東京大学 情報理工学研究科 数理情報学 2019年8月実施 第3問 Author hari64boli64
Description K K K n n n K ( x 1 , x 2 , … , x n ) K(x_1, x_2, \ldots, x_n) K ( x 1 , x 2 , … , x n ) K K K n n n K K K x 1 , x 2 , … , x n , x 1 − 1 , x 2 − 1 , … , x n − 1 x_1, x_2, \ldots, x_n, x_1^{-1}, x_2^{-1}, \ldots, x_n^{-1} x 1 , x 2 , … , x n , x 1 − 1 , x 2 − 1 , … , x n − 1 K ( x 1 , x 2 , … , x n ) K(x_1, x_2, \ldots, x_n) K ( x 1 , x 2 , … , x n ) K [ x 1 , x 2 , … , x n , x 1 − 1 , x 2 − 1 , … , x n − 1 ] K[x_1, x_2, \ldots, x_n, x_1^{-1}, x_2^{-1}, \ldots, x_n^{-1}] K [ x 1 , x 2 , … , x n , x 1 − 1 , x 2 − 1 , … , x n − 1 ] L L L R = K [ x 1 , x 2 , … , x n , y 1 , y 2 , … , y n ] R = K[x_1, x_2, \ldots, x_n, y_1, y_2, \ldots, y_n] R = K [ x 1 , x 2 , … , x n , y 1 , y 2 , … , y n ] K K K 2 n 2n 2 n
(1) 元 p ∈ R p \in R p ∈ R y i ( i = 1 , … , n ) y_i \ (i = 1, \ldots, n) y i ( i = 1 , … , n ) x i − 1 x_i^{-1} x i − 1 L L L φ ( p ) \varphi(p) φ ( p ) φ : R → L \varphi: R \rightarrow L φ : R → L J J J L L L φ − 1 ( J ) \varphi^{-1}(J) φ − 1 ( J ) R R R
(2) 1 ≤ i ≤ n 1 \leq i \leq n 1 ≤ i ≤ n g i = x i y i − 1 g_i = x_i y_i - 1 g i = x i y i − 1
R ′ = { r ∈ R ∣ 1 ≤ i ≤ n とするとき、 r 内のどの単項式についても、 x i と y i がともに現れることはない } R' = \left\{ r \in R \ \left | \ \begin{aligned}
&1 \leq i \leq n \text{ とするとき、 } r \text{ 内のどの単項式についても、 } \\ &x_i \text{ と } y_i \text{ がともに現れることはない}
\end{aligned} \right. \right\} R ′ = { r ∈ R 1 ≤ i ≤ n とするとき、 r 内のどの単項式についても、 x i と y i がともに現れることはない } と定める。任意の元 p ∈ R p \in R p ∈ R p = h 1 g 1 + ⋯ + h n g n + r p = h_1 g_1 + \cdots + h_n g_n + r p = h 1 g 1 + ⋯ + h n g n + r R R R h 1 , … , h n h_1, \ldots, h_n h 1 , … , h n R ′ R' R ′ r r r
(3) g 1 , … , g n g_1, \ldots, g_n g 1 , … , g n R R R I I I φ = I \varphi = I φ = I L L L R / I R/I R / I
题目描述
设 K K K n n n
L = K [ x 1 , … , x n , x 1 − 1 , … , x n − 1 ] L=K[x_1,\ldots,x_n,x_1^{-1},\ldots,x_n^{-1}] L = K [ x 1 , … , x n , x 1 − 1 , … , x n − 1 ] 为有理函数域 K ( x 1 , … , x n ) K(x_1,\ldots,x_n) K ( x 1 , … , x n ) R = K [ x 1 , … , x n , y 1 , … , y n ] . R=K[x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_n]. R = K [ x 1 , … , x n , y 1 , … , y n ] . φ : R → L \varphi:R\to L φ : R → L p ∈ R p\in R p ∈ R y i y_i y i x i − 1 x_i^{-1} x i − 1
对 L L L J J J φ − 1 ( J ) \varphi^{-1}(J) φ − 1 ( J ) R R R
对 i = 1 , … , n i=1,\ldots,n i = 1 , … , n g i = x i y i − 1. g_i=x_iy_i-1. g i = x i y i − 1. R ′ ⊂ R R'\subset R R ′ ⊂ R i i i x i x_i x i y i y_i y i p ∈ R p\in R p ∈ R h 1 , … , h n ∈ R h_1,\ldots,h_n\in R h 1 , … , h n ∈ R r ∈ R ′ r\in R' r ∈ R ′ p = h 1 g 1 + ⋯ + h n g n + r . p=h_1g_1+\cdots+h_ng_n+r. p = h 1 g 1 + ⋯ + h n g n + r .
