東京大学 総合文化研究科 広域科学専攻 広域システム科学系 2019年7月実施 総合科目 第3問

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Author

Miyake

Description

出典：公式 2020 年度入試問題、総合科目第3問。

質量 $m_1$ の質点 $1$ と質量 $m_2$ の質点 $2$ が、お互いに万有引力で引き合いながら真空中を運動している。 質点 $2$ から質点 $1$ に向かうベクトルを $\vec{r}$ とし、 二つの質点の重心を原点 $\text{O}$ とする座標系を用いる。 二つの質点は同一平面内を運動するが、$\vec{r}$ をその面内の二次元極座標で表し、 動径および方位角成分を $(r, \phi)$ とする。万有引力定数を $G$ とし、

$$\begin{aligned} &\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \\ &M = m_1 + m_2 \end{aligned}$$

として、以下の設問に答えよ。なお必要に応じて、時間微分を $\dot{r}$ や $\dot{\phi}$ などと上付きドットを用いて表しても良い。

(1) 質点 $1$ および質点 $2$ の位置ベクトルを、$m_1$, $m_2$ および $\vec{r}$ 用いて表せ。

(2) 二つの質点の運動エネルギーの総和を $\mu$, $r$ および $\phi$ を用いて表せ。

(3) この系の重力ポテンシャルエネルギーを $\mu$, $M$, $r$ および $G$ を用いて表せ。

(4) $l \equiv r^2 \dot\phi$ が保存量となることを示せ。

(5) 動径成分 $r$ についての運動方程式を、$\mu$, $M$, $r$, $l$ および $G$ を用いて書き下せ。

(6) 系の全エネルギー $E$ を $\mu$, $M$, $r$, $l$ および $G$ で表せ。

(7) $E$が最小値を取る時の $E$ の表式を $\mu$, $M$, $l$ および $G$ を用いて求め、その時の二つの質点の軌道の様子を述べよ。

(8) $\vec{r}_1=(r_1, \phi_1)$ を質点 $1$ の位置ベクトルとする。 二つの質点が重力的に束縛されお互いの周りを周回する条件と、その時の $r_1$ と $\phi_1$ の関係を求めよ。

题目描述

质量为 $m_1,m_2$ 的两个质点在真空中仅受彼此万有引力作用而运动。取从质点 2 指向质点 1 的相对位置向量为 $\boldsymbol r$，并在以两质点质心为原点 $O$ 的坐标系中研究。运动位于同一平面，以极坐标 $(r,\phi)$ 表示 $\boldsymbol r$。令万有引力常数为 $G$，并定义约化质量和总质量

$$\mu=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2},\qquad M=m_1+m_2.$$

必要时可用上点表示时间导数。回答下列问题。

（1）用 $m_1,m_2,\boldsymbol r$ 表示两质点各自的位置向量。

（2）用 $\mu,r,\phi$ 及其时间导数表示两个质点的总动能。

（3）用 $\mu,M,r,G$ 表示系统的引力势能。

（4）证明题面定义的 $l\equiv r^2\dot\phi$ 为守恒量。

（5）用 $\mu,M,r,l,G$ 写出径向变量 $r$ 的运动方程。

（6）用 $\mu,M,r,l,G$ 表示系统总能量 $E$。

（7）求 $E$ 取最小值时的表达式，仅含 $\mu,M,l,G$，并描述此时两质点的轨道。

（8）以 $\boldsymbol r_1=(r_1,\phi_1)$ 表示质点 1 的位置向量。求两质点在引力束缚下绕彼此公转的条件，以及此时 $r_1$ 与 $\phi_1$ 的关系。

Kai

(1)

題意より、

$$\begin{aligned} m_1 \vec{r}_1 + m_2 \vec{r}_2 = \vec{0} , \ \ \ \ \vec{r} = \vec{r}_1 - \vec{r}_2 \end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned} \vec{r}_1 = \frac{m_2}{m_1+m_2} \vec{r} , \ \ \ \ \vec{r}_2 = - \frac{m_1}{m_1+m_2} \vec{r} \end{aligned}$$

を得る。

(2)

$\vec{r}$ のデカルト座標による成分を $(x,y)$ とすると、

$$\begin{aligned} x &= r \cos \phi \\ y &= r \sin \phi \\ \dot{x} &= \dot{r} \cos \phi - r \dot{\phi} \sin \phi \\ \dot{y} &= \dot{r} \sin \phi + r \dot{\phi} \cos \phi \\ \left| \dot{\vec{r}} \right|^2 &= \dot{x}^2 + \dot{y}^2 = \dot{r}^2 + r^2 \dot{\phi}^2 \end{aligned}$$

