東京大学 情報理工学研究科 2022年8月実施 数学 第1問

标签：

• Tokyo-University
• Vandermonde-Determinant
• Lagrange-Polynomial-Interpolation

Author

Miyake

Description

以下の問いに答えよ。

(1) 実数変数 $x, y$ の関数 $f(x, y)$ を以下のように定義する。

$$f(x,y) = \begin{vmatrix} 1 & x_1 & y_1 \\ 1 & x_2 & y_2 \\ 1 & x & y \end{vmatrix}$$

方程式 $f(x, y) = 0$ の解の集合は、$xy$ 平面上の $2$ 点 $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$ を通る直線となることを示せ。ただし、$x_1 \neq x_2$ とする。

(2) 行列式

$$\begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 \\ 1 & x_2 & x_2^2 \\ 1 & x_3 & x_3^2 \end{vmatrix}$$

の値を因数分解した形で求めよ。

(3) $xy$ 平面上の $3$ 点 $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$, $(x_3, y_3)$ を通る曲線 $y = a_0 + a_1x + a_2x^2$ が唯一存在することを示せ。ただし、$a_0, a_1, a_2$ は定数で、$x_1, x_2, x_3$ は互いに異なるとする。

(4) (3) の曲線は $y = c_1y_1 + c_2y_2 + c_3y_3$ の形で表せる。ただし、$c_1, c_2, c_3$ は $y_1, y_2, y_3$ に依存しないものとする。$c_1, c_2, c_3$ を求めよ。

(5) $xy$ 平面上の $5$ 点 $(x_1, y_1), \ldots, (x_5, y_5)$ を通る曲線 $y = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4$ を $y = c_1y_1 + \cdots + c_5y_5$ の形で表す。 ただし、$c_1, \ldots, c_5$ は $y_1, \ldots, y_5$ に依存しせず、$x_1, \ldots, x_5$ はお互いに異なるとする。$c_1$ を求めよ。

题目描述

回答下列问题。

（1）定义

$$f(x,y)= \begin{vmatrix} 1&x_1&y_1\\ 1&x_2&y_2\\ 1&x&y \end{vmatrix}.$$

在 $x_1\ne x_2$ 时，证明方程 $f(x,y)=0$ 的解集是通过 $(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$ 的直线。

（2）将行列式

$$\begin{vmatrix} 1&x_1&x_1^2\\ 1&x_2&x_2^2\\ 1&x_3&x_3^2 \end{vmatrix}$$

的值写成因式分解形式。

（3）设 $x_1,x_2,x_3$ 两两不同，证明恰有一条二次曲线

$$y=a_0+a_1x+a_2x^2$$

通过三点 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$。

（4）把第（3）问的插值曲线写成

$$y=c_1y_1+c_2y_2+c_3y_3,$$

其中 $c_i$ 不依赖 $y_1,y_2,y_3$；求 $c_1,c_2,c_3$。

（5）设 $x_1,\ldots,x_5$ 两两不同，把通过五点 $(x_i,y_i)$ 的四次插值多项式写成

$$y=c_1y_1+\cdots+c_5y_5,$$

其中 $c_i$ 不依赖各 $y_j$；求 $c_1$。

考点

• 行列式的几何意义：用三阶行列式判定三点共线。
• Vandermonde 行列式：将幂矩阵行列式分解为节点差的乘积，并据此证明可逆性。
• Lagrange 多项式插值：构造各节点取一、其余节点取零的基多项式，得到二次及四次插值系数。

Kai

(1)

$f(x,y)$ は $x,y$ のそれぞれに関して1次式である。

また、2つの行が同じとき行列式は $0$ であるので、

$f(x_1, y_1)=0, \ f(x_2,y_2)=0$ もわかる。

よって、 $f(x,y)=0$ は2点 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ を通る直線である。

(2)

$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 \\ 1 & x_2 & x_2^2 \\ 1 & x_3 & x_3^2 \end{vmatrix} &= \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 \\ 0 & x_2-x_1 & (x_1+x_2)(x_2-x_1) \\ 0 & x_3-x_1 & (x_1+x_3)(x_3-x_1) \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} x_2-x_1 & (x_1+x_2)(x_2-x_1) \\ x_3-x_1 & (x_1+x_3)(x_3-x_1) \end{vmatrix} \\ &= (x_2-x_1) (x_3-x_1) \begin{vmatrix} 1 & x_1+x_2 \\ 1 & x_3+x_1 \end{vmatrix} \\ &= (x_2-x_1) (x_3-x_1) (x_3-x_2) \\ &= (x_1-x_2) (x_2-x_3) (x_3-x_1) \end{aligned}$$

