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東京大学 情報理工学系研究科 2024年8月実施 数学 第1問

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description​

2次元平面の直線 αx+βy+γ=0\alpha x+\beta y+\gamma=0 に対し、列ベクトル (α,β,γ)T(\alpha,\beta,\gamma)^{\mathsf T} を係数ベクトルと呼ぶ。(x,y)(x,y) は直線上の点のデカルト座標である。解答中の係数ベクトルは α2+β2=1\alpha^2+\beta^2=1 を満たすものとする。

(1) 点 a\boldsymbol a を通り、単位ベクトル v\boldsymbol v に垂直な直線の係数ベクトルをひとつ求めよ。

(2) 点 b\boldsymbol b を通り、単位ベクトル n\boldsymbol n に垂直な直線を B\mathrm B とする。直線 A\mathrm A を B\mathrm B に関して鏡像変換した直線を A′\mathrm A' とする。A\mathrm A の係数ベクトルを A′\mathrm A' の係数ベクトルに変換する 3×33\times3 行列をひとつ求め、b,n\boldsymbol b,\boldsymbol n を用いて表せ。

(3) (2) の行列の行列式を求めよ。

(4) 実数 tt に対し、係数ベクトル (4t,4t2−1,t)T(4t,4t^2-1,t)^{\mathsf T} を持つ直線 Dt\mathrm D_t は、tt によらずある一点を通る。その点の座標を求めよ。

(5) tt に応じて変化する直線 Mt\mathrm M_t に関する鏡像変換により、Dt\mathrm D_t が係数ベクトル (0,1,−t)T(0,1,-t)^{\mathsf T} の直線に移るとする。Mt\mathrm M_t の係数ベクトル (αt,βt,γt)T(\alpha_t,\beta_t,\gamma_t)^{\mathsf T} を求めよ。ただし t>0t>0 では αt>0, βt>0\alpha_t>0,\ \beta_t>0 とする。

(6) tt が 00 から +∞+\infty まで変化するとき、(5) の直線 Mt\mathrm M_t が存在し得る領域を簡潔な数式で表し、図示せよ。

题目描述​

在二维平面上，将直线 αx+βy+γ=0\alpha x+\beta y+\gamma=0 的列向量 (α,β,γ)T(\alpha,\beta,\gamma)^{\mathsf T} 称为系数向量。解答中的系数向量须满足 α2+β2=1\alpha^2+\beta^2=1。

（1）求一个经过点 a\boldsymbol a、垂直于单位向量 v\boldsymbol v 的直线的系数向量。

（2）直线 B\mathrm B 经过点 b\boldsymbol b 且垂直于单位向量 n\boldsymbol n。直线 A\mathrm A 关于 B\mathrm B 的镜像为 A′\mathrm A'。用 b,n\boldsymbol b,\boldsymbol n 表示一个将 A\mathrm A 的系数向量变换为 A′\mathrm A' 的系数向量的 3×33\times3 矩阵。

（3）求（2）中矩阵的行列式。

（4）直线 Dt\mathrm D_t 的系数向量为 (4t,4t2−1,t)T(4t,4t^2-1,t)^{\mathsf T}。求它对所有实数 tt 都经过的定点。

（5）关于直线 Mt\mathrm M_t 的镜像变换将 Dt\mathrm D_t 变为系数向量 (0,1,−t)T(0,1,-t)^{\mathsf T} 的直线。求 Mt\mathrm M_t 的系数向量 (αt,βt,γt)T(\alpha_t,\beta_t,\gamma_t)^{\mathsf T}，其中 t>0t>0 时要求 αt>0, βt>0\alpha_t>0,\ \beta_t>0。

（6）当 tt 从 00 变化到 +∞+\infty 时，用简洁的数学表达式描述 Mt\mathrm M_t 扫过的区域，并画图。

Kai​

(1)​

直線の方程式は vT(x−a)=0\boldsymbol v^{\mathsf T}(\boldsymbol x-\boldsymbol a)=0 である。よって、求める係数ベクトルのひとつは

(v−vTa).\boxed{\begin{pmatrix}\boldsymbol v\\-\boldsymbol v^{\mathsf T}\boldsymbol a\end{pmatrix}}.

