東京大学 情報理工学研究科 数理情報学 2023年8月実施 第4問

标签：

• Tokyo-University
• Exponential-Memoryless-Property
• Exponential-Spacings-and-Poisson-Counting-Process
• Gamma-Distribution
• Poisson-Count-Maximum-Likelihood-Estimation-for-Rate

Author

Kurosu9991

Description

指数分布 $\text{Exp}(\lambda)$ とは、 $\lambda>0$ に対して確率密度関数

$$p(x)=\lambda\text{exp}(-\lambda x)$$

で定義される非負実数上の確率分布である。 独立に $\text{Exp}(\lambda)$ に従う確率変数列 $X_1,X_2,\dots$ を考える。 以下の設問に答えよ。

(1) $c>0$ に対して、 $X_1\geq c$ という条件のもとでの $X_1-c$ の条件付き確率密度関数を求めよ。

(2) $Y=\min(X_1,X_2),Z=\max(X_1,X_2)$ とするとき、 $Y,Z-Y$ それぞれの確率密度関数を求めよ。

(3) $X_1+\dots+X_n$ の確率密度関数を求めよ。

(4) $a>0$ に対して、 $X_1+\dots+X_N\leq a<X_1+\dots+X_{N+1}$ によって定まる確率変数を $N$ とする。 $a<X_1$ のときは $N=0$ とする。 $N$ に基づく $\lambda$ の最尤推定量 $\hat{\lambda}(N)$ 、および $\hat{\lambda}(N)$ の期待値と分散を求めよ。

Kai

(1)

$$P(X_1-c>x|X_1\geq c)=\frac{P(X_1> x+c)}{P(X_1\geq c)}=\rm{e}^{-\lambda x} \quad (x\geq 0)$$

よって、

$$p_{X_1-c|X_1\geq c}(x)=\frac{\text{d}}{\text{d}x}P(X_1-c\leq x|X_1\geq c)=\lambda\text{exp}(-\lambda x)=p(x)$$

(2)

$$P(Y> y)=P(X_1> y,X_2> y)=\rm{e}^{-2\lambda y}$$

よって、

$$p_Y(y)=2\lambda\rm{e}^{-2\lambda y}$$

また、

$$p_{Y,Z}(y,z)=2p_{X_1}(y)p_{X_2}(z)=2\lambda^2\rm{e}^{-\lambda(y+z)}$$

であるので、

$$p_{Z|Y}(z|y)=\frac{p_{Y,Z}(y,z)}{p_Y(y)}=\lambda\rm{e}^{-\lambda(z-y)}$$

さらに、

$$p_{Z-Y|Y}(t|y)=p_{Z|Y}(t+y|y)=\lambda\rm{e}^{-\lambda t}$$

は $y$ に依存しないため、

$$p_{Z-Y}(t)=p_{Z-Y|Y}(t|y)=\lambda\rm{e}^{-\lambda t}$$

が成り立つ。

(3)

モーメント母関数を考える。

$$M_{X_1}(t)=E(\rm{e}^{tX_1})=\int_0^\infty\lambda\rm{e}^{-(\lambda-t)x}\text{d}x=\frac{\lambda}{\lambda-t} \quad (\lambda>t)$$

$$M_{X_1+\dots+X_n}(t)=(M_{X_1}(t))^n=\frac{\lambda^n}{(\lambda-t)^n}$$

ラプラス変換によって、

$$p_{X_1+\dots+X_n}(x)=\mathcal{L}^{-1}\{M_{X_1+\dots+X_n}(-t)\}=\frac{\lambda^n x^{n-1}}{(n-1)!}\rm{e}^{-\lambda x}$$

(4)

$$P(N=0)=P(X_1>a)=\rm{e}^{-\lambda a}$$

$$\begin{aligned} P(N=k) & = P(X_1+\dots+X_k\leq a)-P(X_1+\dots+X_{k+1}\leq a) \\ & = \int_0^a\frac{\lambda^k x^{k-1}}{(k-1)!}\rm{e}^{-\lambda x}\,\text{d}x - \int_0^a\frac{\lambda^{k+1} x^k}{k!}\rm{e}^{-\lambda x}\,\text{d}x \\ & = \int_0^a\left(\frac{\lambda^k x^{k-1}}{(k-1)!}-\frac{\lambda^{k+1} x^k}{k!} \right)\rm{e}^{-\lambda x}\,\text{d}x \\ & = \left(\frac{\lambda^k x^k}{k!}\rm{e}^{-\lambda x} \right)\bigg|_0^a \\ & = \frac{(\lambda a)^k}{k!}\rm{e}^{-\lambda a} \quad (k=1,2,\dots) \end{aligned}$$

明らかに、 $N$ はポアソン分布に従って、

$$E(N)=\lambda a \qquad V(N)=\lambda a$$

である。

各非負の整数 $n=0,1,\dots$ に対して、

$$L(\lambda)=P(N=n)=\frac{(\lambda a)^n}{n!}\rm{e}^{-\lambda a}$$

$$l(\lambda)=\log(L(\lambda))=n\log(\lambda a)-\lambda a-\log(n!)$$

$$\frac{\partial l}{\partial\lambda}(\lambda)=\frac{n}{\lambda}-a=0 \Longrightarrow \hat{\lambda}=\frac{n}{a}$$

したがって、最尤推定量は

$$\hat{\lambda}(N)=\frac{N}{a}$$

であり、

$$E(\hat{\lambda}(N))=\frac{1}{a}E(N)=\lambda$$

$$V(\hat{\lambda}(N))=\frac{1}{a^2}V(N)=\frac{\lambda}{a}$$

がわかる。