東京大学 情報理工学研究科 数理情報学 2023年8月実施 第1問

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Kurosu9991

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行列 の第 成分を 、転置を と書き、 とする。 正方行列 のトレースは である。また を 単位行列とする。

以下では とし、行列 によって与えられる最適化問題

の最適解 の集合を と書く。以下の設問に答えよ。

(1) 行列 の第 列ベクトルをそれぞれ とし、 のユークリッドノルムを と書く。 行列 と正の実数 によって与えられる最適化問題

の最適解 の集合が となるような行列 を一組求めよ。

(2) 行列 によって与えられる最適化問題

の最適解 の集合が であることを示せ。

(3) 行列 に対して、行列 の特異値分解を と書く。 最適化問題 (*) の最適解の１つ を行列 のうちのいくつかを用いて表せ。

Kai

(1)

ただし、 であり、 は行列 の第 列ベクトルである。

したがって、 とすればよい。

(2)

ここで、 と を使用しました。

以上より、最適解 の集合が であることを示された。

(3)

与えられた式より、

とおくと、 が明らか。

故に、 。

よって、

さらに、 とすると であり、 である。

したがって、 がわかる。