東京大学 情報理工学系研究科 2024年8月実施 数学 第3問

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• Tokyo-University
• Pattern-Occurrence-in-Independent-Identically-Distributed-Sequence
• Recurrence-Relation
• Complex-Exponential-and-Polar-Form

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

表の出る確率が $p$ の硬貨を $n$ 回投げる。表が2回連続して現れない確率を $a_n$、表が3回連続して現れない確率を $b_n$ とする。$a_1=1,\ b_1=b_2=1$ として、以下に答えよ。

(1) $a_2$ を $p$ の関数として表せ。

(2) $n\ge3$ のとき、$a_n$ を $p,a_{n-1},a_{n-2}$ で表せ。

(3) $p=2/3$ のとき、漸化式

$$a_n+\alpha a_{n-1}=\beta(a_{n-1}+\alpha a_{n-2})$$

を満たす実数の組 $(\alpha,\beta)$ をすべて求めよ。

(4) $p=2/3$ のとき、$a_n$ を $n$ の関数として表せ。

(5) $b_3$ を $p$ の関数として表せ。

(6) $n\ge4$ のとき、$b_n$ を $p,b_{n-1},b_{n-2},b_{n-3}$ で表せ。

(7) $p=3/4$ のとき、任意の正整数 $n$ に対し、次式が成り立つことを示せ。

$$\begin{aligned} b_n={}&\frac98\left(\frac34\right)^{n-1} -\frac{(-1)^{n-1}}8\left(\frac{\sqrt3}{4}\right)^{n-1} \cos((n-1)\theta)\\ &-\frac{\sqrt2\,i}{8}\left\{ \left(\frac{-1+\sqrt2\,i}{4}\right)^{n-1} -\left(\frac{-1-\sqrt2\,i}{4}\right)^{n-1} \right\}. \end{aligned}$$

ただし $i$ は虚数単位であり、$\theta$ は $\cos\theta=1/\sqrt3,\ \sin\theta=\sqrt2/\sqrt3$ を満たす角である。

题目描述

将正面概率为 $p$ 的硬币投掷 $n$ 次。设 $a_n$ 为没有连续两次正面的概率，$b_n$ 为没有连续三次正面的概率，并设 $a_1=1,\ b_1=b_2=1$。

（1）用 $p$ 表示 $a_2$。

（2）当 $n\ge3$ 时，用 $p,a_{n-1},a_{n-2}$ 表示 $a_n$。

（3）当 $p=2/3$ 时，求满足下列递推关系的所有实数对 $(\alpha,\beta)$：

$$a_n+\alpha a_{n-1}=\beta(a_{n-1}+\alpha a_{n-2}).$$

（4）当 $p=2/3$ 时，求 $a_n$ 关于 $n$ 的显式表达式。

（5）用 $p$ 表示 $b_3$。

（6）当 $n\ge4$ 时，用 $p,b_{n-1},b_{n-2},b_{n-3}$ 表示 $b_n$。

（7）当 $p=3/4$ 时，证明对所有正整数 $n$，都有

$$\begin{aligned} b_n={}&\frac98\left(\frac34\right)^{n-1} -\frac{(-1)^{n-1}}8\left(\frac{\sqrt3}{4}\right)^{n-1} \cos((n-1)\theta)\\ &-\frac{\sqrt2\,i}{8}\left\{ \left(\frac{-1+\sqrt2\,i}{4}\right)^{n-1} -\left(\frac{-1-\sqrt2\,i}{4}\right)^{n-1} \right\}, \end{aligned}$$

其中 $i$ 为虚数单位，$\cos\theta=1/\sqrt3,\ \sin\theta=\sqrt2/\sqrt3$。

Kai

(1)

除外されるのは2回とも表の場合だけなので、

$$\boxed{a_2=1-p^2}.$$

(2)

条件を満たす列の末尾は「裏」または「裏・表」である。これらは互いに排反であり、残りの部分も連続する2個の表を含まない。独立性より

$$\boxed{a_n=(1-p)a_{n-1}+p(1-p)a_{n-2}\qquad(n\ge3)}.$$

(3)

$p=2/3$ では

$$a_n=\frac13a_{n-1}+\frac29a_{n-2}.$$

求める漸化式の係数と比較して

$$\beta-\alpha=\frac13,\qquad \alpha\beta=\frac29.$$

したがって $(\alpha+2/3)(\alpha-1/3)=0$ であり、

$$\boxed{(\alpha,\beta)=\left(\frac13,\frac23\right), \quad\left(-\frac23,-\frac13\right)}.$$

なお $a_1=1,\ a_2=5/9,\ a_3=11/27$ から $a_2^2-a_1a_3=-8/81\ne0$ なので、係数比較で他の組を落とすことはない。

(4)

特性方程式は

$$r^2-\frac13r-\frac29 =\left(r-\frac23\right)\left(r+\frac13\right)=0.$$

よって $a_n=A(2/3)^{n-1}+B(-1/3)^{n-1}$ と書ける。$a_1=1,\ a_2=5/9$ を代入すると $A=8/9,\ B=1/9$ だから、

$$\boxed{a_n=\frac89\left(\frac23\right)^{n-1} +\frac19\left(-\frac13\right)^{n-1}}.$$

(5)

除外されるのは3回とも表の場合だけなので、

$$\boxed{b_3=1-p^3}.$$

(6)

条件を満たす列の末尾を「裏」「裏・表」「裏・表・表」に分ける。独立性より

$$\boxed{ b_n=(1-p)b_{n-1}+p(1-p)b_{n-2}+p^2(1-p)b_{n-3} \qquad(n\ge4)}.$$

(7)

$p=3/4$ のとき、(6) の特性多項式は

$$\begin{aligned} r^3-\frac14r^2-\frac3{16}r-\frac9{64} &=\left(r-\frac34\right)\left(r^2+\frac12r+\frac3{16}\right)\\ &=\left(r-\frac34\right)(r-r_+)(r-r_-), \end{aligned} \qquad r_\pm=\frac{-1\pm\sqrt2\,i}{4}.$$

したがって、初期値 $b_1=b_2=1,\ b_3=37/64$ を満たす解は

$$b_n=\frac98\left(\frac34\right)^{n-1} +\left(-\frac1{16}-\frac{\sqrt2\,i}{8}\right)r_+^{n-1} +\left(-\frac1{16}+\frac{\sqrt2\,i}{8}\right)r_-^{n-1}.$$

実際、各項は漸化式を満たし、$n=1,2,3$ の値は順に $1,1,37/64$ であるから、漸化式の解の一意性によりこの表示が成立する。

ここで $r_\pm=-(\sqrt3/4)e^{\mp i\theta}$ なので、

$$r_+^{n-1}+r_-^{n-1} =2(-1)^{n-1}\left(\frac{\sqrt3}{4}\right)^{n-1} \cos((n-1)\theta).$$

これを上の表示に代入すれば

$$\boxed{\begin{aligned} b_n={}&\frac98\left(\frac34\right)^{n-1} -\frac{(-1)^{n-1}}8\left(\frac{\sqrt3}{4}\right)^{n-1} \cos((n-1)\theta)\\ &-\frac{\sqrt2\,i}{8} \left(r_+^{n-1}-r_-^{n-1}\right), \end{aligned}}$$

となり、題意の式を得る。