東京大学 情報理工学研究科 2022年8月実施 数学 第1問

Author

Miyake

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以下の問いに答えよ。

(1) 実数変数 の関数 を以下のように定義する。

方程式 の解の集合は、 平面上の 点 , を通る直線となることを示せ。ただし、 とする。

(2) 行列式

の値を因数分解した形で求めよ。

(3) 平面上の 点 , , を通る曲線 が唯一存在することを示せ。ただし、 は定数で、 は互いに異なるとする。

(4) (3) の曲線は の形で表せる。ただし、 は に依存しないものとする。 を求めよ。

(5) 平面上の 点 を通る曲線 を の形で表す。 ただし、 は に依存しせず、 はお互いに異なるとする。 を求めよ。

Kai

(1)

は のそれぞれに関して1次式である。

また、2つの行が同じとき行列式は であるので、

もわかる。

よって、 は2点 を通る直線である。

(2)

(3)

が満たすべき条件は

である。 が互いに異なるとき、 (2) より、

であるから、逆行列

が唯一存在し、 は

のみである。 よって、条件を満たす曲線は唯一存在する。

(4)

(5)