東京大学 情報理工学研究科 2019年8月実施 数学 第1問

Author

Miyake

Description

正方行列を

とする．また,行列は単位行列とする．実正方行列に対して,を

と定義するとき,以下の問いに答えよ．

(1)、の全ての固有値と,それらに対応する固有ベクトルを求めよ．ただし,固有ベクトルとして、ノルムは1かつ第一要素は非負実数であるものを選べ．

(2)、非負整数に対して,を求めよ．

(3)、を求めよ．

(4)、を実数とするとき、が次式のように表せることを示せ．

ただし、ケーリー・ハミルトンの定理を用いてもよい．

(5)、3次元実ベクトルが与えられたとき、3次元実ベクトルに関する関数を

とおく．ただし、とする．このとき、においてが最小になることを示せ．

Kai

(1)

の固有値を とすると、

なので、 である。

固有値 に対応する固有ベクトルを求めるため、

とおくと、 を得る。

固有値 に対応する固有ベクトルを求めるため、

とおくと、 を得る。

固有値 に対応する固有ベクトルを求めるため、

とおくと、 を得る。

以上より、固有値 に対応する固有ベクトルは、次のように選べる：

(2)

上で求めた固有値・固有ベクトルを使って、次のようにおく：

このとき、

であるから、

を得る。

(3)

(4)

の固有多項式を とする：

ケーリー・ハミルトンの定理より、

であるから、

となる。

(5)

は反対称行列なので、、よって

また、(4)で得た

に を代入すると、

を得るので

がわかる。さらに、

となるので、

である。つまり、が最小値になるのは

の時である。