である。

よって、求める運動エネルギー $K$ は、

$$\begin{aligned} K &= \frac{1}{2} m_1 \left| \dot{\vec{r}_1} \right|^2 + \frac{1}{2} m_2 \left| \dot{\vec{r}_2} \right|^2 \\ &= \frac{1}{2} \frac{m_1 m_2^2 + m_1^2 m_2}{(m_1+m_2)^2} \left| \dot{\vec{r}} \right|^2 \\ &= \frac{1}{2} \frac{m_1 m_2}{m_1+m_2} \left( \dot{r}^2 + r^2 \dot{\phi}^2 \right) \\ &= \frac{1}{2} \mu \left( \dot{r}^2 + r^2 \dot{\phi}^2 \right) \end{aligned}$$

となる。

(3)

求める重力ポテンシャルエネルギー $U$ は、

$$\begin{aligned} U = - G \frac{m_1 m_2}{r} = - \frac{G \mu M}{r} \end{aligned}$$

である。

(4)

この系のラグランジアン $L$ は、

$$\begin{aligned} L = K - U = \frac{1}{2} \mu \left( \dot{r}^2 + r^2 \dot{\phi}^2 \right) + \frac{G \mu M}{r} \end{aligned}$$

であり、

$$\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial \phi} &= 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}} &= \mu r^2 \dot{\phi} = \mu l \end{aligned}$$

であるから、 $\phi$ に関する運動方程式より、 $l$ が保存量であることがわかる。

(5)

上で求めたラグランジアン $L$ から、

$$\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial r} &= \mu r \dot{\phi}^2 - \frac{G \mu M}{r^2} = \frac{\mu l^2}{r^3} - \frac{G \mu M}{r^2} \\ \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} &= \mu \dot{r} \end{aligned}$$

であるから、 $r$ に関する運動方程式は、

$$\begin{aligned} \mu \ddot{r} &= \frac{\mu l^2}{r^3} - \frac{G \mu M}{r^2} \\ \therefore \ \ \ \ \ddot{r} &= \frac{l^2}{r^3} - \frac{G M}{r^2} \end{aligned}$$

となる。

(6)

$$\begin{aligned} E = K + U &= \frac{1}{2} \mu \left( \dot{r}^2 + r^2 \dot{\phi}^2 \right) - \frac{G \mu M}{r} \\ &= \frac{1}{2} \mu \left( \dot{r}^2 + \frac{l^2}{r^2} \right) - \frac{G \mu M}{r} \end{aligned}$$

(7)

以下は保存量 $l\ne0$ を固定してエネルギーを最小化する。

$$\begin{aligned} V(r) = \frac{1}{2} \mu \frac{l^2}{r^2} - \frac{G \mu M}{r} \end{aligned}$$

とすると、

$$\begin{aligned} V'(r) &= - \mu \frac{l^2}{r^3} + \frac{G \mu M}{r^2} \\ &= \mu \frac{- l^2 + G M r}{r^3} \end{aligned}$$

となるので、

$$\begin{aligned} r_0 = \frac{l^2}{GM} \end{aligned}$$

とすると、 $V(r)$ が最小値をとるのは $r=r_0$ のときで、

$$\begin{aligned} V(r_0) = - \frac{1}{2} \frac{G^2 \mu M^2}{l^2} \end{aligned}$$

となる。

$E$ が最小値 $E_0$ をとるのもこのときで、

$$\begin{aligned} E_0 = - \frac{1}{2} \frac{G^2 \mu M^2}{l^2} \end{aligned}$$

である。

最小値には $\dot r=0$ も必要であり、相対距離は常に $r_0$ となる。二つの質点は重心のまわりで半径 $m_2r_0/M$、$m_1r_0/M$ の円軌道を描き、共通の角速度は $\dot\phi=l/r_0^2$ である。

(8)

$l\ne0$ とし、$u(\phi)=1/r$ とおく。$\dot\phi=lu^2$ なので $\dot r=-l u'$、$\ddot r=-l^2u^2u''$ である。(5) より

$$u''+u=\frac{GM}{l^2},\qquad u=\frac{GM}{l^2}\{1+e\cos(\phi-\phi_0)\}.$$

ここで $e\ge0$ とし、(6) に代入すると

$$E=\frac{\mu G^2M^2}{2l^2}(e^2-1),\qquad e=\sqrt{1+\frac{2El^2}{\mu G^2M^2}}.$$

したがって、束縛されて周回する条件は

$$\boxed{l\ne0,\qquad E_0\le E<0}\quad\Longleftrightarrow\quad0\le e<1.$$

(1) より $r_1=(m_2/M)r$、$\phi_1=\phi$ なので、求める軌道は

$$\boxed{r_1=\frac{m_2l^2}{GM^2}\frac{1}{1+e\cos(\phi_1-\phi_0)}}.$$

$e=0$ では円、$0<e<1$ では重心を焦点とする楕円である。$\phi_0$ は初期条件で決まる近点方向。$l=0$ は径方向の衝突運動であり、周回軌道ではない。この場合、点質量モデルではエネルギーに有限の下限もない。