東京大学 情報理工学研究科 2019年8月実施 数学 第1問

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Author

Miyake

Description

正方行列$A,B$を

$$A=\begin{pmatrix} 1 & \sqrt{2} & 0 \\ \sqrt{2} & 1 & \sqrt{2} \\ 0 & \sqrt{2} & 1\\ \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 0 &-\dfrac{2}{3} &\dfrac{1}{3} \\ \dfrac{2}{3} &0 &-\dfrac{2}{3} \\ -\dfrac{1}{3} &\dfrac{2}{3} &0 \\ \end{pmatrix}$$

とする．また,行列$I$は単位行列とする．実正方行列$X$に対して,$\exp(X)$を

$$\exp(X)=\sum_{k=0}^\infty(\frac{1}{k!}X^{k})=I+X+\frac{1}{2!}X^2+\frac{1}{3!}X^3+\ldots$$

と定義するとき,以下の問いに答えよ．

(1)、$A$の全ての固有値と,それらに対応する固有ベクトルを求めよ．ただし,固有ベクトルとして、ノルムは1かつ第一要素は非負実数であるものを選べ．

(2)、非負整数$n$に対して,$A^{n}$を求めよ．

(3)、$\exp(A)$を求めよ．

(4)、$\alpha$を実数とするとき、$\exp(\alpha B)$が次式のように表せることを示せ．

$$\exp(\alpha B)=I+(\sin\alpha)B+(1-\cos\alpha)B^2$$

ただし、ケーリー・ハミルトンの定理を用いてもよい．

(5)、3次元実ベクトル$\alpha$が与えられたとき、3次元実ベクトル$x$に関する関数$f$を

$$f(x)=\sum_{k=1}^{n}\left \Vert\exp(\frac{2\pi k}{n}B)\alpha-x \right \Vert ^2$$

とおく．ただし、$n\ge2$とする．このとき、$x=(I+B^2)\alpha$において$f$が最小になることを示せ．

Kai

(1)

$A$ の固有値を $\lambda$ とすると、

$$\begin{aligned} 0 &= \begin{vmatrix} 1 - \lambda & \sqrt{2} & 0 \\ \sqrt{2} & 1 - \lambda & \sqrt{2} \\ 0 & \sqrt{2} & 1 - \lambda \end{vmatrix} \\ &= (1 - \lambda)^3 - 2 (1 - \lambda) - 2 (1 - \lambda) \\ &= - ( \lambda + 1 ) ( \lambda - 1 ) ( \lambda - 3 ) \end{aligned}$$

なので、 $\lambda = -1, 1, 3$ である。

固有値 $\lambda = -1$ に対応する固有ベクトルを求めるため、

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 & \sqrt{2} & 0 \\ \sqrt{2} & 1 & \sqrt{2} \\ 0 & \sqrt{2} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とおくと、 $y = - \sqrt{2} x = - \sqrt{2} z$ を得る。

固有値 $\lambda = 1$ に対応する固有ベクトルを求めるため、

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 & \sqrt{2} & 0 \\ \sqrt{2} & 1 & \sqrt{2} \\ 0 & \sqrt{2} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とおくと、 $y=0, x+z=0$ を得る。

固有値 $\lambda = 3$ に対応する固有ベクトルを求めるため、

$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 & \sqrt{2} & 0 \\ \sqrt{2} & 1 & \sqrt{2} \\ 0 & \sqrt{2} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = 3 \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{aligned}$$

とおくと、 $y = \sqrt{2} x = \sqrt{2} z$ を得る。

以上より、固有値 $\lambda = -1, 1, 3$ に対応する固有ベクトルは、次のように選べる：

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ - \sqrt{2} \\ 1 \end{pmatrix} , \ \ \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} , \ \ \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{pmatrix} . \end{aligned}$$

(2)

上で求めた固有値・固有ベクトルを使って、次のようにおく：

$$\begin{aligned} V = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & \sqrt{2} & 1 \\ - \sqrt{2} & 0 & \sqrt{2} \\ 1 & - \sqrt{2} & 1 \end{pmatrix} , \ \ C = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} . \end{aligned}$$

