東京大学 情報理工学研究科 2021年8月実施 数学 第1問

Author

Miyake

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と に対し以下の積分 を考える．

ただし、実数値関数 は において連続かつ微分可能で、導関数が連続であり、 が成り立つと仮定する．以下の問いに答えよ．

(1)、 とおく． であることを示せ．ここでは、積分と微分が交換可能であることを用いてもよい．

(2)、 とおく． 任意の に対して が存在し、かつ、それが 上一様収束することを示し、

であることを示せ．

(3)、 を求めよ．

(4)、以下の積分を求めよ．ただし、 とする．

Kai

(1)

(2)

(3)

Since , we have

(4)