東京大学 総合文化研究科 広域科学専攻 相関基礎科学系 2023年8月実施 総合科目 第1問（数学）

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• 东京大学
• 一阶常微分方程
• 正定矩阵
• 用傅里叶变换求解热方程

Author

祭音Myyura (Based on Miyake's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

I

実変数 $x$ の実関数 $y=y(x)$ に対する次の (a)～(d) の常微分方程式から $1$ つを選んで、その一般解を初等関数で書け。ただし、この (a)～(d) の中には初等関数の範囲で解けないものもあるので注意すること。解答には (a)～(d) のいずれを選んだかを明記すること。

(a) $\displaystyle\frac{d^2y}{dx^2}-xy=0.$

(b) $\displaystyle2xy\frac{dy}{dx}+y^2+x^2=0.$

(c) $\displaystyle\frac{dy}{dx}+x^2y+x^5=0.$

(d) $\displaystyle\frac{dy}{dx}+y^2+2x=0.$

II

次の定積分 $I_n\ (n=0,1,2)$ の値を求めよ。

$$I_n=\int_0^\infty\frac{(\log x)^n}{x^2+1}\,dx.$$

III

以下の命題について、真ならば証明し、偽ならば反例を挙げてそれが反例であることを示せ。

「実数から実数への微分可能な関数 $f(x)$ が $x\to\infty$ の極限で収束するならば、$\displaystyle\lim_{x\to\infty}f'(x)=0$ である。」

IV

$n$ を正の整数とする。$n$ 次エルミート行列 $A$ に対して、その固有値が全て正の実数であるとき、$A$ は正定値であるという。以下の (1)～(4) を示せ。ただし、$n$ 次エルミート行列 $A$ が正定値であるならば、$A=C^2$ を満たす可逆な $n$ 次エルミート行列 $C$ が存在することを用いてよい。

(1) $n$ 次エルミート行列 $A$ が正定値であるための必要十分条件は、任意のゼロベクトルでない $n$ 次元複素ベクトル $v$ に対して $(v,Av)>0$ が成り立つことである。ここで $(v,w)=\displaystyle\sum_{i=1}^n\overline v_iw_i$ である。

(2) $n$ 次エルミート行列 $A$ が正定値であるならば、任意の可逆な $n$ 次正方行列 $X$ に対し、$X^\dagger AX$ もまた正定値のエルミート行列である。ここで $X^\dagger$ は $X$ のエルミート共役である。

(3) $X,Y$ をエルミートとは限らない一般の $n$ 次正方行列とする。このとき、$X$ が可逆なら、$XY$ の固有値と $YX$ の固有値は一致する。

(4) $A$ と $B$ を正定値の $n$ 次エルミート行列とする。このとき、$AB$ の固有値はすべて正の実数である。

V

$P(x,t)$ を時刻 $t\geq0$ における $x\in(-\infty,\infty)$ に関する確率分布関数とする。$P(x,t)$ が次の偏微分方程式を満たすとして、以下の (1)～(3) に答えよ。

$$\frac{\partial}{\partial t}P(x,t) =\frac{\partial^2}{\partial x^2}P(x,t) +2\frac{\partial}{\partial x}P(x,t).$$

(1) 初期分布を $P(x,0)=Ce^{-3x^2}$ とする。$P(x,0)$ が確率分布になるように係数 $C$ を定めよ。

(2) $P(x,0)$ の $x$ に関するフーリエ変換 $\widehat P(k,0)$ を求めよ。

(3) 時刻 $t>0$ における $P(x,t)$ を求めよ。

题目描述

I

从下列实变量 $x$ 的实函数 $y=y(x)$ 所满足的常微分方程 (a)～(d) 中选择一个，用初等函数写出其通解。注意：其中也有无法在初等函数范围内求解的方程。解答中须明确注明所选编号。

(a) $\displaystyle\frac{d^2y}{dx^2}-xy=0.$

(b) $\displaystyle2xy\frac{dy}{dx}+y^2+x^2=0.$

(c) $\displaystyle\frac{dy}{dx}+x^2y+x^5=0.$

(d) $\displaystyle\frac{dy}{dx}+y^2+2x=0.$

II

求定积分 $I_n\ (n=0,1,2)$ 的值。

$$I_n=\int_0^\infty\frac{(\log x)^n}{x^2+1}\,dx.$$

III

判断下列命题。若为真则证明；若为假则给出反例，并证明该例确实构成反例。

“若从实数到实数的可微函数 $f(x)$ 在 $x\to\infty$ 的极限下收敛，则 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f'(x)=0$。”

IV

设 $n$ 为正整数。当 $n$ 阶厄米矩阵 $A$ 的所有特征值都是正实数时，称 $A$ 为正定矩阵。证明 (1)～(4)。可以使用下述事实：若 $n$ 阶厄米矩阵 $A$ 正定，则存在满足 $A=C^2$ 的可逆 $n$ 阶厄米矩阵 $C$。

(1) $n$ 阶厄米矩阵 $A$ 正定的充要条件为：对任意非零 $n$ 维复向量 $v$，都有 $(v,Av)>0$。这里 $(v,w)=\displaystyle\sum_{i=1}^n\overline v_iw_i$。

