東京大学 情報理工学研究科 2021年8月実施 数学 第3問 Author Miyake
Description x y xy x y 0 < x < 1 0<x<1 0 < x < 1 0 < y < 1 0<y<1 0 < y < 1 R R R R R R A A A A A A R R R A A A y y y A B AB A B A A A x x x A C AC A C O O O O C A B OCAB OC A B ⌈ \lceil ⌈ A A A ⌋ \rfloor ⌋ A A A S S S
(1)、S S S
(2)、S ≤ r S\leq r S ≤ r 0 < r < 1 0<r<1 0 < r < 1
(3)、S S S
再び、領域 R R R n n n R R R n n n A 1 , A 2 , . . . , A n A_{1},A_{2},...,A_{n} A 1 , A 2 , ... , A n R R R i ≠ j i\neq j i = j A i A_{i} A i A j A_{j} A j
(4)、点 A i A_{i} A i S i S_{i} S i Z Z Z S 1 , S 2 , . . . , S n S_{1},S_{2},...,S_{n} S 1 , S 2 , ... , S n Z Z Z
题目描述
在单位正方形
R = { ( x , y ) ∣ 0 < x < 1 , 0 < y < 1 } R=\{(x,y)\mid0<x<1,\ 0<y<1\} R = {( x , y ) ∣ 0 < x < 1 , 0 < y < 1 } A = ( X , Y ) A=(X,Y) A = ( X , Y ) A A A y y y x x x O O O S = X Y S=XY S = X Y
（1）求 E [ S ] \mathbb E[S] E [ S ]
（2）对 0 < r < 1 0<r<1 0 < r < 1 P ( S ≤ r ) P(S\le r) P ( S ≤ r )
（3）求 S S S
再在 R R R n n n A 1 , … , A n A_1,\ldots,A_n A 1 , … , A n S i S_i S i i i i
Z = min ( S 1 , … , S n ) . Z=\min(S_1,\ldots,S_n). Z = min ( S 1 , … , S n ) . （4）求 Z Z Z
独立均匀变量之积 ：将矩形面积写为 X Y XY X Y 分布函数求密度 ：对含对数项的 P ( S ≤ r ) P(S\le r) P ( S ≤ r ) 最小次序统计量 ：利用独立性写出
P ( Z > z ) = P ( S 1 > z ) n P(Z>z)=P(S_1>z)^n P ( Z > z ) = P ( S 1 > z ) n
Kai 確率を P P P E E E
(1)
A の座標を ( X , Y ) (X,Y) ( X , Y ) X , Y X,Y X , Y 0 0 0 1 1 1
E ( S ) = E ( X Y ) = E ( X ) E ( Y ) = 1 4 \begin{aligned}
E(S)
&= E(XY)
\\
&= E(X)E(Y)
\\
&= \frac{1}{4}
\end{aligned} E ( S ) = E ( X Y ) = E ( X ) E ( Y ) = 4 1 (2)
求める確率は、
P ( S ≤ r ) = r + ∫ r 1 r x d x = r + r [ log x ] r 1 = r − r log r \begin{aligned}
P(S \leq r)
&= r + \int_r^1 \frac{r}{x} dx
\\
&= r + r \left[ \log x \right]_r^1
\\
&= r - r \log r
\end{aligned} P ( S ≤ r ) = r + ∫ r 1 x r d x = r + r [ log x ] r 1 = r − r log r (3)
S S S f ( s ) f(s) f ( s ) 0 < s < 1 0 \lt s \lt 1 0 < s < 1
f ( s ) = d d s P ( S ≤ s ) = − log s \begin{aligned}
f(s)
&= \frac{d}{ds} P(S \leq s)
\\
&= - \log s
\end{aligned} f ( s ) = d s d P ( S ≤ s ) = − log s であり、それ以外では 0 0 0
(4)
0 < z < 1 0 \lt z \lt 1 0 < z < 1
P ( Z ≤ z ) = 1 − P ( Z > z ) = 1 − P ( S 1 > z and S 2 > z and ⋯ and S n > z ) = 1 − P ( S 1 > z ) P ( S 2 > z ) ⋯ P ( S n > z ) = 1 − ( 1 − z + z log z ) n \begin{aligned}
P(Z \leq z)
&= 1 - P(Z \gt z)
\\
&= 1 - P(S_1 \gt z \text{ and } S_2 \gt z \text{ and } \cdots
\text{ and } S_n \gt z )
\\
&= 1 - P(S_1 \gt z) P(S_2 \gt z) \cdots P(S_n \gt z)
\\
&= 1 - \left( 1 - z + z \log z \right)^n
\end{aligned} P ( Z ≤ z ) = 1 − P ( Z > z ) = 1 − P ( S 1 > z and S 2 > z and ⋯ and S n > z ) = 1 − P ( S 1 > z ) P ( S 2 > z ) ⋯ P ( S n > z ) = 1 − ( 1 − z + z log z ) n よって、求める確率密度関数 g ( z ) g(z) g ( z )
g ( z ) = d d z P ( Z ≤ z ) = − n log z ( 1 − z + z log z ) n − 1 \begin{aligned}
g(z)
&= \frac{d}{dz} P(Z \leq z)
\\
&= -n \log z \left( 1 - z + z \log z \right)^{n-1}
\end{aligned} g ( z ) = d z d P ( Z ≤ z ) = − n log z ( 1 − z + z log z ) n − 1 である。
また、 z < 0 , z > 1 z \lt 0, \ z \gt 1 z < 0 , z > 1 g ( z ) = 0 g(z)=0 g ( z ) = 0
