東京大学情報理工学研究科数理情報学 2016年8月実施第3問

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定数をの範囲で定める。分布関数が逆関数を持ち、を満たすような任意の実数値確率変数に対して、

と定義する。ここで、は実数全体の集合を表わし、である。以下の設問に答えよ。

ただし、確率変数の期待値をで表わす。また、事象に対して、が起こる確率をと書き、事象が起こるとき、そうでないときとなる確率変数をと表わす。

(1) 分布関数がとなる確率変数に対して、を求めよ。

(2) が定義されるような確率変数を考え、となる事象をと書く。このとき

となることを示せ。また、を満たす任意の事象に対し、不等式

が成り立つことを示せ。

(3) 独立とは限らない確率変数に対し、のいずれもが定義されるならば、不等式

が成り立つことを示せ。

確率密度関数をとする。

最後に、から導かれる、範囲についての単調性を用いた(もう少し厳密なやり方があるかも)。

より、

ただし、一つ目の不等号における等号はの時に成立する ( とは、厳密には言えない)。

とする。

であることから、(2) 後半より、である。

同様に、である。

よって、