東京大学 情報理工学研究科 2021年8月実施 数学 第2問

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• Uniform-Convergence

Author

Miyake, 祭音Myyura

Description

$\alpha\ge 1$ と $n>0$ に対し以下の積分 $I_{n}(\alpha)$ を考える．

$$I_{n}(\alpha)=\int_\frac{1}{n}^n \frac{f(\alpha x)-f(x)}{x}\text{d}x$$

ただし、実数値関数 $f(x)$ は $x \ge 0$ において連続かつ微分可能で、導関数が連続であり、$\lim \limits_{x \to \infty}f(x)=0$ が成り立つと仮定する．以下の問いに答えよ．

(1)、$J_{n}(\alpha)=\dfrac{\text{d}I_{n}(\alpha)}{\text{d}\alpha}$ とおく． $J_{n}(\alpha)=\dfrac{1}{\alpha}(f(\alpha n)-f(\dfrac{\alpha}{n}))$ であることを示せ．ここでは、積分と微分が交換可能であることを用いてもよい．

(2)、$I(\alpha)=\lim \limits_{n \to \infty}I_{n}(\alpha)$ とおく． 任意の $\beta \in [1,\alpha]$ に対して $\lim \limits_{n \to \infty}J_{n}(\beta)$ が存在し、かつ、それが $[1,\alpha]$ 上一様収束することを示し、

$$I(\alpha)=\int_1^\alpha(\lim_{n \to \infty}J_{n}(\beta))\text{d}\beta$$

であることを示せ．

(3)、$I(\alpha)$ を求めよ．

(4)、以下の積分を求めよ．ただし、$p>q>0$ とする．

$$\int_0^\infty\frac{e^{-px}\cos(px)-e^{-qx}\cos(qx)}{x}\text{d}x$$

Kai

(1)

$$\begin{aligned} J_{n}(\alpha)=\frac{\text{d}I_{n}(\alpha)}{\text{d}\alpha} &= \int_{\frac{1}{n}}^{n} \frac{\text{d}}{\text{d}\alpha} {[\frac{f(\alpha x)-f(x)}{x}]}\text{d}x \\ &= \int_{\frac{1}{n}}^{n} f'(\alpha x)\text{d}x \\ &= \frac{1}{\alpha}f(\alpha x) \Big|_{\frac{1}{n}}^{n} \\ &= \frac{1}{\alpha}(f(\alpha n)-f(\frac{\alpha}{n})) \\ \end{aligned}$$

(2)

$$J_{n}(\alpha)=\frac{\text{d}I_{n}(\alpha)}{\text{d}\alpha} \qquad \int_{a}^{b}J_{n}(\alpha)\text{d}\alpha=I_{n}(b)-I_{n}(a)$$

$$\begin{aligned} I_{n}(1) &= \int_{\frac{1}{n}}^{n} \frac{f(x)-f(x)}{x} \text{d}x=0 \\ I_{n}(\alpha) &= \int_1^{\alpha}J_{n}(\beta)\text{d}\beta \\ I(\alpha) &= \lim_{n \rightarrow \infty} I_{n}(\alpha) = \int_1^{\alpha}(\lim_{n \rightarrow \infty}J_{n}(\beta))\text{d} \beta \end{aligned}$$

Indeed, uniformly for $\beta\in[1,\alpha]$,

$$\sup_\beta|f(\beta n)|\to0,\qquad \sup_\beta|f(\beta/n)-f(0)|\to0.$$

Thus $J_n(\beta)$ converges uniformly to $-f(0)/\beta$, which justifies the last equality.

(3)

$$\lim_{n \rightarrow \infty} J_{n}(\beta) = \frac{1}{\beta}(\lim_{n \rightarrow \infty}f(\beta n) - \lim_{n \rightarrow \infty}f(\frac{\beta}{n}))$$

Since $\lim_{n \rightarrow \infty}f(\beta n) = 0$, we have

$$\begin{aligned} &\lim_{n \rightarrow \infty}J_{n}(\beta) = \frac{1}{\beta}(-f(0)) \\ &I(\alpha) = \int_1^{\alpha} \frac{1}{\beta}(-f(0))\text{d}\beta = -f(0)\ln \alpha \end{aligned}$$

(4)

$$f(x)=e^{-x} \cos(x) \qquad f(0) = 1$$

$$\int_0^\infty\frac{e^{-px}\cos(px)-e^{-qx}\cos(qx)}{x}\text{d}x = \int_0^{\infty} \frac{f(\text{p}x) - f(\text{q}x)}{x} \text{d}x$$

Putting $t=qx$, the last integral is $I(p/q)$. Hence

$$\int_0^\infty\frac{e^{-px}\cos(px)-e^{-qx}\cos(qx)}{x}\text{d}x =-\ln\frac{p}{q}=\ln\frac{q}{p}.$$

题目描述

对 $\alpha\ge1$、$n>0$，定义

$$I_n(\alpha) =\int_{1/n}^{n}\frac{f(\alpha x)-f(x)}x\,\mathrm dx,$$

其中实函数 $f$ 在 $x\ge0$ 上连续可微，$f'$ 连续，并满足 $\lim_{x\to\infty}f(x)=0$。回答下列问题。

（1）令 $J_n(\alpha)=\mathrm dI_n(\alpha)/\mathrm d\alpha$。证明

$$J_n(\alpha) =\frac1\alpha\left(f(\alpha n)-f(\alpha/n)\right).$$

可以交换积分与微分。

（2）令 $I(\alpha)=\lim_{n\to\infty}I_n(\alpha)$。证明对任意 $\beta\in[1,\alpha]$，$J_n(\beta)$ 的极限存在，且该收敛在 $[1,\alpha]$ 上一致，并证明

$$I(\alpha)= \int_1^\alpha \left(\lim_{n\to\infty}J_n(\beta)\right)\,\mathrm d\beta.$$

（3）求 $I(\alpha)$。

（4）对 $p>q>0$，计算

$$\int_0^\infty \frac{e^{-px}\cos(px)-e^{-qx}\cos(qx)}x\,\mathrm dx.$$