令 I = ( g 1 , … , g n ) I=(g_1,\ldots,g_n) I = ( g 1 , … , g n ) ker φ = I , \ker\varphi=I, ker φ = I , L ≅ R / I . L\cong R/I. L ≅ R / I .
理想的逆像 ：验证环同态下加法封闭及吸收性。Laurent 多项式环 ：用关系 x i y i = 1 x_iy_i=1 x i y i = 1 多项式约化 ：反复消去单项式中成对出现的 x i y i x_i y_i x i y i 核理想与第一同构定理 ：确定代入同态的核并把像表示为商环。
Kai (1)
以下の二つを言えばよい。
φ − 1 ( J ) \varphi^{-1}(J) φ − 1 ( J ) J J J L L L
r ∈ φ − 1 ( J ) , x ∈ R ⇒ r x ∈ φ − 1 ( J ) r \in \varphi^{-1}(J),x \in R \Rightarrow rx \in \varphi^{-1}(J) r ∈ φ − 1 ( J ) , x ∈ R ⇒ r x ∈ φ − 1 ( J ) φ ( r x ) = φ ( r ) φ ( x ) ∈ J ( ∵ φ ( r ) ∈ J , φ ( x ) ∈ L ) \varphi(rx)=\varphi(r)\varphi(x)\in J \quad (\because \varphi(r) \in J , \varphi(x) \in L) φ ( r x ) = φ ( r ) φ ( x ) ∈ J ( ∵ φ ( r ) ∈ J , φ ( x ) ∈ L )
(2)
自明
(3)
I ⊂ K e r φ I \subset \mathrm{Ker}\varphi I ⊂ Ker φ
K e r φ ⊂ I \mathrm{Ker}\varphi \subset I Ker φ ⊂ I r ≠ 0 r\neq 0 r = 0 φ ( p ) ≠ 0 \varphi(p) \neq 0 φ ( p ) = 0
説明が難しいが、x i x_i x i x j , y j x_j,y_j x j , y j
後半は準同型定理より、
R / K e r φ ≅ I m φ ⇒ R / I ≅ L \begin{aligned}
& R/\mathrm{Ker}{\varphi} \cong \mathrm{Im}{\varphi} \\
\Rightarrow & R/I \cong L
\end{aligned} ⇒ R / Ker φ ≅ Im φ R / I ≅ L Knowledge 斜体ならば可換性を課さないが、体ならば可換性がある。
体の定義は以下の通り。
空でない集合K K K
K K K K K K 0 0 0 a ≠ 0 a \neq 0 a = 0 a a − 1 = 1 aa^{-1}=1 a a − 1 = 1 K × = K ∖ { 0 } K^{\times}=K\setminus\{0\} K × = K ∖ { 0 } K × K^{\times} K × K K K
この時、右イデアルと左イデアルは同じになる。
イデアルの定義は以下の通り。
R R R I ⊂ R I \subset R I ⊂ R I I I
I I I r ∈ R , x ∈ I ⇒ r x ∈ I r \in R, x \in I \Rightarrow rx \in I r ∈ R , x ∈ I ⇒ r x ∈ I r ∈ R , x ∈ I ⇒ x r ∈ I r \in R, x \in I \Rightarrow xr \in I r ∈ R , x ∈ I ⇒ x r ∈ I
S ( ⊂ R ) S (\subset R) S ( ⊂ R )
( S ) = { r 1 s 1 + ⋯ r n s n ∣ r k ∈ R , s k ∈ S , n ≥ 1 } \begin{aligned}
(S)=\{r_1s_1+\cdots r_ns_n | r_k \in R, s_k \in S, n \geq 1 \}
\end{aligned} ( S ) = { r 1 s 1 + ⋯ r n s n ∣ r k ∈ R , s k ∈ S , n ≥ 1 } 群の準同型定理の主張は以下の通り。
群準同型 f : G 1 → G 2 f:G_1 \to G_2 f : G 1 → G 2 F : G 1 / K e r f → I m f F:G_1/\mathrm{Ker}f \to \mathrm{Im}f F : G 1 / Ker f → Im f G 1 / K e r f ≅ I m f G_1/\mathrm{Ker}f \cong \mathrm{Im}f G 1 / Ker f ≅ Im f