東京大学 情報理工学研究科 数理情報学 2016年8月実施 第3問

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Author

hari64boli64, 祭音Myyura

Description

定数 $p$ を $0 < p < 1$ の範囲で定める。 分布関数 $F_X : \mathbb{R} \rightarrow (0, 1)$ が逆関数 $F_X^{-1}$ を持ち、$\int_{0}^{1} |F_X^{-1}(u)| \, \text{d}u < \infty$ を満たすような任意の実数値確率変数 $X$ に対して、

$$R[X] = \frac{1}{1-p} \int_{p}^{1} F_X^{-1}(u) \, \text{d}u$$

と定義する。ここで、$\mathbb{R}$ は実数全体の集合を表わし、$(0, 1) = \{x \mid 0 < x < 1\}$ である。 以下の設問に答えよ。

ただし、確率変数 $X$ の期待値を $E[X]$ で表わす。 また、事象 $A$ に対して、$A$ が起こる確率を $\Pr(A)$ と書き、事象 $A$ が起こるとき $1$、そうでないとき $0$ となる確率変数を $I_A$ と表わす。

(1) 分布関数が $F_T(t) = \frac{1}{1 + e^{-t}}$ となる確率変数 $T$ に対して、$R[T]$ を求めよ。

(2) $R[X]$ が定義されるような確率変数 $X$ を考え、$X \geq F_X^{-1}(p)$ となる事象を $B$ と書く。このとき

$$\Pr(B) = 1 - p, \quad R[X] = \frac{E[X \cdot I_B]}{1 - p}$$

となることを示せ。また、$\Pr(A) = 1 - p$ を満たす任意の事象 $A$ に対し、不等式

$$E[X \cdot I_A] \leq E[X \cdot I_B]$$

が成り立つことを示せ。

(3) 独立とは限らない確率変数 $X, Y$ に対し、$R[X], R[Y], R[X + Y]$ のいずれもが定義されるならば、不等式

$$R[X + Y] \leq R[X] + R[Y]$$

が成り立つことを示せ。

题目描述

固定 $0<p<1$。对任意实值随机变量 $X$，假设其分布函数 $F_X:\mathbb R\to(0,1)$ 可逆且

$$\int_0^1|F_X^{-1}(u)|\,du<\infty,$$

定义尾部风险泛函

$$R[X]=\frac1{1-p}\int_p^1F_X^{-1}(u)\,du.$$

记期望为 $E[X]$；对事件 $A$，以 $I_A$ 表示其示性随机变量。

1. 随机变量 $T$ 的分布函数为

   $$F_T(t)=\frac1{1+e^{-t}},$$

   求 $R[T]$。

2. 对可定义 $R[X]$ 的随机变量 $X$，令

   $$B=\{X\ge F_X^{-1}(p)\}.$$

   证明

   $$P(B)=1-p,\qquad R[X]=\frac{E[XI_B]}{1-p};$$

   并证明对任意满足 $P(A)=1-p$ 的事件 $A$，

   $$E[XI_A]\le E[XI_B].$$

3. 对不要求独立的随机变量 $X,Y$，若 $R[X]$、$R[Y]$ 与 $R[X+Y]$ 均有定义，证明次可加性

   $$R[X+Y]\le R[X]+R[Y].$$

Kai

(1)

$u=F_T(t)$ を $t$ について解くと $F_T^{-1}(u)=\log u-\log(1-u)$ となる。原始関数は $u\log u+(1-u)\log(1-u)$ であり、$u\to1$ で $0$ に収束するので、

$$R[T]=\frac1{1-p}\left[u\log u+(1-u)\log(1-u)\right]_p^1.$$

$$\begin{aligned} R[T]=\frac{(1-p)\log(1-p)+p\log{p}}{p-1} \end{aligned}$$

(2)

$U=F_X(X)$ とおくと $U$ は $(0,1)$ 上の一様分布に従い、$X=F_X^{-1}(U)$ である。したがって

$$\Pr(B)=\Pr(U\ge p)=1-p,\qquad E[XI_B]=\int_p^1F_X^{-1}(u)\,\mathrm du=(1-p)R[X].$$

$c=F_X^{-1}(p)$ とおく。$\Pr(A)=\Pr(B)$ より $\Pr(B\setminus A)=\Pr(A\setminus B)$ であり、$B\setminus A$ 上で $X\ge c$、$A\setminus B$ 上で $X<c$ だから、

$$E[XI_B]-E[XI_A] =E[XI_{B\setminus A}]-E[XI_{A\setminus B}] \ge c\{\Pr(B\setminus A)-\Pr(A\setminus B)\}=0.$$

(3)

$A=(X+Y \geq F_{X+Y}^{-1}(p)),B=(X \geq F_X^{-1}(p)),C=(Y \geq F_Y^{-1}(p))$ とする。

$\mathrm{Pr}(A)=\mathrm{Pr}(B)=1-p$ であることから、(2) 後半より、$\mathrm{E}[X \cdot I_A] \leq \mathrm{E}[X \cdot I_B]$ である。

同様に、$\mathrm{E}[Y \cdot I_A] \leq \mathrm{E}[Y \cdot I_C]$ である。

よって、

$$\begin{aligned} & \mathrm{E}[X \cdot I_A]+ \mathrm{E}[Y \cdot I_A] \leq \mathrm{E}[X \cdot I_B] + \mathrm{E}[Y \cdot I_C] \\ \Leftrightarrow & \mathrm{E}\left[(X+Y) \cdot I_{X+Y \geq F_{X+Y}^{-1}(p)} \right] \leq E[X \cdot I_{X \geq F_X^{-1}(p)}] + E[Y \cdot I_{Y \geq F_Y^{-1}(p)}] \\ \Leftrightarrow & \mathrm{R}[X+Y] \leq \mathrm{R}[X] + \mathrm{R}[Y] \end{aligned}$$