東京大学 情報理工学研究科 数理情報学 2022年8月実施 第3問

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hari64boli64

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複素数全体の集合を で表し、虚数単位を と書く。実数 に対し、 を複素数平面上の円板領域 とする。 上の正則関数 に対し、一様ノルム を で定め、 と をそれぞれ

と定める。ここで、 は正の整数とする。以下の設問に答えよ。

(1) 実数 に対し、 を、正（反時計回り）に向き付けられた、中心 、半径 の円周とする。このとき、 上の正則関数 に対して

が成り立つことを示せ。

(2) 上の正則関数 に対し、

とおく。 上の の極を全て求め、それぞれの極における の留数を求めよ。

(3) 上の正則関数 が を満たすとする。このとき、

が成り立つことを示せ。

(4) 式 () の右辺の定数 が最良であること、すなわち、

が成り立つことを示せ。ここで、 は、 であるような 上の正則関数 全体にわたる上限を表す。

Kai

(1)

とおくと、 であるので、

(2)

極は、より、 となる。ただし、 である。

よって、留数はロピタルの定理を用いると、

となる。

(3)

(2) の結果と留数定理より、

となる。ただし、 とする。

なお、ここで を としなかったのは、 が でのみ定義されている関数であり、 で未定義であるからである。

これを用いて、与式を評価すると、

となる。

これが、任意の に対して成立するので、 の極限をとると、

となる。

(4)

まず、与式の上界が であることは、(3) より明らか。

与式を下から評価して、それが に収束することを示す。 ここで、 とすると、

となる。

よって、

となる。

以上より、答えは である。