東京大学 情報理工学研究科 数理情報学 2016年8月実施 第3問

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hari64boli64

Description

定数 $p$ を $0 < p < 1$ の範囲で定める。 分布関数 $F_X : \mathbb{R} \rightarrow (0, 1)$ が逆関数 $F_X^{-1}$ を持ち、$\int_{0}^{1} |F_X^{-1}(u)| \, \text{d}u < \infty$ を満たすような任意の実数値確率変数 $X$ に対して、

$$R[X] = \frac{1}{1-p} \int_{p}^{1} F_X^{-1}(u) \, \text{d}u$$

と定義する。ここで、$\mathbb{R}$ は実数全体の集合を表わし、$(0, 1) = \{x \mid 0 < x < 1\}$ である。 以下の設問に答えよ。

ただし、確率変数 $X$ の期待値を $E[X]$ で表わす。 また、事象 $A$ に対して、$A$ が起こる確率を $\Pr(A)$ と書き、事象 $A$ が起こるとき $1$、そうでないとき $0$ となる確率変数を $I_A$ と表わす。

(1) 分布関数が $F_T(t) = \frac{1}{1 + e^{-t}}$ となる確率変数 $T$ に対して、$R[T]$ を求めよ。

(2) $R[X]$ が定義されるような確率変数 $X$ を考え、$X \geq F_X^{-1}(p)$ となる事象を $B$ と書く。このとき

$$\Pr(B) = 1 - p, \quad R[X] = \frac{E[X \cdot I_B]}{1 - p}$$

となることを示せ。また、$\Pr(A) = 1 - p$ を満たす任意の事象 $A$ に対し、不等式

$$E[X \cdot I_A] \leq E[X \cdot I_B]$$

が成り立つことを示せ。

(3) 独立とは限らない確率変数 $X, Y$ に対し、$R[X], R[Y], R[X + Y]$ のいずれもが定義されるならば、不等式

$$R[X + Y] \leq R[X] + R[Y]$$

が成り立つことを示せ。

题目描述

固定 $0<p<1$。对任意实值随机变量 $X$，假设其分布函数 $F_X:\mathbb R\to(0,1)$ 可逆且 $\int_0^1|F_X^{-1}(u)|\,du<\infty,$ 定义尾部风险泛函

$$R[X]=\frac1{1-p}\int_p^1F_X^{-1}(u)\,du.$$

记期望为 $E[X]$；对事件 $A$，以 $I_A$ 表示其示性随机变量。

1. 随机变量 $T$ 的分布函数为 $F_T(t)=\frac1{1+e^{-t}},$ 求 $R[T]$。
2. 对可定义 $R[X]$ 的随机变量 $X$，令 $B=\{X\ge F_X^{-1}(p)\}.$ 证明
   R[X]=\frac{E[XI_B]}{1-p};$$ 并证明对任意满足 $P(A)=1-p$ 的事件 $A$， $$E[XI_A]\le E[XI_B].$$
3. 对不要求独立的随机变量 $X,Y$，若 $R[X]$、$R[Y]$ 与 $R[X+Y]$ 均有定义，证明次可加性 $R[X+Y]\le R[X]+R[Y].$

考点

• 分位数与条件尾部期望：把分位数积分表示为最坏 $1-p$ 概率质量上的平均损失。
• Logistic 分布分位数：求逆分布函数并计算尾积分。
• 重排与极值性质：证明选取 $X$ 最大的尾部事件可使截断期望最大。
• 一致风险度量：利用尾部事件的极值表征证明风险泛函的次可加性。

Kai

(1)

$$\begin{aligned} R[T]=\frac{(1-p)\log(1-p)+p\log{p}}{p-1} \end{aligned}$$

(2)

確率密度関数を $P$ とする。

$$\begin{aligned} \mathrm{Pr}(B) & = \int_{x \in B} P(x) \ \text{d}x \\ & = \int P(x) \ \text{d}x - \int_{x \notin B} P(x) \ \text{d}x \\ & = 1 - \int_{x \notin B} P(x) \ \text{d}x \\ & = 1 - \int_{\int_0^x P(x) \ \text{d}x < p} P(x) \ \text{d}x \\ & = 1 - p \\ \end{aligned}$$

最後に、$P(x) \geq 0$ から導かれる、範囲についての単調性を用いた(もう少し厳密なやり方があるかも)。

$$\begin{aligned} R[X] & =\frac{1}{1-p}\int_p^1 F_X^{-1}(u) \ \text{d}u \\ & =\frac{1}{1-p}\int_{u \geq p} F_X^{-1}(u) \ \text{d}u \\ & =\frac{1}{1-p}\int_{F(x) \geq p} P(x)x \ \text{d}x \; \left(\because F_X(x)=u, \frac{\text{d}u}{\text{d}x}=\frac{\text{d}F_X}{\text{d}x}=P(x) \right) \\ & =\frac{1}{1-p}\int P(x) (xI_B) \ \text{d}x \\ \end{aligned}$$

$x \in B \setminus A \Rightarrow x \geq F_X^{-1}(p), x \in A \setminus B \Rightarrow x < F_X^{-1}(p)$ より、

$$\begin{aligned} \int_{x\in B \setminus A} xP(x)\ \text{d}x & \leq F_X^{-1}(p)\mathrm{Pr}(B \setminus A) \\ & = F_X^{-1}(p)\mathrm{Pr}(A \setminus B) \; (\because \mathrm{Pr}(A)=\mathrm{Pr}(B)=1-p) \\ & \leq \int_{x\in A \setminus B} xP(x)\ \text{d}x \end{aligned}$$

ただし、一つ目の不等号における等号は $\mathrm{B \setminus A}=0$ の時に成立する ($A=B$ とは、厳密には言えない)。

(3)

$A=(X+Y \geq F_{X+Y}^{-1}(p)),B=(X \geq F_X^{-1}(p)),C=(Y \geq F_Y^{-1}(p))$ とする。

$\mathrm{Pr}(A)=\mathrm{Pr}(B)=1-p$ であることから、(2) 後半より、$\mathrm{E}[X \cdot I_A] \leq \mathrm{E}[X \cdot I_B]$ である。

同様に、$\mathrm{E}[Y \cdot I_A] \leq \mathrm{E}[Y \cdot I_C]$ である。

よって、

$$\begin{aligned} & \mathrm{E}[X \cdot I_A]+ \mathrm{E}[Y \cdot I_A] \leq \mathrm{E}[X \cdot I_B] + \mathrm{E}[Y \cdot I_C] \\ \Leftrightarrow & \mathrm{E}\left[(X+Y) \cdot I_{X+Y \geq F_{X+Y}^{-1}(p)} \right] \leq E[X \cdot I_{X \geq F_X^{-1}(p)}] + E[Y \cdot I_{Y \geq F_Y^{-1}(p)}] \\ \Leftrightarrow & \mathrm{R}[X+Y] \leq \mathrm{R}[X] + \mathrm{R}[Y] \end{aligned}$$