(2)​

H=I2−2nnTH=I_2-2\boldsymbol n\boldsymbol n^{\mathsf T}、c=2n(nTb)\boldsymbol c=2\boldsymbol n(\boldsymbol n^{\mathsf T}\boldsymbol b) とおく。点の鏡像変換は

x′=Hx+c,x=Hx′+c\boldsymbol x'=H\boldsymbol x+\boldsymbol c, \qquad \boldsymbol x=H\boldsymbol x'+\boldsymbol c

である。直線 uTx+γ=0\boldsymbol u^{\mathsf T}\boldsymbol x+\gamma=0 に代入すると、

(Hu)Tx′+cTu+γ=0.(H\boldsymbol u)^{\mathsf T}\boldsymbol x' +\boldsymbol c^{\mathsf T}\boldsymbol u+\gamma=0.

したがって、求める行列は

Q=(I2−2nnT02(nTb)nT1).\boxed{ Q=\begin{pmatrix} I_2-2\boldsymbol n\boldsymbol n^{\mathsf T}&\boldsymbol 0\\ 2(\boldsymbol n^{\mathsf T}\boldsymbol b)\boldsymbol n^{\mathsf T}&1 \end{pmatrix}}.

HH は直交行列なので、法線ベクトルの長さ 11 は保たれる。

(3)​

Hn=−nH\boldsymbol n=-\boldsymbol n であり、n\boldsymbol n に垂直な方向では HH の固有値は 11 である。ゆえに

det⁡Q=det⁡H=−1.\boxed{\det Q=\det H=-1}.

(4)​

定点 (x,y)(x,y) は恒等式

4yt2+(4x+1)t−y=04yt^2+(4x+1)t-y=0

を満たす。係数比較により y=0, 4x+1=0y=0,\ 4x+1=0 だから、

(x,y)=(−14,0).\boxed{(x,y)=\left(-\frac14,0\right)}.

(5)​

Dt\mathrm D_t の法線の長さは

(4t)2+(4t2−1)2=4t2+1.\sqrt{(4t)^2+(4t^2-1)^2}=4t^2+1.

鏡軸は Dt\mathrm D_t と y=ty=t の角の二等分線なので、t>0t>0 において

4tx+(4t2−1)y+t4t2+1±(y−t)=0.\frac{4tx+(4t^2-1)y+t}{4t^2+1}\pm(y-t)=0.

両法線成分を正にできるのは ++ の場合であり、整理すると

Mt:x+2ty−t2=0.\mathrm M_t:\quad x+2ty-t^2=0.

よって

(αtβtγt)=11+4t2(12t−t2).\boxed{ \begin{pmatrix}\alpha_t\\\beta_t\\\gamma_t\end{pmatrix} =\frac1{\sqrt{1+4t^2}} \begin{pmatrix}1\\2t\\-t^2\end{pmatrix}}.

この式は全実数 tt で鏡像変換の条件を満たす。t=0t=0 では、この直線族の連続な延長として M0:x=0\mathrm M_0:x=0 を取る。

(6)​

(x,y)∈Mt(x,y)\in\mathrm M_t は x=t2−2ytx=t^2-2yt と同値である。t≥0t\ge0 における右辺の最小値は

min⁡t≥0(t2−2yt)={−y2,y≥0,0,y<0.\min_{t\ge0}(t^2-2yt) =\begin{cases} -y^2,&y\ge0,\\ 0,&y<0. \end{cases}

右辺は最小値から +∞+\infty までの全値を取るので、求める領域は

{(x,y):y≥0, x≥−y2} ∪ {(x,y):y<0, x≥0}.\boxed{ \{(x,y):y\ge0,\ x\ge-y^2\} \ \cup\ \{(x,y):y<0,\ x\ge0\}}.

境界は放物線 x=−y2x=-y^2 の y≥0y\ge0 の部分と、半直線 x=0, y≤0x=0,\ y\le0 である。いずれも領域に含まれる。

直線族 M_t が掃く領域。青色が領域、実線が含まれる境界、破線が直線族の例。

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