(3)

$a_0, a_1, a_2$ が満たすべき条件は

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 \\ 1 & x_2 & x_2^2 \\ 1 & x_3 & x_3^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

である。 $x_1, x_2, x_3$ が互いに異なるとき、 (2) より、

$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 \\ 1 & x_2 & x_2^2 \\ 1 & x_3 & x_3^2 \end{vmatrix} \ne 0 \end{aligned}$$

であるから、逆行列

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 \\ 1 & x_2 & x_2^2 \\ 1 & x_3 & x_3^2 \end{pmatrix}^{-1} \end{aligned}$$

が唯一存在し、 $a_0,a_1,a_2$ は

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 \\ 1 & x_2 & x_2^2 \\ 1 & x_3 & x_3^2 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

のみである。 よって、条件を満たす曲線は唯一存在する。

(4)

$$\begin{aligned} y &= a_0 + a_1 x + a_2 x^2 \\ &= \begin{pmatrix} 1 & x & x^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & x & x^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 \\ 1 & x_2 & x_2^2 \\ 1 & x_3 & x_3^2 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} \\ \therefore \ \ \begin{pmatrix} c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 & x & x^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 \\ 1 & x_2 & x_2^2 \\ 1 & x_3 & x_3^2 \end{pmatrix}^{-1} \\ &= \frac{1}{(x_1-x_2)(x_2-x_3)(x_3-x_1)} \begin{pmatrix} 1 & x & x^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_2 x_3 \begin{vmatrix} 1 & x_2 \\ 1 & x_3 \end{vmatrix} & - x_1 x_3 \begin{vmatrix} 1 & x_1 \\ 1 & x_3 \end{vmatrix} & x_1 x_2 \begin{vmatrix} 1 & x_1 \\ 1 & x_2 \end{vmatrix} \\ - \begin{vmatrix} 1 & x_2^2 \\ 1 & x_3^2 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1 & x_1^2 \\ 1 & x_3^2 \end{vmatrix} & - \begin{vmatrix} 1 & x_1^2 \\ 1 & x_2^2 \end{vmatrix} \\ \begin{vmatrix} 1 & x_2 \\ 1 & x_3 \end{vmatrix} & - \begin{vmatrix} 1 & x_1 \\ 1 & x_3 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1 & x_1 \\ 1 & x_2 \end{vmatrix} \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{(x_1-x_2)(x_2-x_3)(x_3-x_1)} \begin{pmatrix} 1 & x & x^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} - x_2 x_3 (x_2-x_3) & - x_1 x_3 (x_3-x_1) & - x_1 x_2 (x_1-x_2) \\ (x_2+x_3)(x_2-x_3) & (x_3+x_1)(x_3-x_1) & (x_1+x_2)(x_1-x_2) \\ - (x_2-x_3) & - (x_3-x_1) & - (x_1-x_2) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \frac{-x_2x_3 + (x_2+x_3)x - x^2}{(x_1-x_2)(x_3-x_1)} & \frac{-x_3x_1 + (x_3+x_1)x - x^2}{(x_1-x_2)(x_2-x_3)} & \frac{-x_1x_2 + (x_1+x_2)x - x^2}{(x_2-x_3)(x_3-x_1)} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

