。

(2)

$\vec{r}$ のデカルト座標による成分を $(x,y)$ とすると、

$$\begin{aligned} x &= r \cos \phi \\ y &= r \sin \phi \\ \dot{x} &= \dot{r} \cos \phi - r \dot{\phi} \sin \phi \\ \dot{y} &= \dot{r} \sin \phi + r \dot{\phi} \cos \phi \\ \left| \dot{\vec{r}} \right|^2 &= \dot{x}^2 + \dot{y}^2 = \dot{r}^2 + r^2 \dot{\phi}^2 \end{aligned}$$

である。

よって、求める運動エネルギー $K$ は、

$$\begin{aligned} K &= \frac{1}{2} m_1 \left| \dot{\vec{r}_1} \right|^2 + \frac{1}{2} m_2 \left| \dot{\vec{r}_2} \right|^2 \\ &= \frac{1}{2} \frac{m_1 m_2^2 + m_1^2 m_2}{(m_1+m_2)^2} \left| \dot{\vec{r}} \right|^2 \\ &= \frac{1}{2} \frac{m_1 m_2}{m_1+m_2} \left( \dot{r}^2 + r^2 \dot{\phi}^2 \right) \\ &= \frac{1}{2} \mu \left( \dot{r}^2 + r^2 \dot{\phi}^2 \right) \end{aligned}$$

となる。

(3)

求める重力ポテンシャルエネルギー $U$ は、

$$\begin{aligned} U = - G \frac{m_1 m_2}{r} = - \frac{G \mu M}{r} \end{aligned}$$

である。

(4)

この系のラグランジアン $L$ は、

$$\begin{aligned} L = K - U = \frac{1}{2} \mu \left( \dot{r}^2 + r^2 \dot{\phi}^2 \right) + \frac{G \mu M}{r} \end{aligned}$$

であり、

$$\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial \phi} &= 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}} &= \mu r^2 \dot{\phi} = \mu l \end{aligned}$$

であるから、 $\phi$ に関する運動方程式より、 $l$ が保存量であることがわかる。

(5)

上で求めたラグランジアン $L$ から、

$$\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial r} &= \mu r \dot{\phi}^2 - \frac{G \mu M}{r^2} = \frac{\mu l^2}{r^3} - \frac{G \mu M}{r^2} \\ \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} &= \mu \dot{r} \end{aligned}$$

であるから、 $r$ に関する運動方程式は、

$$\begin{aligned} \mu \ddot{r} &= \frac{\mu l^2}{r^3} - \frac{G \mu M}{r^2} \\ \therefore \ \ \ \ \ddot{r} &= \frac{l^2}{r^3} - \frac{G M}{r^2} \end{aligned}$$

となる。

(6)

$$\begin{aligned} E = K + U &= \frac{1}{2} \mu \left( \dot{r}^2 + r^2 \dot{\phi}^2 \right) - \frac{G \mu M}{r} \\ &= \frac{1}{2} \mu \left( \dot{r}^2 + \frac{l^2}{r^2} \right) - \frac{G \mu M}{r} \end{aligned}$$

(7)

$$\begin{aligned} V(r) = \frac{1}{2} \mu \frac{l^2}{r^2} - \frac{G \mu M}{r} \end{aligned}$$

とすると、

$$\begin{aligned} V'(r) &= - \mu \frac{l^2}{r^3} + \frac{G \mu M}{r^2} \\ &= \mu \frac{- l^2 + G M r}{r^3} \end{aligned}$$

となるので、

$$\begin{aligned} r_0 = \frac{l^2}{GM} \end{aligned}$$

とすると、 $V(r)$ が最小値をとるのは $r=r_0$ のときで、

$$\begin{aligned} V(r_0) = - \frac{1}{2} \frac{G^2 \mu M^2}{l^2} \end{aligned}$$

となる。

$E$ が最小値 $E_0$ をとるのもこのときで、

$$\begin{aligned} E_0 = - \frac{1}{2} \frac{G^2 \mu M^2}{l^2} \end{aligned}$$

である。

(8)