東京大学総合文化研究科広域科学専攻相関基礎科学系 2024年度総合科目第1問（数学）

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祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

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以下の I〜V に答えよ。

I

実変数 $x$ の実関数 $y=y(x)$ に対する次の常微分方程式から一つを選び、選んだ番号を明記して一般解を初等関数で書け。ただし、初等関数の範囲で解けないものも含まれる。

\begin{array}{ll} \mathrm{(a)}&y''-xy=0,\\ \mathrm{(b)}&2xyy'+y^2+x^2=0,\\ \mathrm{(c)}&y'+x^2y+x^5=0,\\ \mathrm{(d)}&y'+y^2+2x=0. \end{array}

II

次の定積分を $n=0,1,2$ について求めよ。

I_n=\int_0^\infty\frac{(\log x)^n}{x^2+1}\,dx.

III

次の命題が真なら証明し、偽なら反例を挙げてそれが反例であることを示せ。

「実数から実数への微分可能な関数 $f(x)$ が $x\to\infty$ で収束するならば、 $\lim_{x\to\infty}f'(x)=0$ である。」

IV

$n$ を正の整数とする。 $n$ 次エルミート行列 $A$ の固有値がすべて正の実数であるとき、 $A$ は正定値であるという。正定値エルミート行列には $A=C^2$ を満たす可逆なエルミート行列 $C$ が存在することを用いてよい。以下を示せ。

$A$ が正定値であるための必要十分条件は、任意の非零ベクトル $v\in\mathbb C^n$ に対して $(v,Av)>0$ である。ただし $(v,w)=\sum_{i=1}^n\overline v_iw_i$ 。
$A$ が正定値エルミート行列ならば、任意の可逆行列 $X$ に対して $X^\dagger AX$ も正定値エルミート行列である。
一般の $n$ 次正方行列 $X,Y$ について、 $X$ が可逆ならば $XY$ と $YX$ の固有値は一致する。
$A,B$ が正定値エルミート行列ならば、 $AB$ の固有値はすべて正の実数である。

V

$t\geq0$ における $x\in\mathbb R$ の確率分布関数 $P(x,t)$ が

\frac{\partial P}{\partial t}=\frac{\partial^2P}{\partial x^2}+2\frac{\partial P}{\partial x}

を満たすとする。

初期分布 $P(x,0)=Ce^{-3x^2}$ が確率分布となるように $C$ を求めよ。
$P(x,0)$ の $x$ に関するフーリエ変換 $\widehat P(k,0)$ を求めよ。
$t>0$ における $P(x,t)$ を求めよ。

题目描述

I. 从上述四个常微分方程中任选一个，用初等函数写出通解，并注明选择的编号；其中有的方程不能用初等函数求解。

II. 求 $I_n=\int_0^\infty (\log x)^n/(1+x^2)\,dx$ ，其中 $n=0,1,2$ 。

III. 判断“定义在全体实数上的可微实函数若在正无穷处收敛，则其导数趋于零”是否成立，并给出证明或反例。

IV. 证明正定厄米矩阵的二次型判据、可逆合同变换保持正定、可逆 $X$ 时 $XY$ 与 $YX$ 同谱，以及两个正定厄米矩阵之积的全部特征值均为正实数。可使用正定厄米矩阵存在可逆厄米平方根这一事实。

V. 对扩散方程 $P_t=P_{xx}+2P_x$ ，将初值 $Ce^{-3x^2}$ 归一化，求其傅里叶变换以及任意 $t>0$ 的概率密度。

Kai

I

\frac{d}{dx}\left(ye^{x^3/3}\right)=-x^5e^{x^3/3}.

$u=x^3/3$ と置いて積分すれば $\int x^5e^{x^3/3}dx=(x^3-3)e^{x^3/3}$ なので、任意定数 $C_1\in\mathbb R$ を用いて

\boxed{y=C_1e^{-x^3/3}-x^3+3}.

II

$-1<a<1$ に対して、 $t=x^2$ と置くと

J(a)=\int_0^\infty\frac{x^a}{1+x^2}\,dx =\frac12\int_0^\infty\frac{t^{(a-1)/2}}{1+t}\,dt =\frac{\pi}{2\cos(\pi a/2)}.

最後の等式はベータ積分と $\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\pi/\sin(\pi z)$ による。 $a=0$ の近傍で積分内微分できるため、

\boxed{I_0=J(0)=\frac\pi2,\qquad I_1=J'(0)=0,\qquad I_2=J''(0)=\frac{\pi^3}{8}}.

III

命題は偽である。反例として

f(x)=\begin{cases}\sin(x^2)/x,&x\ne0,\\0,&x=0\end{cases}

をとる。 $f'(0)=\lim_{h\to0}\sin(h^2)/h^2=1$ であり、全実数上で微分可能である。また $|f(x)|\leq1/|x|$ より $f(x)\to0$ 。一方、 $x\ne0$ では

f'(x)=2\cos(x^2)-\frac{\sin(x^2)}{x^2}.

$x_n=\sqrt{2\pi n}$ では $f'(x_n)=2$ 、 $y_n=\sqrt{(2n+1)\pi}$ では $f'(y_n)=-2$ なので、導関数は $0$ に収束しない。

IV

(1)

スペクトル定理より $A=U\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)U^\dagger$ と書ける。 $w=U^\dagger v$ とすれば

v^\dagger Av=\sum_{i=1}^n\lambda_i|w_i|^2.

全固有値が正なら、 $v\ne0$ に対して右辺は正である。逆に固有ベクトル $v_i\ne0$ を代入すると $\lambda_i\|v_i\|^2>0$ なので全固有値が正になる。

(2)

$(X^\dagger AX)^\dagger=X^\dagger AX$ 。 $X$ の可逆性により $v\ne0$ なら $Xv\ne0$ であり、

v^\dagger X^\dagger AXv=(Xv)^\dagger A(Xv)>0.

(1) より正定値である。

(3)

$X^{-1}(XY)X=YX$ より両者は相似であり、重複度を含めて固有値が一致する。

(4)

$A=C^2$ を満たす可逆エルミート行列 $C$ をとると

C^{-1}(AB)C=CBC=C^\dagger BC.

右辺は (2) より正定値エルミート行列である。相似変換は固有値を変えないので $AB$ の全固有値は正の実数である。

V

(1)

$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-3x^2}dx=\sqrt{\pi/3}$ より

\boxed{C=\sqrt{3/\pi}}.

(2)

変換を $\widehat P(k,t)=\int_{\mathbb R}P(x,t)e^{-ikx}dx$ と定義する。ガウス積分より

\boxed{\widehat P(k,0)=e^{-k^2/12}}.

(3)

方程式をフーリエ変換すると $\partial_t\widehat P=(-k^2+2ik)\widehat P$ 。したがって

\widehat P(k,t)=\exp\left[-\left(t+\frac1{12}\right)k^2+2ikt\right].

逆変換により

\boxed{P(x,t)=\sqrt{\frac{3}{\pi(1+12t)}}\exp\left[-\frac{3(x+2t)^2}{1+12t}\right]}.

これは平均 $-2t$ 、分散 $1/6+2t$ の正規分布であり、初期条件と規格化を満たす。

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I​

II​

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题目描述​

Kai​

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(1)​

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