このとき、

$$\begin{aligned} V^{-1} &= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & - \sqrt{2} & 1 \\ \sqrt{2} & 0 & - \sqrt{2} \\ 1 & \sqrt{2} & 1 \end{pmatrix} \\ A &= V C V^{-1} \end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned} A^n &= V C^n V^{-1} \\ &= \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 1 & \sqrt{2} & 1 \\ - \sqrt{2} & 0 & \sqrt{2} \\ 1 & - \sqrt{2} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} (-1)^n & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & - \sqrt{2} & 1 \\ \sqrt{2} & 0 & - \sqrt{2} \\ 1 & \sqrt{2} & 1 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{4} \begin{pmatrix} (-1)^n + 2 + 3^n & -\sqrt{2} \cdot (-1)^n + \sqrt{2} \cdot 3^n & (-1)^n - 2 + 3^n \\ -\sqrt{2} \cdot (-1)^n + \sqrt{2} \cdot 3^n & 2 \cdot (-1)^n + 2 \cdot 3^n & -\sqrt{2} \cdot (-1)^n + \sqrt{2} \cdot 3^n \\ (-1)^n - 2 + 3^n & -\sqrt{2} \cdot (-1)^n + \sqrt{2} \cdot 3^n & (-1)^n + 2 + 3^n \end{pmatrix} \end{aligned}$$

を得る。

(3)

$$\begin{aligned} \exp A &= \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} A^k \\ &= \frac{1}{4} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \begin{pmatrix} (-1)^k + 2 + 3^k & -\sqrt{2} \cdot (-1)^k + \sqrt{2} \cdot 3^k & (-1)^k - 2 + 3^k \\ -\sqrt{2} \cdot (-1)^k + \sqrt{2} \cdot 3^k & 2 \cdot (-1)^k + 2 \cdot 3^k & -\sqrt{2} \cdot (-1)^k + \sqrt{2} \cdot 3^k \\ (-1)^k - 2 + 3^k & -\sqrt{2} \cdot (-1)^k + \sqrt{2} \cdot 3^k & (-1)^k + 2 + 3^k \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{4} \begin{pmatrix} e^{-1} + 2e + e^3 & -\sqrt{2} e^{-1} + \sqrt{2} e^3 & e^{-1} - 2e + e^3 \\ -\sqrt{2} e^{-1} + \sqrt{2} e^3 & 2 e^{-1} + 2 e^3 & -\sqrt{2} e^{-1} + \sqrt{2} e^3 \\ e^{-1} - 2e + e^3 & -\sqrt{2} e^{-1} + \sqrt{2} e^3 & e^{-1} + 2e + e^3 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

(4)

$B$ の固有多項式を $\varphi(x)$ とする：

$$\begin{aligned} \varphi(x) = \det (B - xI) = -x^3 - x . \end{aligned}$$

ケーリー・ハミルトンの定理より、

$$\begin{aligned} \varphi(B) &= -B^3 - B = 0 \\ \therefore \ \ B^3 &= - B \end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned} \exp (\alpha B) &= I + \alpha B + \frac{1}{2!} (\alpha B)^2 + \frac{1}{3!} (\alpha B)^3 + \frac{1}{4!} (\alpha B)^4 + \cdots \\ &= I + \alpha B + \frac{1}{2!} \alpha^2 B^2 - \frac{1}{3!} \alpha^3 B - \frac{1}{4!} \alpha^4 B^2 + \cdots \\ &= I + \left( \alpha - \frac{1}{3!} \alpha^3 \cdots \right) B + \left( \frac{1}{2!} \alpha^2 - \frac{1}{4!} \alpha^4 \cdots \right) B^2 \\ &= I + \left( \sin \alpha \right) B + \left( 1 - \cos \alpha \right) B^2 \end{aligned}$$

