東京大学 情報理工学研究科 数理情報学 2023年8月実施 第4問

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Kurosu9991

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指数分布 とは、 に対して確率密度関数

で定義される非負実数上の確率分布である。 独立に に従う確率変数列 を考える。 以下の設問に答えよ。

(1) に対して、 という条件のもとでの の条件付き確率密度関数を求めよ。

(2) とするとき、 それぞれの確率密度関数を求めよ。

(3) の確率密度関数を求めよ。

(4) に対して、 によって定まる確率変数を とする。 のときは とする。 に基づく の最尤推定量 、および の期待値と分散を求めよ。

Kai

(1)

よって、

(2)

よって、

また、

であるので、

さらに、

は に依存しないため、

が成り立つ。

(3)

モーメント母関数を考える。

ラプラス変換によって、

(4)

明らかに、 はポアソン分布に従って、

である。

各非負の整数 に対して、

したがって、最尤推定量は

であり、

がわかる。