東京大学 情報理工学研究科 数理情報学 2023年8月実施 第3問

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• Differentiability-from-Polynomial-Approximation-Rate
• Bernstein-Inequality-for-Trigonometric-Polynomials
• Uniform-Convergence

Author

Kurosu9991, 祭音Myyura

Description

実数全体の集合を $\mathbb{R}$ 、複素数全体の集合を $\mathbb{C}$ で表す。 虚数単位を $\rm{i}$ 、自然対数の底を $\rm{e}$ とおく。 周期 $2\pi$ の関数 $g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、ノルム $\|g\|$ を

$$\|g\|=\sup_{\theta\in[0,2\pi]}|g(\theta)|$$

と定める。正の整数 $n$ に対し、

$$\mathcal{T}_n=\{ t:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}|ある複素係数n次多項式Pによりt(\theta)=P(\rm{e}^{\rm{i}\theta})と表される \}$$

を定める。

関数 $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}$ を周期 $2\pi$ の連続関数とし、各正の整数 $n$ に対して

$$\|f-t_n\|\leq\frac{c}{n^3}$$

を満たす $t_n\in\mathcal{T}_n$ が存在するとする。 ただし、 $c>0$ は $n$ によらない定数である。 以下の設問に答えよ。

(1) 各正の整数 $n$ に対して、

$$\|t_{n+1}-t_n\|\leq\frac{2c}{n^3}$$

が成り立つことを示せ。

(2) 関数 $t\in\mathcal{T}_n$ の導関数を $t'$ と書く。 関数列 $\{t'_n\}$ が、ある周期 $2\pi$ の連続関数 $s:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}$ に $[0,2\pi]$ 上で一様収束することを示せ。 ただし、以下の２つの事実を証明せずに用いてよい。

$\quad\bullet$ $[0,2\pi]$上の複素数値連続関数全体の集合を $\rm{C}[0,2\pi]$ で表す。 このとき、ノルム空間 $(\rm{C}[0,2\pi],\|\cdot\|)$ は完備である。

$\quad\bullet$ 各正の整数 $n$ と任意の $t\in\mathcal{T}_n$ に対して

$$\|t'\|\leq n\|t\|$$

が成り立つ。

(3) $f$ が $\mathbb{R}$ 上微分可能であることを示せ。

题目描述

以 $\mathbb{R}$、$\mathbb{C}$ 分别表示实数集和复数集，以 $\mathrm{i}$ 表示虚数单位，以 $\mathrm{e}$ 表示自然对数的底。 对以 $2\pi$ 为周期的函数 $g:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$，定义

$$\|g\|=\sup_{\theta\in[0,2\pi]}|g(\theta)|.$$

对正整数 $n$，定义

$$\mathcal{T}_n= \left\{ t:\mathbb{R}\to\mathbb{C}\ \middle|\ \begin{array}{l} \text{存在一个复系数的 $n$ 次多项式 $P$，}\\ t(\theta)=P(e^{\mathrm{i}\theta}) \end{array} \right\}.$$

设 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ 是以 $2\pi$ 为周期的连续函数，并且 对每个正整数 $n$，均存在 $t_n\in\mathcal{T}_n$ 满足

$$\|f-t_n\|\leq\frac{c}{n^3},$$

其中 $c>0$ 是与 $n$ 无关的常数。回答下列问题。

(1) 证明对每个正整数 $n$ 都有

$$\|t_{n+1}-t_n\|\leq\frac{2c}{n^3}.$$

(2) 对 $t\in\mathcal{T}_n$，以 $t'$ 表示其导函数。证明函数序列 $\{t_n'\}$ 在 $[0,2\pi]$ 上一致收敛于某个以 $2\pi$ 为周期的 连续函数 $s:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$。

可以不加证明地使用以下两个事实：

• 以 $\mathrm{C}[0,2\pi]$ 表示 $[0,2\pi]$ 上所有复值连续函数 的集合，则赋范空间 $(\mathrm{C}[0,2\pi],\|\cdot\|)$ 是完备的。

• 对每个正整数 $n$ 和任意 $t\in\mathcal{T}_n$，都有

  $$\|t'\|\leq n\|t\|.$$

(3) 证明 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上可微。

Kai

(1)

$$\begin{aligned} \|t_{n+1}-t_n\| & = \|(f-t_n)-(f-t_{n+1})\| \\ & \leq \|f-t_n\|+\|f-t_{n+1}\| \\ & \leq \frac{c}{n^3}+\frac{c}{(n+1)^3} \\ & \leq \frac{2c}{n^3} \end{aligned}$$

(2)

$$t_n(\theta)=P_n(\rm{e}^{\rm{i}\theta}) \Longrightarrow t_n'(\theta)=P_n'(\rm{e}^{\rm{i}\theta})\rm{i}\rm{e}^{\rm{i}\theta} \Longrightarrow t_n'(\theta)\in\mathcal{T}_n$$

よって、 $2\leq n<m$ に対して

$$\begin{aligned} \|t_m'-t_n'\| & = \|\sum_{k=n}^{m-1}(t_{k+1}'-t_k')\| \\ & \leq \sum_{k=n}^{m-1}\|t_{k+1}'-t_k'\| \\ & \leq \sum_{k=n}^{m-1}(k+1)\|t_{k+1}-t_k\| \\ & \leq 2c\sum_{k=n}^{m-1}\frac{k+1}{k^3} \\ & \leq 2c\sum_{k=n}^{m-1}\frac{k+1}{k(k^2-1)} \\ & = 2c\sum_{k=n}^{m-1}\frac{1}{k(k-1)} \\ & = 2c(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{m-1}) \\ & \leq \frac{2c}{n-1} \rightarrow 0 \quad (n\rightarrow\infty) \end{aligned}$$

となる。 ゆえに、 $\{t'_n\}\subseteq\rm{C}[0,2\pi]$ はコーシー列であり、ノルムの定義と完備性より

$$\exists s\in\rm{C}[0,2\pi], \quad t_n'\rightrightarrows s$$

が成立する。

(3)

$$\|f-t_n\|\leq\frac{c}{n^3} \Longrightarrow t_n\rightarrow f$$

また、 $t_n'\rightrightarrows s$ であるため、

$$f(\theta)-f(0) =\lim_{n\to\infty}\{t_n(\theta)-t_n(0)\} =\lim_{n\to\infty}\int_0^\theta t_n'(u)\,du =\int_0^\theta s(u)\,du$$

となる。したがって $f'(\theta)=s(\theta)$ である。 また、各 $t_n'$ は $2\pi$ 周期であるから、その一様極限 $s$ も $2\pi$ 周期である。よって $f$ は $\mathbb{R}$ 上微分可能である。