東京大学 情報理工学研究科 数理情報学 2019年8月実施 第3問 Author hari64boli64 , 祭音Myyura
Description K K K n n n K ( x 1 , x 2 , … , x n ) K(x_1, x_2, \ldots, x_n) K ( x 1 , x 2 , … , x n ) K K K n n n K K K x 1 , x 2 , … , x n , x 1 − 1 , x 2 − 1 , … , x n − 1 x_1, x_2, \ldots, x_n, x_1^{-1}, x_2^{-1}, \ldots, x_n^{-1} x 1 , x 2 , … , x n , x 1 − 1 , x 2 − 1 , … , x n − 1 K ( x 1 , x 2 , … , x n ) K(x_1, x_2, \ldots, x_n) K ( x 1 , x 2 , … , x n ) K [ x 1 , x 2 , … , x n , x 1 − 1 , x 2 − 1 , … , x n − 1 ] K[x_1, x_2, \ldots, x_n, x_1^{-1}, x_2^{-1}, \ldots, x_n^{-1}] K [ x 1 , x 2 , … , x n , x 1 − 1 , x 2 − 1 , … , x n − 1 ] L L L R = K [ x 1 , x 2 , … , x n , y 1 , y 2 , … , y n ] R = K[x_1, x_2, \ldots, x_n, y_1, y_2, \ldots, y_n] R = K [ x 1 , x 2 , … , x n , y 1 , y 2 , … , y n ] K K K 2 n 2n 2 n
(1) 元 p ∈ R p \in R p ∈ R y i ( i = 1 , … , n ) y_i \ (i = 1, \ldots, n) y i ( i = 1 , … , n ) x i − 1 x_i^{-1} x i − 1 L L L φ ( p ) \varphi(p) φ ( p ) φ : R → L \varphi: R \rightarrow L φ : R → L J J J L L L φ − 1 ( J ) \varphi^{-1}(J) φ − 1 ( J ) R R R
(2) 1 ≤ i ≤ n 1 \leq i \leq n 1 ≤ i ≤ n g i = x i y i − 1 g_i = x_i y_i - 1 g i = x i y i − 1
R ′ = { r ∈ R ∣ 1 ≤ i ≤ n とするとき、 r 内のどの単項式についても、 x i と y i がともに現れることはない } R' = \left\{ r \in R \ \left | \ \begin{aligned}
&1 \leq i \leq n \text{ とするとき、 } r \text{ 内のどの単項式についても、 } \\ &x_i \text{ と } y_i \text{ がともに現れることはない}
\end{aligned} \right. \right\} R ′ = { r ∈ R 1 ≤ i ≤ n とするとき、 r 内のどの単項式についても、 x i と y i がともに現れることはない } と定める。任意の元 p ∈ R p \in R p ∈ R p = h 1 g 1 + ⋯ + h n g n + r p = h_1 g_1 + \cdots + h_n g_n + r p = h 1 g 1 + ⋯ + h n g n + r R R R h 1 , … , h n h_1, \ldots, h_n h 1 , … , h n R ′ R' R ′ r r r
(3) g 1 , … , g n g_1, \ldots, g_n g 1 , … , g n R R R I I I φ = I \varphi = I φ = I L L L R / I R/I R / I
题目描述
设 K K K n n n
L = K [ x 1 , … , x n , x 1 − 1 , … , x n − 1 ] L=K[x_1,\ldots,x_n,x_1^{-1},\ldots,x_n^{-1}] L = K [ x 1 , … , x n , x 1 − 1 , … , x n − 1 ] 为有理函数域 K ( x 1 , … , x n ) K(x_1,\ldots,x_n) K ( x 1 , … , x n )
R = K [ x 1 , … , x n , y 1 , … , y n ] . R=K[x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_n]. R = K [ x 1 , … , x n , y 1 , … , y n ] . 定义环同态 φ : R → L \varphi:R\to L φ : R → L p ∈ R p\in R p ∈ R y i y_i y i x i − 1 x_i^{-1} x i − 1
对 L L L J J J φ − 1 ( J ) \varphi^{-1}(J) φ − 1 ( J ) R R R
对 i = 1 , … , n i=1,\ldots,n i = 1 , … , n
g i = x i y i − 1. g_i=x_iy_i-1. g i = x i y i − 1. 定义 R ′ ⊂ R R'\subset R R ′ ⊂ R i i i x i x_i x i y i y_i y i p ∈ R p\in R p ∈ R h 1 , … , h n ∈ R h_1,\ldots,h_n\in R h 1 , … , h n ∈ R r ∈ R ′ r\in R' r ∈ R ′
p = h 1 g 1 + ⋯ + h n g n + r . p=h_1g_1+\cdots+h_ng_n+r. p = h 1 g 1 + ⋯ + h n g n + r .
