東京大学 情報理工学研究科 2022年8月実施 数学 第2問

Author

Miyake

Description

を実数の独立変数、 と を実数値関数として、以下の問いに答えよ。

(1) 常微分方程式

の で有界である解を全て求めよ。

(2) 常微分方程式

の で有界である解 と をすべて求めよ。

(3) 適切な変数変換によって常微分方程式

を線形な常微分方程式に変換し、 となる解 を求めよ。

Kai

(1)

まず、

に （ は によらない定数）を代入すると、

となるので、この微分方程式の一般解は

である。

次に、与えられた微分方程式に （ は によらない定数）を代入すると、

を得るので、

は特殊解である。

以上より、与えられた微分方程式の一般解は

である。よって、 で有界である解は

である。

(2)

とおくと、

が成り立ち、 (1) と同じように考えて、これの一般解は

であることがわかる。

とおくと、

が成り立ち、 (1) と同じように考えて、これの一般解は

であることがわかる。

以上より、与えられた微分方程式の一般解は

である。よって、 で有界である解は

である。

(3)

与えられた微分方程式はベルヌーイ方程式なので、 とおくことで、線形な微分方程式が得られる：

この方程式に を代入して整理すると、

となるので、一般解

を得る。さらに、 を使うと、

となるので、求める解は

である。