東京大学情報理工学研究科数理情報学 2019年8月実施第4問

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整数と実数に対する関数がしたがう微分方程式

を考える。ただし、関数は任意の整数に対して

を満たすものとする。ここでは以上の整数とする。また、整数に対しと定める。ここでは虚数単位である。以下の設問に答えよ。

(1) 整数に対しを実数の関数とし、とする。ここでは複素数である。の形の関数が微分方程式 (*) と条件 (**) を満たすとき、を求めよ。

(2) を次元複素ベクトルとする。初期条件のもとで、微分方程式 (*) の解を条件 (**) のもとで求めよ。

(3) (2) で求めた解に対して、を求めよ。

そして、これはより、条件 (**) を満たす。

(1) の形で書けるとまず仮定して、与えられた初期条件を適用すると、となる。

しかし、これではがに依存してしまうので、条件に反してしまう。なので、をに依存しないように定めたい。

ここで、という形で書けることを利用する。

ただし、である。これは離散フーリエ変換に相当する。

なお、このような形で書けることは、以下で確認することが出来る。

この事を利用すると、

とすれば、

となり、特に、(1) より、これは条件 (*), (**) を共に満たす。

よって、

が解となる。

離散フーリエ変換