東京大学 情報理工学研究科 数理情報学 2019年8月実施 第4問

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hari64boli64

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整数 $n$ と実数 $t \geq 0$ に対する関数 $x(n,t)$ がしたがう微分方程式

$$\begin{align} \frac{\partial}{\partial t}x(n,t) = x(n-1,t) + x(n+1,t) - 2x(n,t) \tag{*} \end{align}$$

を考える。ただし、関数 $x(n,t)$ は任意の整数 $n$ に対して

$$\begin{align} x(n+N,t) = x(n,t) \tag{**} \end{align}$$

を満たすものとする。ここで $N$ は $3$ 以上の整数とする。 また、整数 $m, n$ に対し $e(m,n) = \exp \left( i\frac{2\pi mn}{N} \right)$ と定める。 ここで $i$ は虚数単位である。以下の設問に答えよ。

(1) 整数 $m$ に対し $f_m(t)$ を実数 $t \geq 0$ の関数とし、$f_m(0) = c_m$ とする。ここで $c_m$ は複素数である。 $x(n,t) = e(m,n) f_m(t)$ の形の関数が微分方程式 (*) と条件 (**) を満たすとき、$f_m(t)$ を求めよ。

(2) $(g_0, \ldots, g_{N-1})$ を $N$ 次元複素ベクトルとする。初期条件 $x(n,0) = g_n \ (n = 0,1,\ldots,N-1)$ のもとで、微分方程式 (*) の解を条件 (**) のもとで求めよ。

(3) (2) で求めた解 $x(n,t)$ に対して、$\lim_{t \to \infty} x(n,t)$ を求めよ。

题目描述

考虑定义于整数 $n$ 和 $t\ge0$ 的函数 $x(n,t)$，满足离散热方程

$$\frac{\partial x(n,t)}{\partial t} =x(n-1,t)+x(n+1,t)-2x(n,t)$$

以及周期条件 $x(n+N,t)=x(n,t),$ 其中整数 $N\ge3$。定义 Fourier 模式

$$e(m,n)=\exp\!\left(i\frac{2\pi mn}{N}\right).$$

1. 对整数 $m$，设 $x(n,t)=e(m,n)f_m(t),\qquad f_m(0)=c_m,$ 其中 $c_m\in\mathbb C$。在方程与周期条件下求 $f_m(t)$。
2. 给定初始向量 $(g_0,\ldots,g_{N-1})\in\mathbb C^N$，在 $x(n,0)=g_n\quad(n=0,\ldots,N-1)$ 下，用离散 Fourier 展开求周期解 $x(n,t)$。
3. 求该解的长期极限 $\lim_{t\to\infty}x(n,t).$

Kai

(1)

$$\begin{aligned} & \frac{\partial}{\partial t}x(n,t)=x(n-1,t)+x(n+1,t)-2x(n,t) \\ \Leftrightarrow & e(m,n)\frac{\text{d}}{\text{d} t}f_m(t)=e(m,n-1)f_m(t)+e(m,n+1)f_m(t)-2e(m,n)f_m(t) \\ \Leftrightarrow & \frac{\text{d}}{\text{d} t}f_m(t)=\left (\exp(-i\frac{2\pi m}{N})+\exp(i\frac{2\pi m}{N})-2 \right) f_m(t) \\ \Leftrightarrow & f_m(t)=c_me^{\left (\exp(-i\frac{2\pi m}{N})+\exp(i\frac{2\pi m}{N})-2 \right)t} \\ \end{aligned}$$

そして、これは $e(m,n+N)=e(m,n)$ より、条件 (**) を満たす。

(2)

(1) の形で書けるとまず仮定して、与えられた初期条件を適用すると、$c_m=\frac{g_n}{e(m,n)}$ となる。

しかし、これでは $c_m$ が $n$ に依存してしまうので、条件に反してしまう。 なので、$c_m$ を $n$ に依存しないように定めたい。

ここで、$g_n=\sum_{m=0}^{N-1}e(m,n)c'_m$ という形で書けることを利用する。

ただし、$c'_m=\frac{1}{N}\sum_{n'=0}^{N-1}e(-m,n')g_{n'}$ である。これは離散フーリエ変換に相当する。

なお、このような形で書けることは、以下で確認することが出来る。

$$\begin{aligned} & \sum_{m=0}^{N-1}e(m,n)c'_m \\ = & \frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1}e(m,n)\sum_{n'=0}^{N-1}e(-m,n')g_{n'} \\ = & \frac{1}{N}\sum_{n'=0}^{N-1}\sum_{m=0}^{N-1}e(m,n)e(-m,n')g_{n'} \\ = & \frac{1}{N}\sum_{n'=0}^{N-1}\sum_{m=0}^{N-1}e(m,n-n')g_{n'} \\ = & \frac{1}{N}\sum_{n'=0}^{N-1}N\delta_{n,n'}g_{n'} \\ = & \frac{1}{N}Ng_n \\ = & g_n \\ \end{aligned}$$

この事を利用すると、

$$\begin{aligned} x(n,t)=\sum_{m=0}^{N-1}e(m,n)f_m(t) \quad (c_m=c'_m) \end{aligned}$$

とすれば、

$$\begin{aligned} x(n,0)=\sum_{m=0}^{N-1}e(m,n)c_m=g_n \end{aligned}$$

となり、特に、(1) より、これは条件 (*), (**) を共に満たす。

よって、

$$\begin{aligned} x(n,t) & =\sum_{m=0}^{N-1}e(m,n)f_m(t) \\ & =\sum_{m=0}^{N-1}e(m,n)\left (\frac{1}{N}\sum_{n'=0}^{N-1}e(-m,n')g_{n'} \right ) e^{\left (\exp(-i\frac{2\pi m}{N})+\exp(i\frac{2\pi m}{N})-2 \right) t} \\ \end{aligned}$$

が解となる。

(3)

指数部の係数は $2\cos(2\pi m/N)-2=-4\sin^2(\pi m/N)$ である。$0\le m<N$ では $m=0$ のときだけ $0$、それ以外では負なので、

$$\begin{aligned} \lim_{t\to\infty}x(n,t) & =\lim_{t\to\infty}\sum_{m=0}^{N-1}e(m,n)c_me^{\left (\exp(-i\frac{2\pi m}{N})+\exp(i\frac{2\pi m}{N})-2 \right )t} \\ & =c_0 \\ & =\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}e(0,n)g_n \\ & =\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}g_n \\ \end{aligned}$$

Knowledge

離散フーリエ変換