東京大学 情報理工学研究科 数理情報学 2016年8月実施 第2問

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hari64boli64, 祭音Myyura

Description

2 枚のコイン $A$, $B$ がある。 $A$ を投げたとき表の出る確率は $\theta_A \ (0 < \theta_A < 1)$, $B$ を投げたとき表の出る確率は $\theta_B \ (0 < \theta_B < 1)$ である。 どちらかのコインを投げ、表が出たら次も同じコインを投げ、裏が出たら次はもう一方のコインを投げる、というルールに従ってコインを $n$ 回投げる。 1 回目に投げるコインは確率 $1/2$ で $A$ か $B$ を選ぶものとする。 以下の設問に答えよ。

(1) $n$ 回目に投げるコインが $A$ である確率を求めよ。

(2) $n$ 回投げたとき、表の出る回数の期待値を $H(n)$ とする。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{H(n)}{n}$$

を求めよ。

(3) $\theta_A \neq \theta_B$ のとき、(2) で求めた値は $(\theta_A + \theta_B) / 2$ より大きいことを示せ。

题目描述

有两枚硬币 $A,B$。投掷 $A$ 得到正面的概率为 $\theta_A$，投掷 $B$ 得到正面的概率为 $\theta_B$，其中 $0<\theta_A,\theta_B<1$。按以下规则连续投掷 $n$ 次：

• 若本次为正面，下次继续投掷同一枚硬币；
• 若本次为反面，下次改投另一枚硬币；
• 第一次以各 $1/2$ 的概率选择 $A$ 或 $B$。

回答下列问题。

1. 求第 $n$ 次投掷所用硬币为 $A$ 的概率。

2. 记前 $n$ 次投掷中正面总数的期望为 $H(n)$，求长期平均正面率

   $$\lim_{n\to\infty}\frac{H(n)}n.$$

3. 当 $\theta_A\ne\theta_B$ 时，证明第 2 问的极限严格大于

   $$(\theta_A+\theta_B)/2.$$

Kai

(1)

$p_n$ を第 $n$ 回にコイン $A$ を選ぶ確率とすると、

$$p_{n+1}=\theta_Ap_n+(1-\theta_B)(1-p_n),\qquad p_1=\frac12.$$

$p_*=(1-\theta_B)/(2-\theta_A-\theta_B)$ とおけば $p_{n+1}-p_*=(\theta_A+\theta_B-1)(p_n-p_*)$ なので、

$$\begin{aligned} \left (\frac{1}{2} - \frac{1-\theta_B}{2-\theta_A-\theta_B} \right) \left(-1+\theta_A+\theta_B \right)^{n-1}+\frac{1-\theta_B}{2-\theta_A-\theta_B} \end{aligned}$$

(2)

第 $j$ 回に表が出る確率は $h_j=\theta_Ap_j+\theta_B(1-p_j)$ である。 $|\theta_A+\theta_B-1|<1$ より $p_j\to p_*$ だから、 $h_j\to\theta_Ap_*+\theta_B(1-p_*)$。したがって Cesàro 平均により、

$$\lim_{n\to\infty}\frac{H(n)}n =\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{j=1}^nh_j =\theta_Ap_*+\theta_B(1-p_*).$$

よって求める極限は

$$\begin{aligned} \frac{\theta_A+\theta_B-2\theta_A\theta_B}{2-\theta_A-\theta_B} \end{aligned}$$

(3)

比較する。

$$\begin{aligned} \frac{\theta_A+\theta_B-2\theta_A\theta_B}{2-\theta_A-\theta_B} - \frac{\theta_A+\theta_B}{2} & = \frac{(\theta_A-\theta_B)^2}{2(2-\theta_A-\theta_B)} \\ & > 0 \end{aligned}$$