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東京大学 情報理工学研究科 数理情報学 2019年8月実施 第4問

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hari64boli64

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整数 nn と実数 t≥0t \geq 0 に対する関数 x(n,t)x(n,t) がしたがう微分方程式

∂∂tx(n,t)=x(n−1,t)+x(n+1,t)−2x(n,t)\begin{align} \frac{\partial}{\partial t}x(n,t) = x(n-1,t) + x(n+1,t) - 2x(n,t) \tag{*} \end{align}

を考える。ただし、関数 x(n,t)x(n,t) は任意の整数 nn に対して

x(n+N,t)=x(n,t)\begin{align} x(n+N,t) = x(n,t) \tag{**} \end{align}

を満たすものとする。ここで NN は 33 以上の整数とする。 また、整数 m,nm, n に対し e(m,n)=exp⁡(i2πmnN)e(m,n) = \exp \left( i\frac{2\pi mn}{N} \right) と定める。 ここで ii は虚数単位である。以下の設問に答えよ。

(1) 整数 mm に対し fm(t)f_m(t) を実数 t≥0t \geq 0 の関数とし、fm(0)=cmf_m(0) = c_m とする。ここで cmc_m は複素数である。 x(n,t)=e(m,n)fm(t)x(n,t) = e(m,n) f_m(t) の形の関数が微分方程式 (*) と条件 (**) を満たすとき、fm(t)f_m(t) を求めよ。

(2) (g0,…,gN−1)(g_0, \ldots, g_{N-1}) を NN 次元複素ベクトルとする。初期条件 x(n,0)=gn (n=0,1,…,N−1)x(n,0) = g_n \ (n = 0,1,\ldots,N-1) のもとで、微分方程式 (*) の解を条件 (**) のもとで求めよ。

(3) (2) で求めた解 x(n,t)x(n,t) に対して、lim⁡t→∞x(n,t)\lim_{t \to \infty} x(n,t) を求めよ。

Kai​

(1)​

∂∂tx(n,t)=x(n−1,t)+x(n+1,t)−2x(n,t)⇔e(m,n)ddtfm(t)=e(m,n−1)fm(t)+e(m,n+1)fm(t)−2e(m,n)fm(t)⇔ddtfm(t)=(exp⁡(−i2πmN)+exp⁡(i2πmN)−2)fm(t)⇔fm(t)=cme(exp⁡(−i2πmN)+exp⁡(i2πmN)−2)t\begin{aligned} & \frac{\partial}{\partial t}x(n,t)=x(n-1,t)+x(n+1,t)-2x(n,t) \\ \Leftrightarrow & e(m,n)\frac{\text{d}}{\text{d} t}f_m(t)=e(m,n-1)f_m(t)+e(m,n+1)f_m(t)-2e(m,n)f_m(t) \\ \Leftrightarrow & \frac{\text{d}}{\text{d} t}f_m(t)=\left (\exp(-i\frac{2\pi m}{N})+\exp(i\frac{2\pi m}{N})-2 \right) f_m(t) \\ \Leftrightarrow & f_m(t)=c_me^{\left (\exp(-i\frac{2\pi m}{N})+\exp(i\frac{2\pi m}{N})-2 \right)t} \\ \end{aligned}

そして、これは e(m,n+N)=e(m,n)e(m,n+N)=e(m,n) より、条件 (**) を満たす。

(2)​

(1) の形で書けるとまず仮定して、与えられた初期条件を適用すると、cm=gne(m,n)c_m=\frac{g_n}{e(m,n)} となる。

しかし、これでは cmc_m が nn に依存してしまうので、条件に反してしまう。 なので、cmc_m を nn に依存しないように定めたい。

ここで、gn=∑m=0N−1e(m,n)cm′g_n=\sum_{m=0}^{N-1}e(m,n)c'_m という形で書けることを利用する。

ただし、cm′=1N∑n′=0N−1e(−m,n′)gn′c'_m=\frac{1}{N}\sum_{n'=0}^{N-1}e(-m,n')g_{n'} である。これは離散フーリエ変換に相当する。

なお、このような形で書けることは、以下で確認することが出来る。

∑m=0N−1e(m,n)cm′=1N∑m=0N−1e(m,n)∑n′=0N−1e(−m,n′)gn′=1N∑n′=0N−1∑m=0N−1e(m,n)e(−m,n′)gn′=1N∑n′=0N−1∑m=0N−1e(m,n−n′)gn′=1N∑n′=0N−1Nδn,n′gn′=1NNgn=gn\begin{aligned} & \sum_{m=0}^{N-1}e(m,n)c'_m \\ = & \frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1}e(m,n)\sum_{n'=0}^{N-1}e(-m,n')g_{n'} \\ = & \frac{1}{N}\sum_{n'=0}^{N-1}\sum_{m=0}^{N-1}e(m,n)e(-m,n')g_{n'} \\ = & \frac{1}{N}\sum_{n'=0}^{N-1}\sum_{m=0}^{N-1}e(m,n-n')g_{n'} \\ = & \frac{1}{N}\sum_{n'=0}^{N-1}N\delta_{n,n'}g_{n'} \\ = & \frac{1}{N}Ng_n \\ = & g_n \\ \end{aligned}

この事を利用すると、

x(n,t)=∑m=0N−1e(m,n)fm(t)(cm=cm′)\begin{aligned} x(n,t)=\sum_{m=0}^{N-1}e(m,n)f_m(t) \quad (c_m=c'_m) \end{aligned}

とすれば、

x(n,0)=∑m=0N−1e(m,n)cm=gn\begin{aligned} x(n,0)=\sum_{m=0}^{N-1}e(m,n)c_m=g_n \end{aligned}

となり、特に、(1) より、これは条件 (*), (**) を共に満たす。

よって、

x(n,t)=∑m=0N−1e(m,n)fm(t)=∑m=0N−1e(m,n)(1N∑n′=0N−1e(−m,n′)gn′)e(exp⁡(−i2πmN)+exp⁡(i2πmN)−2)t\begin{aligned} x(n,t) & =\sum_{m=0}^{N-1}e(m,n)f_m(t) \\ & =\sum_{m=0}^{N-1}e(m,n)\left (\frac{1}{N}\sum_{n'=0}^{N-1}e(-m,n')g_{n'} \right ) e^{\left (\exp(-i\frac{2\pi m}{N})+\exp(i\frac{2\pi m}{N})-2 \right) t} \\ \end{aligned}

が解となる。

(3)​

lim⁡t→∞x(n,t)=lim⁡t→∞∑m=0N−1e(m,n)cme(exp⁡(−i2πmN)+exp⁡(i2πmN)−2)t=c0=1N∑n=0N−1e(0,n)gn=1N∑n=0N−1gn\begin{aligned} \lim_{t\to\infty}x(n,t) & =\lim_{t\to\infty}\sum_{m=0}^{N-1}e(m,n)c_me^{\left (\exp(-i\frac{2\pi m}{N})+\exp(i\frac{2\pi m}{N})-2 \right )t} \\ & =c_0 \\ & =\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}e(0,n)g_n \\ & =\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}g_n \\ \end{aligned}

Knowledge​

離散フーリエ変換

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