(2) 若 $n$ 阶厄米矩阵 $A$ 正定，则对任意可逆 $n$ 阶方阵 $X$，$X^\dagger AX$ 也是正定厄米矩阵。其中 $X^\dagger$ 是 $X$ 的厄米共轭。

(3) 设 $X,Y$ 为一般的 $n$ 阶方阵，不要求为厄米矩阵。若 $X$ 可逆，则 $XY$ 和 $YX$ 的特征值相同。

(4) 设 $A,B$ 为正定 $n$ 阶厄米矩阵，则 $AB$ 的全部特征值均为正实数。

V

设 $P(x,t)$ 为时刻 $t\geq0$、关于 $x\in(-\infty,\infty)$ 的概率分布函数。若其满足下列偏微分方程，回答 (1)～(3)。

$$\frac{\partial}{\partial t}P(x,t) =\frac{\partial^2}{\partial x^2}P(x,t) +2\frac{\partial}{\partial x}P(x,t).$$

(1) 初始分布为 $P(x,0)=Ce^{-3x^2}$。确定系数 $C$，使 $P(x,0)$ 成为概率分布。

(2) 求 $P(x,0)$ 关于 $x$ 的傅里叶变换 $\widehat P(k,0)$。

(3) 求时刻 $t>0$ 的 $P(x,t)$。

Kai

I

(c) を選ぶ。積分因子 $e^{x^3/3}$ を掛けると

$$\frac{d}{dx}\left(ye^{x^3/3}\right)=-x^5e^{x^3/3}.$$

$u=x^3/3$ と置いて積分すれば $\int x^5e^{x^3/3}dx=(x^3-3)e^{x^3/3}$ なので、任意定数 $C_1\in\mathbb R$ を用いて

$$\boxed{y=C_1e^{-x^3/3}-x^3+3}.$$

II

$-1<a<1$ に対して、$t=x^2$ と置くと

$$\begin{gathered} J(a)=\int_0^\infty\frac{x^a}{1+x^2}\,dx\\ =\frac12\int_0^\infty\frac{t^{(a-1)/2}}{1+t}\,dt\\ =\frac{\pi}{2\cos(\pi a/2)}. \end{gathered}$$

最後の等式はベータ積分と $\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\pi/\sin(\pi z)$ による。$a=0$ の近傍で積分内微分できるため、

$$\boxed{\begin{gathered} I_0=J(0)=\frac\pi2,\\ I_1=J'(0)=0,\\ I_2=J''(0)=\frac{\pi^3}{8} \end{gathered}}.$$

III

命題は偽である。反例として

$$f(x)=\begin{cases}\sin(x^2)/x,&x\ne0,\\0,&x=0\end{cases}$$

をとる。$f'(0)=\lim_{h\to0}\sin(h^2)/h^2=1$ であり、全実数上で微分可能である。また $|f(x)|\leq1/|x|$ より $f(x)\to0$。一方、$x\ne0$ では

$$f'(x)=2\cos(x^2)-\frac{\sin(x^2)}{x^2}.$$

$x_n=\sqrt{2\pi n}$ では $f'(x_n)=2$、$y_n=\sqrt{(2n+1)\pi}$ では $f'(y_n)=-2$ なので、導関数は $0$ に収束しない。

IV

(1)

スペクトル定理より $A=U\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)U^\dagger$ と書ける。$w=U^\dagger v$ とすれば

$$v^\dagger Av=\sum_{i=1}^n\lambda_i|w_i|^2.$$

全固有値が正なら、$v\ne0$ に対して右辺は正である。逆に固有ベクトル $v_i\ne0$ を代入すると $\lambda_i\|v_i\|^2>0$ なので全固有値が正になる。

(2)

$(X^\dagger AX)^\dagger=X^\dagger AX$。$X$ の可逆性により $v\ne0$ なら $Xv\ne0$ であり、

$$v^\dagger X^\dagger AXv=(Xv)^\dagger A(Xv)>0.$$

(1) より正定値である。

(3)

$X^{-1}(XY)X=YX$ より両者は相似であり、重複度を含めて固有値が一致する。

(4)

$A=C^2$ を満たす可逆エルミート行列 $C$ をとると

$$C^{-1}(AB)C=CBC=C^\dagger BC.$$

右辺は (2) より正定値エルミート行列である。相似変換は固有値を変えないので $AB$ の全固有値は正の実数である。

V

(1)

$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-3x^2}dx=\sqrt{\pi/3}$ より

$$\boxed{C=\sqrt{3/\pi}}.$$

(2)

変換を $\widehat P(k,t)=\int_{\mathbb R}P(x,t)e^{-ikx}dx$ と定義する。ガウス積分より

$$\boxed{\widehat P(k,0)=e^{-k^2/12}}.$$

(3)

方程式をフーリエ変換すると $\partial_t\widehat P=(-k^2+2ik)\widehat P$。したがって

$$\widehat P(k,t)=\exp\left[-\left(t+\frac1{12}\right)k^2+2ikt\right].$$

逆変換により

$$\boxed{P(x,t)=\sqrt{\frac{3}{\pi(1+12t)}}\exp\left[-\frac{3(x+2t)^2}{1+12t}\right]}.$$

これは平均 $-2t$、分散 $1/6+2t$ の正規分布であり、初期条件と規格化を満たす。

Reference

• 東京大学公式問題（PDF 3ページ）
• Miyake：参考解答