東京大学 情報理工学研究科 2022年8月実施 数学 第2問

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Author

Miyake

Description

$t$ を実数の独立変数、$x(t)$ と $y(t)$ を実数値関数として、以下の問いに答えよ。

(1) 常微分方程式

$$\frac{d^2x}{dt^2} + 2\frac{dx}{dt} + x = \cos(t)$$

の $t \to -\infty$ で有界である解を全て求めよ。

(2) 常微分方程式

$$\begin{aligned} \frac{d^2x}{dt^2} + 2\frac{dx}{dt} + x - y &= \cos(t) \\ \frac{d^2y}{dt^2} + 2\frac{dy}{dt} + y - x &= 0 \end{aligned}$$

の $t \to -\infty$ で有界である解 $x(t)$ と $y(t)$ をすべて求めよ。

(3) 適切な変数変換によって常微分方程式

$$e^{-t}x^2 - 2\frac{dx}{dt} + x = 0$$

を線形な常微分方程式に変換し、$x(0) = \frac{1}{2}$ となる解 $x(t)$ を求めよ。

Kai

(1)

まず、

$$\begin{aligned} \frac{d^2x}{dt^2} + 2 \frac{dx}{dt} + x = 0 \end{aligned}$$

に $x=e^{\lambda t}$ （ $\lambda$ は $t$ によらない定数）を代入すると、

$$\begin{aligned} &\lambda^2 + 2 \lambda + 1 = 0 \\ &\therefore \ \ \lambda = -1 \ \ \ \ \text{ （重解） } \end{aligned}$$

となるので、この微分方程式の一般解は

$$\begin{aligned} x = Ce^{-x} + Dxe^{-x} \ \ \ \ \ \ \ \ ( C, D \text{ は積分定数 } ) \end{aligned}$$

である。

次に、与えられた微分方程式に $x = A \sin (t) + B \cos (t)$ （ $A,B$ は $t$ によらない定数）を代入すると、

$$\begin{aligned} A = \frac{1}{2}, \ B = 0 \end{aligned}$$

を得るので、

$$\begin{aligned} x = \frac{1}{2} \sin (t) \end{aligned}$$

は特殊解である。

以上より、与えられた微分方程式の一般解は

$$\begin{aligned} x = Ce^{-x} + Dxe^{-x} + \frac{1}{2} \sin (t) \ \ \ \ \ \ \ \ ( C, D \text{ は積分定数 } ) \end{aligned}$$

である。よって、 $t \to - \infty$ で有界である解は

$$\begin{aligned} x = \frac{1}{2} \sin (t) \end{aligned}$$

である。

(2)

$z=x+y$ とおくと、

$$\begin{aligned} \frac{d^2z}{dt^2} + 2 \frac{dz}{dt} = \cos (t) \end{aligned}$$

が成り立ち、 (1) と同じように考えて、これの一般解は

$$\begin{aligned} z = A e^{-2t} + B + \frac{2}{5} \sin (t) - \frac{1}{5} \cos (t) \ \ \ \ \ \ \ \ ( A, B \text{ は積分定数 } ) \end{aligned}$$

であることがわかる。

$w=x-y$ とおくと、

$$\begin{aligned} \frac{d^2w}{dt^2} + 2 \frac{dw}{dt} + 2w = \cos (t) \end{aligned}$$

が成り立ち、 (1) と同じように考えて、これの一般解は

$$\begin{aligned} w = C e^{-t} \sin (t) + D e^{-t} \cos (t) + \frac{2}{5} \sin (t) + \frac{1}{5} \cos (t) \ \ \ \ \ \ \ \ ( C, D \text{ は積分定数 } ) \end{aligned}$$

であることがわかる。

以上より、与えられた微分方程式の一般解は

$$\begin{aligned} x &= \frac{z+w}{2} \\ &= A e^{-2t} + B + C e^{-t} \sin (t) + D e^{-t} \cos (t) + \frac{2}{5} \sin (t) , \\ y &= \frac{z-w}{2} \\ &= A e^{-2t} + B - C e^{-t} \sin (t) - D e^{-t} \cos (t) - \frac{1}{5} \cos (t) \\ &( A, B, C, D \text{ は積分定数 } ) \end{aligned}$$

である。よって、 $t \to - \infty$ で有界である解は

$$\begin{aligned} x &= B + \frac{2}{5} \sin (t) , \\ y &= B - \frac{1}{5} \cos (t) \\ &( B \text{ は任意定数 } ) \end{aligned}$$

である。

(3)

与えられた微分方程式はベルヌーイ方程式なので、 $y = 1/x$ とおくことで、線形な微分方程式が得られる：

$$\begin{aligned} \frac{dy}{dt} &= - \frac{1}{x^2} \frac{dx}{dt} \\ &= - \frac{1}{x^2} \frac{1}{2} \left( e^{-t} x^2 + x \right) \\ &= - \frac{1}{2} \left( e^{-t} + \frac{1}{x} \right) \\ &= - \frac{1}{2} \left( e^{-t} + y \right) \\ \therefore \ \ 2 \frac{dy}{dt} + y &= - e^{-t} . \end{aligned}$$

この方程式に $y=f(t)e^{-t/2}$ を代入して整理すると、

$$\begin{aligned} \frac{df}{dt} &= - \frac{1}{2} e^{-\frac{1}{2}t} \\ \therefore \ \ f(t) &= e^{-\frac{1}{2}t} + C \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \end{aligned}$$

となるので、一般解

$$\begin{aligned} y(t) &= \left( e^{-\frac{1}{2}t} + C \right) e^{-\frac{1}{2}t} \\ &= e^{-t} + C e^{-\frac{1}{2}t} \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \\ \therefore \ \ x(t) &= \frac{1}{e^{-t} + C e^{-\frac{1}{2}t}} \\ &= \frac{e^t}{1 + C e^{\frac{1}{2}t}} \ \ \ \ \ \ \ \ ( C \text{ は積分定数 } ) \end{aligned}$$

を得る。さらに、 $x(0)=1/2$ を使うと、

$$\begin{aligned} \frac{1}{1 + C} &= \frac{1}{2} \\ \therefore \ \ C &= 1 \end{aligned}$$

となるので、求める解は

$$\begin{aligned} x(t) &= \frac{e^t}{1 + e^{\frac{1}{2}t}} \end{aligned}$$

である。