となる。

(5)

$$\begin{aligned} f(x) &= \sum_{k=1}^n ||\exp \bigg( \frac{2k \pi}{n} B \bigg) a - x ||^2 \\ &= \sum_{k=1}^n \bigg( \exp \bigg( \frac{2k \pi}{n} B \bigg)a - x \bigg)^T \bigg( \exp \bigg( \frac{2k \pi}{n} B \bigg)a - x \bigg) \\ &= \sum_{k=1}^n \bigg( x^T x - 2a^T \exp \bigg( \frac{2k \pi}{n} B\bigg)^T x + a^T \exp \bigg( \frac{2k \pi}{n} B\bigg)^T \exp \bigg(\frac{2k \pi}{n} B \bigg) a \bigg) \\ &= \sum_{k=1}^n x^T x - 2a^T \bigg(\sum_{k=1}^n \exp \bigg(\frac{2k \pi}{n} B \bigg) \bigg)^T x + a^T \bigg(\sum_{k=1}^n \exp \bigg( \frac{2k \pi}{n} B\bigg)^T \exp \bigg(\frac{2k \pi}{n} B \bigg) \bigg) a \end{aligned}$$

$B$は反対称行列なので、$B^T = -B$、よって

$$\begin{aligned} \exp \bigg( \frac{2k \pi}{n} B\bigg)^T \exp \bigg(\frac{2k \pi}{n} B \bigg) &= \exp \bigg( \frac{2k \pi}{n} B^T\bigg) \exp \bigg(\frac{2k \pi}{n} B \bigg) \\ &= \exp \bigg(\frac{2k \pi}{n} (B^T + B) \bigg) \\ &= \exp \big(\frac{2k \pi}{n} O \big) = I \end{aligned}$$

また、(4)で得た

$$\exp (\alpha B) = I + \left( \sin \alpha \right) B + \left( 1 - \cos \alpha \right) B^2$$

に $\alpha = \frac{2k \pi}{n}$ を代入すると、

$$\exp (\frac{2k \pi}{n} B) = I + \left( \sin \frac{2k \pi}{n} \right) B + \left( 1 - \cos \frac{2k \pi}{n} \right) B^2$$

を得るので

$$\begin{aligned} \sum_{k=1}^n \exp \bigg(\frac{2k \pi}{n} B \bigg) &= \sum_{k=1}^n \bigg(I + \bigg( \sin \frac{2k \pi}{n} \bigg) B + \bigg( 1 - \cos \frac{2k \pi}{n} \bigg)B^2 \bigg) \\ &= \sum_{k=1}^n I + \bigg( \sum_{k=1}^n \sin \bigg( \frac{2k \pi}{n} \bigg) \bigg)B + \sum_{k=1}^n B^2 - \bigg( \sum_{k=1}^n \bigg(\cos \frac{2k \pi}{n} \bigg) \bigg) B^2 \\ &= nI + 0 + nB^2 - 0 = nI + nB^2 \end{aligned}$$

がわかる。さらに、

$$\begin{aligned} (I + B^2)^T (1 + B^2) &= I + (B^2)^T + B^2 + (B^2)^T B^2 \\ &= I + (-B)^2 + B^2 + (-B^2)^2 \\ &= I + 2B^2 + B^4 \\ &= I + 2B^2 - B^2 \\ &= I + B^2 \end{aligned}$$

となるので、

$$\begin{aligned} f(x) &= nx^Tx - 2na^T (I + B^2)^T x + na^Ta \\ &= n(x^Tx - 2a^T(I + B^2)^T x + a^Ta) \\ &= n(x^T x - 2a^T (I + B^2)^T x + a^T (I + B^2 + B^4)a) \\ &= n(x^T x - 2a^T (I + B^2)^T x + a^T(I + B^2)a + a^TB^4 a) \\ &= n(x^T x - 2a^T (I + B^2)^T x + a^T(I + B^2)^T(I + B^2)a + a^T(B^2)^TB^2a) \\ &= n(||x - (I+B^2)a||^2 + ||B^2a||^2) \end{aligned}$$

である。つまり、が最小値になるのは

$$x = (I + B^2)a$$

の時である。