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東京大学 情報理工学系研究科 2024年8月実施 数学 第3問

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

表の出る確率が pp の硬貨を nn 回投げる。表が2回連続して現れない確率を ana_n、表が3回連続して現れない確率を bnb_n とする。a1=1, b1=b2=1a_1=1,\ b_1=b_2=1 として、以下に答えよ。

(1) a2a_2 を pp の関数として表せ。

(2) n≥3n\ge3 のとき、ana_n を p,an−1,an−2p,a_{n-1},a_{n-2} で表せ。

(3) p=2/3p=2/3 のとき、漸化式

an+αan−1=β(an−1+αan−2)a_n+\alpha a_{n-1}=\beta(a_{n-1}+\alpha a_{n-2})

を満たす実数の組 (α,β)(\alpha,\beta) をすべて求めよ。

(4) p=2/3p=2/3 のとき、ana_n を nn の関数として表せ。

(5) b3b_3 を pp の関数として表せ。

(6) n≥4n\ge4 のとき、bnb_n を p,bn−1,bn−2,bn−3p,b_{n-1},b_{n-2},b_{n-3} で表せ。

(7) p=3/4p=3/4 のとき、任意の正整数 nn に対し、次式が成り立つことを示せ。

bn=98(34)n−1−(−1)n−18(34)n−1cos⁡((n−1)θ)−2 i8{(−1+2 i4)n−1−(−1−2 i4)n−1}.\begin{aligned} b_n={}&\frac98\left(\frac34\right)^{n-1} -\frac{(-1)^{n-1}}8\left(\frac{\sqrt3}{4}\right)^{n-1} \cos((n-1)\theta)\\ &-\frac{\sqrt2\,i}{8}\left\{ \left(\frac{-1+\sqrt2\,i}{4}\right)^{n-1} -\left(\frac{-1-\sqrt2\,i}{4}\right)^{n-1} \right\}. \end{aligned}

ただし ii は虚数単位であり、θ\theta は cos⁡θ=1/3, sin⁡θ=2/3\cos\theta=1/\sqrt3,\ \sin\theta=\sqrt2/\sqrt3 を満たす角である。

题目描述​

将正面概率为 pp 的硬币投掷 nn 次。设 ana_n 为没有连续两次正面的概率，bnb_n 为没有连续三次正面的概率，并设 a1=1, b1=b2=1a_1=1,\ b_1=b_2=1。

（1）用 pp 表示 a2a_2。

（2）当 n≥3n\ge3 时，用 p,an−1,an−2p,a_{n-1},a_{n-2} 表示 ana_n。

（3）当 p=2/3p=2/3 时，求满足下列递推关系的所有实数对 (α,β)(\alpha,\beta)：

an+αan−1=β(an−1+αan−2).a_n+\alpha a_{n-1}=\beta(a_{n-1}+\alpha a_{n-2}).

（4）当 p=2/3p=2/3 时，求 ana_n 关于 nn 的显式表达式。

（5）用 pp 表示 b3b_3。

（6）当 n≥4n\ge4 时，用 p,bn−1,bn−2,bn−3p,b_{n-1},b_{n-2},b_{n-3} 表示 bnb_n。

（7）当 p=3/4p=3/4 时，证明对所有正整数 nn，都有

bn=98(34)n−1−(−1)n−18(34)n−1cos⁡((n−1)θ)−2 i8{(−1+2 i4)n−1−(−1−2 i4)n−1},\begin{aligned} b_n={}&\frac98\left(\frac34\right)^{n-1} -\frac{(-1)^{n-1}}8\left(\frac{\sqrt3}{4}\right)^{n-1} \cos((n-1)\theta)\\ &-\frac{\sqrt2\,i}{8}\left\{ \left(\frac{-1+\sqrt2\,i}{4}\right)^{n-1} -\left(\frac{-1-\sqrt2\,i}{4}\right)^{n-1} \right\}, \end{aligned}

其中 ii 为虚数单位，cos⁡θ=1/3, sin⁡θ=2/3\cos\theta=1/\sqrt3,\ \sin\theta=\sqrt2/\sqrt3。

Kai​

(1)​

除外されるのは2回とも表の場合だけなので、

a2=1−p2.\boxed{a_2=1-p^2}.

(2)​

条件を満たす列の末尾は「裏」または「裏・表」である。これらは互いに排反であり、残りの部分も連続する2個の表を含まない。独立性より

an=(1−p)an−1+p(1−p)an−2(n≥3).\boxed{a_n=(1-p)a_{n-1}+p(1-p)a_{n-2}\qquad(n\ge3)}.