(5)

$$\begin{aligned} y &= a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4 \\ &= \begin{pmatrix} 1 & x & x^2 & x^3 & x^4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & x & x^2 & x^3 & x^4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & x_1^3 & x_1^4 \\ 1 & x_2 & x_2^2 & x_2^3 & x_2^4 \\ 1 & x_3 & x_3^2 & x_3^3 & x_3^4 \\ 1 & x_4 & x_4^2 & x_4^3 & x_4^4 \\ 1 & x_5 & x_5^2 & x_5^3 & x_5^4 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \\ y_5 \end{pmatrix} \\ \therefore \ \ \begin{pmatrix} c_1 & c_2 & c_3 & c_4 & c_5 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 & x & x^2 & x^3 & x^4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & x_1^3 & x_1^4 \\ 1 & x_2 & x_2^2 & x_2^3 & x_2^4 \\ 1 & x_3 & x_3^2 & x_3^3 & x_3^4 \\ 1 & x_4 & x_4^2 & x_4^3 & x_4^4 \\ 1 & x_5 & x_5^2 & x_5^3 & x_5^4 \end{pmatrix}^{-1} \\ \therefore \ \ c_1 &= \frac{1}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_1-x_4)(x_1-x_5) (x_2-x_3)(x_2-x_4)(x_2-x_5)(x_3-x_4)(x_3-x_5)(x_4-x_5)} \\ & \ \ \ \ \times \begin{pmatrix} 1 & x & x^2 & x^3 & x^4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_2 x_3 x_4 x_5 \begin{vmatrix} 1 & x_2 & x_2^2 & x_2^3 \\ 1 & x_3 & x_3^2 & x_3^3 \\ 1 & x_4 & x_4^2 & x_4^3 \\ 1 & x_5 & x_5^2 & x_5^3 \end{vmatrix} \\ - \begin{vmatrix} 1 & x_2^2 & x_2^3 & x_2^4 \\ 1 & x_3^2 & x_3^3 & x_3^4 \\ 1 & x_4^2 & x_4^3 & x_4^4 \\ 1 & x_5^2 & x_5^3 & x_5^4 \end{vmatrix} \\ \begin{vmatrix} 1 & x_2 & x_2^3 & x_2^4 \\ 1 & x_3 & x_3^3 & x_3^4 \\ 1 & x_4 & x_4^3 & x_4^4 \\ 1 & x_5 & x_5^3 & x_5^4 \end{vmatrix} \\ - \begin{vmatrix} 1 & x_2 & x_2^2 & x_2^4 \\ 1 & x_3 & x_3^2 & x_3^4 \\ 1 & x_4 & x_4^2 & x_4^4 \\ 1 & x_5 & x_5^2 & x_5^4 \end{vmatrix} \\ \begin{vmatrix} 1 & x_2 & x_2^2 & x_2^3 \\ 1 & x_3 & x_3^2 & x_3^3 \\ 1 & x_4 & x_4^2 & x_4^3 \\ 1 & x_5 & x_5^2 & x_5^3 \end{vmatrix} \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_1-x_4)(x_1-x_5) (x_2-x_3)(x_2-x_4)(x_2-x_5)(x_3-x_4)(x_3-x_5)(x_4-x_5)} \\ & \ \ \ \ \times \begin{pmatrix} 1 & x & x^2 & x^3 & x^4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_2 x_3 x_4 x_5 (x_2-x_3)(x_2-x_4)(x_2-x_5)(x_3-x_4)(x_3-x_5)(x_4-x_5) \\ - (x_2-x_3)(x_2-x_4)(x_2-x_5)(x_3-x_4)(x_3-x_5)(x_4-x_5) (x_2x_3x_4 + x_2x_3x_5 + x_2x_4x_5 + x_3x_4x_5) \\ (x_2-x_3)(x_2-x_4)(x_2-x_5)(x_3-x_4)(x_3-x_5)(x_4-x_5) (x_2x_3 + x_2x_4 + x_2x_5 + x_3x_4 + x_3x_5 + x_4x_5) \\ - (x_2-x_3)(x_2-x_4)(x_2-x_5)(x_3-x_4)(x_3-x_5)(x_4-x_5) (x_2 + x_3 + x_4 + x_5) \\ (x_2-x_3)(x_2-x_4)(x_2-x_5)(x_3-x_4)(x_3-x_5)(x_4-x_5) \end{pmatrix} \\ &= \frac{ x_2 x_3 x_4 x_5 - (x_2x_3x_4 + x_2x_3x_5 + x_2x_4x_5 + x_3x_4x_5) x + (x_2x_3 + x_2x_4 + x_2x_5 + x_3x_4 + x_3x_5 + x_4x_5) x^2 - (x_2 + x_3 + x_4 + x_5) x^3 + x^4 } {(x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_1-x_4)(x_1-x_5)} \end{aligned}$$