東京大学 情報理工学研究科 数理情報学 2023年8月実施 第3問

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Kurosu9991

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実数全体の集合を 、複素数全体の集合を で表す。 虚数単位を 、自然対数の底を とおく。 周期 の関数 に対し、ノルム を

と定める。正の整数 に対し、

を定める。

関数 を周期 の連続関数とし、各正の整数 に対して

を満たす が存在するとする。 ただし、 は によらない定数である。 以下の設問に答えよ。

(1) 各正の整数 に対して、

が成り立つことを示せ。

(2) 関数 の導関数を と書く。 関数列 が、ある周期 の連続関数 に 上で一様収束することを示せ。 ただし、以下の２つの事実を証明せずに用いてよい。

上の複素数値連続関数全体の集合を で表す。 このとき、ノルム空間 は完備である。

各正の整数 と任意の に対して

が成り立つ。

(3) が 上微分可能であることを示せ。

Kai

(1)

(2)

よって、 に対して

となる。 ゆえに、 はコーシー列であり、ノルムの定義と完備性より

が成立する。

(3)

また、 であるため、

となる。つまり、 が 上微分可能である。