(3)​

p=2/3p=2/3 では

an=13an−1+29an−2.a_n=\frac13a_{n-1}+\frac29a_{n-2}.

求める漸化式の係数と比較して

β−α=13,αβ=29.\beta-\alpha=\frac13,\qquad \alpha\beta=\frac29.

したがって (α+2/3)(α−1/3)=0(\alpha+2/3)(\alpha-1/3)=0 であり、

(α,β)=(13,23),(−23,−13).\boxed{(\alpha,\beta)=\left(\frac13,\frac23\right), \quad\left(-\frac23,-\frac13\right)}.

なお a1=1, a2=5/9, a3=11/27a_1=1,\ a_2=5/9,\ a_3=11/27 から a22−a1a3=−8/81≠0a_2^2-a_1a_3=-8/81\ne0 なので、係数比較で他の組を落とすことはない。

(4)​

特性方程式は

r2−13r−29=(r−23)(r+13)=0.r^2-\frac13r-\frac29 =\left(r-\frac23\right)\left(r+\frac13\right)=0.

よって an=A(2/3)n−1+B(−1/3)n−1a_n=A(2/3)^{n-1}+B(-1/3)^{n-1} と書ける。a1=1, a2=5/9a_1=1,\ a_2=5/9 を代入すると A=8/9, B=1/9A=8/9,\ B=1/9 だから、

an=89(23)n−1+19(−13)n−1.\boxed{a_n=\frac89\left(\frac23\right)^{n-1} +\frac19\left(-\frac13\right)^{n-1}}.

(5)​

除外されるのは3回とも表の場合だけなので、

b3=1−p3.\boxed{b_3=1-p^3}.

(6)​

条件を満たす列の末尾を「裏」「裏・表」「裏・表・表」に分ける。独立性より

bn=(1−p)bn−1+p(1−p)bn−2+p2(1−p)bn−3(n≥4).\boxed{ b_n=(1-p)b_{n-1}+p(1-p)b_{n-2}+p^2(1-p)b_{n-3} \qquad(n\ge4)}.

(7)​

p=3/4p=3/4 のとき、(6) の特性多項式は

r3−14r2−316r−964=(r−34)(r2+12r+316)=(r−34)(r−r+)(r−r−),r±=−1±2 i4.\begin{aligned} r^3-\frac14r^2-\frac3{16}r-\frac9{64} &=\left(r-\frac34\right)\left(r^2+\frac12r+\frac3{16}\right)\\ &=\left(r-\frac34\right)(r-r_+)(r-r_-), \end{aligned} \qquad r_\pm=\frac{-1\pm\sqrt2\,i}{4}.

したがって、初期値 b1=b2=1, b3=37/64b_1=b_2=1,\ b_3=37/64 を満たす解は

bn=98(34)n−1+(−116−2 i8)r+n−1+(−116+2 i8)r−n−1.b_n=\frac98\left(\frac34\right)^{n-1} +\left(-\frac1{16}-\frac{\sqrt2\,i}{8}\right)r_+^{n-1} +\left(-\frac1{16}+\frac{\sqrt2\,i}{8}\right)r_-^{n-1}.

実際、各項は漸化式を満たし、n=1,2,3n=1,2,3 の値は順に 1,1,37/641,1,37/64 であるから、漸化式の解の一意性によりこの表示が成立する。

ここで r±=−(3/4)e∓iθr_\pm=-(\sqrt3/4)e^{\mp i\theta} なので、

r+n−1+r−n−1=2(−1)n−1(34)n−1cos⁡((n−1)θ).r_+^{n-1}+r_-^{n-1} =2(-1)^{n-1}\left(\frac{\sqrt3}{4}\right)^{n-1} \cos((n-1)\theta).

これを上の表示に代入すれば

bn=98(34)n−1−(−1)n−18(34)n−1cos⁡((n−1)θ)−2 i8(r+n−1−r−n−1),\boxed{\begin{aligned} b_n={}&\frac98\left(\frac34\right)^{n-1} -\frac{(-1)^{n-1}}8\left(\frac{\sqrt3}{4}\right)^{n-1} \cos((n-1)\theta)\\ &-\frac{\sqrt2\,i}{8} \left(r_+^{n-1}-r_-^{n-1}\right), \end{aligned}}

となり、題意の式を得る。

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