東京大学 情報理工学研究科 数理情報学 2023年8月実施 第3問

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Kurosu9991

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実数全体の集合を $\mathbb{R}$ 、複素数全体の集合を $\mathbb{C}$ で表す。 虚数単位を $\rm{i}$ 、自然対数の底を $\rm{e}$ とおく。 周期 $2\pi$ の関数 $g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}$ に対し、ノルム $\|g\|$ を

$$\|g\|=\sup_{\theta\in[0,2\pi]}|g(\theta)|$$

と定める。正の整数 $n$ に対し、

$$\mathcal{T}_n=\{ t:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}|ある複素係数n次多項式Pによりt(\theta)=P(\rm{e}^{\rm{i}\theta})と表される \}$$

を定める。

関数 $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}$ を周期 $2\pi$ の連続関数とし、各正の整数 $n$ に対して

$$\|f-t_n\|\leq\frac{c}{n^3}$$

を満たす $t_n\in\mathcal{T}_n$ が存在するとする。 ただし、 $c>0$ は $n$ によらない定数である。 以下の設問に答えよ。

(1) 各正の整数 $n$ に対して、

$$\|t_{n+1}-t_n\|\leq\frac{2c}{n^3}$$

が成り立つことを示せ。

(2) 関数 $t\in\mathcal{T}_n$ の導関数を $t'$ と書く。 関数列 $\{t'_n\}$ が、ある周期 $2\pi$ の連続関数 $s:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}$ に $[0,2\pi]$ 上で一様収束することを示せ。 ただし、以下の２つの事実を証明せずに用いてよい。

$\quad\bullet$ $[0,2\pi]$上の複素数値連続関数全体の集合を $\rm{C}[0,2\pi]$ で表す。 このとき、ノルム空間 $(\rm{C}[0,2\pi],\|\cdot\|)$ は完備である。

$\quad\bullet$ 各正の整数 $n$ と任意の $t\in\mathcal{T}_n$ に対して

$$\|t'\|\leq n\|t\|$$

が成り立つ。

(3) $f$ が $\mathbb{R}$ 上微分可能であることを示せ。

Kai

(1)

$$\begin{aligned} \|t_{n+1}-t_n\| & = \|(f-t_n)-(f-t_{n+1})\| \\ & \leq \|f-t_n\|+\|f-t_{n+1}\| \\ & \leq \frac{c}{n^3}+\frac{c}{(n+1)^3} \\ & \leq \frac{2c}{n^3} \end{aligned}$$

(2)

$$t_n(\theta)=P_n(\rm{e}^{\rm{i}\theta}) \Longrightarrow t_n'(\theta)=P_n'(\rm{e}^{\rm{i}\theta})\rm{i}\rm{e}^{\rm{i}\theta} \Longrightarrow t_n'(\theta)\in\mathcal{T}_n$$

よって、 $2\leq n<m$ に対して

$$\begin{aligned} \|t_m'-t_n'\| & = \|\sum_{k=n}^{m-1}(t_{k+1}'-t_k')\| \\ & \leq \sum_{k=n}^{m-1}\|t_{k+1}'-t_k'\| \\ & \leq \sum_{k=n}^{m-1}(k+1)\|t_{k+1}-t_k\| \\ & \leq 2c\sum_{k=n}^{m-1}\frac{k+1}{k^3} \\ & \leq 2c\sum_{k=n}^{m-1}\frac{k+1}{k(k^2-1)} \\ & = 2c\sum_{k=n}^{m-1}\frac{1}{k(k-1)} \\ & = 2c(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{m-1}) \\ & \leq \frac{2c}{n-1} \rightarrow 0 \quad (n\rightarrow\infty) \end{aligned}$$

となる。 ゆえに、 $\{t'_n\}\subseteq\rm{C}[0,2\pi]$ はコーシー列であり、ノルムの定義と完備性より

$$\exist s\in\rm{C}[0,2\pi], \quad t_n'\rightrightarrows s$$

が成立する。

(3)

$$\|f-t_n\|\leq\frac{c}{n^3} \Longrightarrow t_n\rightarrow f$$

また、 $t_n'\rightrightarrows s$ であるため、

$$f'=(\lim_{n\rightarrow\infty}t_n)'=\lim_{n\rightarrow\infty}(t_n)'=s$$

となる。つまり、 $f$ が $\mathbb{R}$ 上微分可能である。