令 I = ( g 1 , … , g n ) I=(g_1,\ldots,g_n) I = ( g 1 , … , g n )
ker φ = I , \ker\varphi=I, ker φ = I , 并由此证明
Kai (1)
以下の二つを言えばよい。
φ − 1 ( J ) \varphi^{-1}(J) φ − 1 ( J ) J J J L L L
r ∈ φ − 1 ( J ) , x ∈ R ⇒ r x ∈ φ − 1 ( J ) r \in \varphi^{-1}(J),x \in R \Rightarrow rx \in \varphi^{-1}(J) r ∈ φ − 1 ( J ) , x ∈ R ⇒ r x ∈ φ − 1 ( J ) φ ( r x ) = φ ( r ) φ ( x ) ∈ J ( ∵ φ ( r ) ∈ J , φ ( x ) ∈ L ) \varphi(rx)=\varphi(r)\varphi(x)\in J \quad (\because \varphi(r) \in J , \varphi(x) \in L) φ ( r x ) = φ ( r ) φ ( x ) ∈ J ( ∵ φ ( r ) ∈ J , φ ( x ) ∈ L )
(2)
単項式 M = c ∏ i x i a i y i b i M=c\prod_i x_i^{a_i}y_i^{b_i} M = c ∏ i x i a i y i b i m i = min ( a i , b i ) > 0 m_i=\min(a_i,b_i)>0 m i = min ( a i , b i ) > 0
( x i y i ) m i − 1 = ( x i y i − 1 ) ∑ k = 0 m i − 1 ( x i y i ) k (x_iy_i)^{m_i}-1=(x_iy_i-1)\sum_{k=0}^{m_i-1}(x_iy_i)^k ( x i y i ) m i − 1 = ( x i y i − 1 ) k = 0 ∑ m i − 1 ( x i y i ) k より、M M M g i g_i g i c x i a i − m i y i b i − m i ∏ j ≠ i x j a j y j b j c\,x_i^{a_i-m_i}y_i^{b_i-m_i}\prod_{j\ne i}x_j^{a_j}y_j^{b_j} c x i a i − m i y i b i − m i ∏ j = i x j a j y j b j i i i
p = ∑ i = 1 n h i g i + r p=\sum_{i=1}^n h_i g_i+r p = i = 1 ∑ n h i g i + r となり、r r r x i , y i x_i,y_i x i , y i 0 0 0 r ∈ R ′ r\in R' r ∈ R ′
(3)
φ ( g i ) = 0 \varphi(g_i)=0 φ ( g i ) = 0 I ⊆ ker φ I\subseteq\ker\varphi I ⊆ ker φ
逆に p ∈ ker φ p\in\ker\varphi p ∈ ker φ φ ( r ) = 0 \varphi(r)=0 φ ( r ) = 0 R ′ R' R ′ ∏ i x i a i y i b i \prod_i x_i^{a_i}y_i^{b_i} ∏ i x i a i y i b i ∏ i x i a i − b i \prod_i x_i^{a_i-b_i} ∏ i x i a i − b i i i i a i , b i a_i,b_i a i , b i 0 0 0 a i − b i a_i-b_i a i − b i ( a i , b i ) (a_i,b_i) ( a i , b i ) φ ( r ) = 0 \varphi(r)=0 φ ( r ) = 0 r = 0 r=0 r = 0 p ∈ I p\in I p ∈ I ker φ = I \ker\varphi=I ker φ = I
また x i = φ ( x i ) x_i=\varphi(x_i) x i = φ ( x i ) x i − 1 = φ ( y i ) x_i^{-1}=\varphi(y_i) x i − 1 = φ ( y i ) Im φ = L \operatorname{Im}\varphi=L Im φ = L
R / K e r φ ≅ I m φ ⇒ R / I ≅ L \begin{aligned}
& R/\mathrm{Ker}{\varphi} \cong \mathrm{Im}{\varphi} \\
\Rightarrow & R/I \cong L
\end{aligned} ⇒ R / Ker φ ≅ Im φ R / I ≅ L Knowledge 斜体ならば可換性を課さないが、体ならば可換性がある。
体の定義は以下の通り。
空でない集合K K K
K K K 0 ≠ 1 0\ne1 0 = 1 K K K 0 0 0 a ≠ 0 a \neq 0 a = 0 a a − 1 = 1 aa^{-1}=1 a a − 1 = 1 K × = K ∖ { 0 } K^{\times}=K\setminus\{0\} K × = K ∖ { 0 } K × K^{\times} K × K K K
この時、右イデアルと左イデアルは同じになる。
イデアルの定義は以下の通り。
R R R I ⊂ R I \subset R I ⊂ R I I I
I I I r ∈ R , x ∈ I ⇒ r x ∈ I r \in R, x \in I \Rightarrow rx \in I r ∈ R , x ∈ I ⇒ r x ∈ I r ∈ R , x ∈ I ⇒ x r ∈ I r \in R, x \in I \Rightarrow xr \in I r ∈ R , x ∈ I ⇒ x r ∈ I
可換単位的環 R R R S S S S S S
( S ) = { r 1 s 1 + ⋯ r n s n ∣ r k ∈ R , s k ∈ S , n ≥ 1 } \begin{aligned}
(S)=\{r_1s_1+\cdots r_ns_n | r_k \in R, s_k \in S, n \geq 1 \}
\end{aligned} ( S ) = { r 1 s 1 + ⋯ r n s n ∣ r k ∈ R , s k ∈ S , n ≥ 1 } 環の準同型定理より、環準同型 f : R 1 → R 2 f:R_1\to R_2 f : R 1 → R 2 R 1 / ker f ≅ Im f R_1/\ker f\cong\operatorname{Im}f R 1 / ker f ≅ Im f