東京大学 情報理工学研究科 2021年8月実施 数学 第1問

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Author

Miyake, etsurin

Description

以下の $x,y,z\in \mathbb{R}$ 関する複数の条件を考える．

$$\left\{ \begin{array}{llll} 0 < z-xy <1 \\ 0 < z-(x+y)^2 <-xy \end{array} \right.$$

$\Omega$ を上記の条件を満たす $z$ が一つでも存在するような点 $(x,y)$ の集合とする．$\Omega$ は三次元デカルト座標系において上記の条件を満たすような点 $(x,y,z)$ の集合 $xy$ 平面上に正射影した図形とも解釈できる．以下の問いに答えよ．

(1)、$\Omega$ を $x$ と $y$ に関する不等式で表現せよ．

(2)、集合 $\Omega$ を $xy$ 平面上に図示せよ．図形の境界が $x$ 軸, $y$ 軸と交わる場合は,その交点の座標も明記せよ．

(3)、集合 $\Omega$ の境界の湾曲した区間は、単位円の複数の円弧をある線形変換 $\mathbf{X}$ で変換した図形になっている．このような $\mathbf{X}$ を一つ求めよ．ただし,単位円上の点 $(1,0)$ は、湾曲した区間の最も曲率の高い点に変換されなければならない．

(4)、(3)で求めた $\mathbf{X}$ の行列式を求めよ．

(5)、集合 $\Omega$ の面積を求めよ．ただし、図形を線形変換した場合の面積変化率は、その線形変換の行列式の絶対値に等しいことを用いてもよい．

Kai

(1)

与えられた2つの不等式は、次のように変形できる：

$$\begin{aligned} xy &\lt z \lt xy+1 \\ x^2+y^2+2xy &\lt z \lt x^2+y^2+xy \end{aligned}$$

任意の $x,y$ について1つ目の不等式を満たす $z$ が存在する。

2つ目の不等式を満たす $z$ が存在する条件は $xy \lt 0$ である。

上の連立不等式を満たす $z$ が存在するためには、

$$\begin{aligned} xy &\lt x^2+y^2+xy \\ x^2+y^2+2xy &\lt xy+1 \end{aligned}$$

も必要であるが、前者は $(x,y) \neq (0,0)$ を意味し、

後者は $x^2+y^2+xy \lt 1$ を意味する。

まとめると、求める不等式は

$$\begin{aligned} xy \lt 0 , \ \ x^2+y^2+xy \lt 1 \end{aligned}$$

である。

(2)

$xy \lt 0$ は、xy平面の第2象限と第4象限を表す。

$x^2+y^2+xy \lt 1$ は、原点を中心とし、 直線 $y=-x$ 上に長軸があり、直線 $y=x$ 上に短軸があり、 長径が $\sqrt{2}$ であり、短径が $\sqrt{2/3}$ であるような楕円である。 なぜなら、

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とすると、

$$\begin{aligned} x^2 + y^2 + xy &= \frac{1}{2} x'^2 + \frac{3}{2} y'^2 \\ &= \frac{x'^2}{2} + \frac{y'^2}{\frac{2}{3}} \end{aligned}$$

となるからである。

$\Omega$ の境界のうち、

x 軸上にあるのは $(-1,0)$ と $(1,0)$ を結ぶ線分であり、

y 軸上にあるのは $(0,-1)$ と $(0,1)$ を結ぶ線分である。

(3)

(2) で考えた $(x,y)$ と $(x',y')$ の対応に加えて、

$$\begin{aligned} x' = \sqrt{2} x'' , \ \ y' = \sqrt{\frac{2}{3}} y'' \end{aligned}$$

を考えると、

$$\begin{aligned} x^2 + y^2 + xy &= \frac{x'^2}{2} + \frac{y'^2}{\frac{2}{3}} \\ &= x''^2 + y''^2 \end{aligned}$$

となる。 これは、楕円 $x^2+y^2+xy=1$ の最も曲率の高い点（の1つ） $(x,y)=(1/\sqrt{3}, -1/\sqrt{3})$ と 単位円 $x''^2+y''^2=1$ 上の点 $(x'',y'')=(1,0)$ を対応付ける。 よって、求める線形変換行列 $X$ は、

$$\begin{aligned} X &= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{2} & 0 \\ 0 & \sqrt{\frac{2}{3}} \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ -1 & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とすればよい。

(4)

$$\begin{aligned} \det X = \frac{2}{\sqrt{3}} \end{aligned}$$

(5)

$$\begin{aligned} X^{-1} &= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ \sqrt{3} & \sqrt{3} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

なので、 $(x,y)=(1,0)$ に対応するのは $(x'',y'')=(1/2, \sqrt{3}/2)$ である。

つまり、 $\Omega$ に対応するのは単位円の内部の $2/3$ である。

よって、 $\Omega$ の面積は

$$\begin{aligned} \pi \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{4 \pi}{3 \sqrt{3}} \end{aligned}$$