東京大学情報理工学研究科数理情報学 2019年8月実施第3問

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を体、を正整数とする。を上の変数の有理関数のなす体とし、およびで生成されるの部分環をで表す。またを上の変数多項式環とする。以下の設問に答えよ。

(1) 元において、各変数にを代入して得られるの元をで表す。この写像は環の準同型である。をのイデアルとするとき、はのイデアルであることを示せ。

(2) についてと定める。また、

と す る と き 、 内 の ど の 単 項 式 に つ い て も 、 と が と も に 現 れ る こ と は な い

と定める。任意の元に対して、となるの元との元が存在することを示せ。

(3) で生成されるのイデアルをで表す。ker を示し、が剰余環と同型であることを示せ。

以下の二つを言えばよい。

自明

は代入すれば明らか。

は、(2)よりならばが言えればよい。

説明が難しいが、とが無関係だということを言えばok? (自信なし)

後半は準同型定理より、

斜体ならば可換性を課さないが、体ならば可換性がある。

体の定義は以下の通り。

空でない集合が体(field)であるとは，

この時、右イデアルと左イデアルは同じになる。

イデアルの定義は以下の通り。

を環とし，とする。について，

から生成された有限生成イデアルの一般形は以下の通り。

群の準同型定理の主張は以下の通り。

群準同型に対して、写像は群準同型であり、特に、である。