東京大学 情報理工学研究科 2021年8月実施 数学 第1問

Author

Miyake, etsurin

Description

以下の 関する複数の条件を考える．

を上記の条件を満たす が一つでも存在するような点 の集合とする． は三次元デカルト座標系において上記の条件を満たすような点 の集合 平面上に正射影した図形とも解釈できる．以下の問いに答えよ．

(1)、 を と に関する不等式で表現せよ．

(2)、集合 を 平面上に図示せよ．図形の境界が 軸, 軸と交わる場合は,その交点の座標も明記せよ．

(3)、集合 の境界の湾曲した区間は、単位円の複数の円弧をある線形変換 で変換した図形になっている．このような を一つ求めよ．ただし,単位円上の点 は、湾曲した区間の最も曲率の高い点に変換されなければならない．

(4)、(3)で求めた の行列式を求めよ．

(5)、集合 の面積を求めよ．ただし、図形を線形変換した場合の面積変化率は、その線形変換の行列式の絶対値に等しいことを用いてもよい．

Kai

(1)

与えられた2つの不等式は、次のように変形できる：

任意の について1つ目の不等式を満たす が存在する。

2つ目の不等式を満たす が存在する条件は である。

上の連立不等式を満たす が存在するためには、

も必要であるが、前者は を意味し、

後者は を意味する。

まとめると、求める不等式は

である。

(2)

は、xy平面の第2象限と第4象限を表す。

は、原点を中心とし、 直線 上に長軸があり、直線 上に短軸があり、 長径が であり、短径が であるような楕円である。 なぜなら、

とすると、

となるからである。

の境界のうち、

x 軸上にあるのは と を結ぶ線分であり、

y 軸上にあるのは と を結ぶ線分である。

(3)

(2) で考えた と の対応に加えて、

を考えると、

となる。 これは、楕円 の最も曲率の高い点（の1つ） と 単位円 上の点 を対応付ける。 よって、求める線形変換行列 は、

とすればよい。

(4)

(5)

なので、 に対応するのは である。

つまり、 に対応するのは単位円の内部の である。

よって、 の面積は