東京大学情報理工学研究科数理情報学 2022年8月実施第1問

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正の整数 $m, n$ および有限実数数列 $A = \{a_i\}_{i=1}^m, B = \{b_j\}_{j=1}^n$ に対して、

f(A,B)=\ln{\left( \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}{ \frac{1}{\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}{e^{-|a_i-b_j|}}}} \right)}

と定義する。ただし、 $\ln$ は自然対数を表す。以下の設問に答えよ。

(1) $f(A, B) \ge 0$ が成り立つことを示せ。また、 $f(A, B) = 0$ となる $A, B$ の必要十分条件を求めよ。

(2) 任意の空でない有限実数数列 $A, B, C$ に対して、

f(A, C) \leq f(A, B) + f(B, C)

が成り立つことを示せ。

(3) 任意の実数 $s$ に対して、 $A_m(s) = \{s + \frac{i}{m}\}_{i=1}^m, B_n = \{\frac{j}{n}\}_{j=1}^n$ とおき、 $g(s)$ を

g(s) = \lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} f(A_m(s), B_n)

で定める。このとき、

g(s) = \ln \left( \int_s^{1+s} \frac{1}{h(z)} dz \right)

となるような関数 $h(z)$ の具体的な表式を導出せよ。

(4) $g(s)$ が最小となる実数 $s$ を求めよ。

\begin{aligned} & -|a_i-b_j| \leq 0 \\ \Rightarrow & \frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}{\exp(-|a_i-b_j|)} \leq 1 \\ \Rightarrow & \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}{\frac{1}{\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}{\exp(-|a_i-b_j|)}}} \geq 1 \\ \Rightarrow & f(A,B) \geq 0 \end{aligned}

等号成立条件は、上の式変形より、 $\forall \; i,j, \; a_i=b_j$ である。

定義に従って示せばよい(変則的だが、分かりやすさの為、左向きの矢印を使用する)。

\begin{aligned} & f(A,C) \leq f(A,B)+f(B,C) \\ \Leftarrow & \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}{\frac{1}{\frac{1}{l}\sum_{k=1}^{l}\exp(-|a_i-c_k|)}} \leq \Big(\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}{\frac{1}{\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}\exp(-|a_i-b_j|)}}\Big) \Big(\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}{\frac{1}{\frac{1}{l}\sum_{k=1}^{l}\exp(-|b_j-c_k|)}}\Big) \\ \Leftarrow & \sum_{k=1}^{l}\exp(-|a_i-c_k|) \geq \frac{\sum_{j=1}^{n}\exp(-|a_i-b_j|)}{\sum_{j=1}^{n}{\frac{1}{\sum_{k=1}^{l}\exp(-|b_j-c_k|)}}} \\ \Leftarrow & \sum_{j=1}^{n}{\frac{\sum_{k=1}^{l}\exp(-|a_i-c_k|)}{\sum_{k=1}^{l}\exp(-|b_j-c_k|)}} \geq \sum_{j=1}^{n}\exp(-|a_i-b_j|) \\ \Leftarrow & \sum_{k=1}^{l}\exp(-|a_i-c_k|) \geq \exp(-|a_i-b_j|)\Big(\sum_{k=1}^{l}\exp(-|b_j-c_k|)\Big) \\ \Leftarrow & \exp(-|a_i-c_k|) \geq \exp(-|a_i-b_j|)\exp(-|b_j-c_k|) \\ \Leftarrow & |a_i-c_k| \leq |a_i-b_j|+|b_j-c_k| \end{aligned}

最後の不等式は、三角不等式より成立する。

以上より、 $f(A,C) \leq f(A,B)+f(B,C)$ が示された。

区分求積法そのままなので、

\begin{aligned} h(z)=\int_0^1{e^{-|z-x|}} \text{d}{x} \end{aligned}

である。

よって、

\begin{aligned} h(z)= \begin{cases} e^{-z}(e-1) \; (1 \leq z) \\ 2-e^{-z}+e^{z-1} \; (0 < z < 1) \\ e^{z}(1-e^{-1}) \; (z \leq 0) \end{cases} \end{aligned}

となる。

$h(z)$ は $1/2$ を中心とする対称関数であり、微分などを計算すると、図 1 のようになる。

よって、あまり厳密な議論ではないが、区間幅1の $h(z)$ の最も大きな部分は $s=0$ の時に成立する。 (しかし、これは厳密に行う事も出来るはず)

以上より、 $s=0$ が答え。

実際、これが正しいことは、図 2 より分かる。