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東京大学 情報理工学研究科 2018年8月実施 数学 第3問

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Author​

etsurin, 祭音Myyura

Description​

下図のように、平面上に三角形 ABCABC が与えられており、各頂点の座標は A (1,0)A\ (1,0)、B (0,1)B\ (0,1)、C (−1,−1)C\ (-1,-1) とする。 原点 (0,0)(0,0) を端点とする半直線 ℓ\ell をランダムに選ぶ。 すなわち、Θ\Theta を区間 [0,2π)[0, 2\pi) 上の一様分布に従う確率変数として

ℓ={(rcos⁡Θ,rsin⁡Θ)∣r≥0}\ell = \{ (r \cos \Theta, r \sin \Theta) \mid r \geq 0 \}

とおく。この半直線 ℓ\ell と三角形 ABCABC の周との交点を QQ とおく。 また、QQ の座標を (X,Y)(X, Y) とおく。ただし、X,YX, Y は確率変数である。 以下の問いに答えよ。

(1) 点 QQ が辺 ABAB 上にある確率を求めよ。

(2) 点 QQ が辺 ABAB 上にあるという条件のもとでの XX の期待値は 1/21/2 であることを示せ。 ただし、三角形 ABCABC が直線 y=xy = x に関して対称であることを利用してよい。

(3) 点 QQ が辺 BCBC 上にあるという条件のもとでの XX の確率密度関数を、変数変換の公式

f(x)=g(h(x))∣dhdx(x)∣f(x) = g(h(x)) \left| \frac{dh}{dx}(x) \right|

を使って求めよ。 ただし、xx は任意の実数とし、ff と gg はそれぞれ XX と Θ\Theta の確率密度関数を表し、hh は Θ=h(X)\Theta = h(X) を満たす関数とする。

(4) 点 QQ が辺 BCBC 上にあるという条件のもとでの XX の期待値を α\alpha とおく。 設問 (3) の結果を使って α\alpha を求めよ。

(5) XX の期待値 μ\mu を求めよ。

题目描述​

平面上三角形顶点为 A(1,0)A(1,0)、B(0,1)B(0,1)、C(−1,−1)C(-1,-1)。令 Θ\Theta 在 [0,2π)[0,2\pi) 上均匀分布，并从原点发出随机射线

ℓ={(rcos⁡Θ,rsin⁡Θ)∣r≥0}.\ell=\{(r\cos\Theta,r\sin\Theta)\mid r\ge0\}.

记射线与三角形边界的交点为 Q=(X,Y)Q=(X,Y)，其中 X,YX,Y 为随机变量。回答下列问题。

（1）求 QQ 位于边 ABAB 上的概率。

（2）证明在条件 Q∈ABQ\in AB 下， E[X∣Q∈AB]=1/2\mathbb E[X\mid Q\in AB]=1/2。可以使用三角形关于直线 y=xy=x 对称。

（3）在条件 Q∈BCQ\in BC 下，利用变量变换公式

f(x)=g(h(x))∣dhdx(x)∣f(x)=g(h(x))\left|\frac{\mathrm dh}{\mathrm dx}(x)\right|

求 XX 的概率密度。其中 gg 为 Θ\Theta 的条件密度， Θ=h(X)\Theta=h(X)。

（4）记 α=E[X∣Q∈BC]\alpha=\mathbb E[X\mid Q\in BC]，利用第（3）问求 α\alpha。

（5）求 XX 的总体期望 μ=E[X]\mu=\mathbb E[X]。

Kai​

(1)​

QQ 在 ABAB 上，对应 Θ∈[0,π2)\Theta \in [0, \frac{\pi}{2})

P(Q is on AB)=π22π=14P(Q \text{ is on } AB) = \frac{\frac{\pi}{2}}{2\pi} = \frac{1}{4}

(2)​

QQ 在 ABAB 上的条件下，Θ\Theta 的条件分布

fAB(Θ)∼U(0,π2)f_{AB}(\Theta) \sim U(0, \frac{\pi}{2})
fAB(Θ)=2π0<Θ<π2f_{AB}(\Theta) = \frac{2}{\pi} \qquad 0 < \Theta < \frac{\pi}{2}

ABAB 对应边 y=1−xy = 1-x。转化为极坐标 ρcos⁡Θ+ρsin⁡Θ=1\rho \cos \Theta + \rho \sin \Theta = 1。

x=ρcos⁡Θ=cos⁡Θcos⁡Θ+sin⁡Θx = \rho \cos \Theta = \frac{\cos \Theta}{\cos \Theta + \sin \Theta}
EAB(X)=2π∫0π2cos⁡Θcos⁡Θ+sin⁡ΘdΘ=2π∫0π4cos⁡Θcos⁡Θ+sin⁡ΘdΘ+2π∫0π4sin⁡θcos⁡θ+sin⁡θdθ(拆分区间，后项作变量代换 θ=π2−Θ)=2π∫0π4cos⁡Θ+sin⁡Θcos⁡Θ+sin⁡ΘdΘ=12\begin{aligned} E_{AB}(X) &= \frac{2}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos \Theta}{\cos \Theta + \sin \Theta} \text{d} \Theta \\ &= \frac{2}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos \Theta}{\cos \Theta + \sin \Theta} \text{d} \Theta + \frac{2}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin \theta}{\cos \theta + \sin \theta} \text{d} \theta \\ &(\text{拆分区间，后项作变量代换 } \theta = \frac{\pi}{2} - \Theta) \\ &= \frac{2}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos \Theta + \sin \Theta}{\cos \Theta + \sin \Theta} \text{d} \Theta \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned}

(3)​

QQ 在 BCBC 上的条件下，Θ\Theta 的条件分布

fBC(Θ)∼U(π2,5π4)f_{BC}(\Theta) \sim U(\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{4})
fBC(Θ)=43ππ2≤Θ<5π4f_{BC}(\Theta) = \frac{4}{3\pi} \qquad \frac{\pi}{2} \leq \Theta < \frac{5\pi}{4}

BCBC 对应边 y=2x+1y=2x+1。转化为极坐标 ρsin⁡Θ=2ρcos⁡Θ+1\rho \sin \Theta = 2 \rho \cos \Theta + 1。

x=ρcos⁡Θ=cos⁡Θsin⁡Θ−2cos⁡Θ=1tan⁡Θ−2x = \rho \cos \Theta = \frac{\cos \Theta}{\sin \Theta - 2 \cos \Theta} = \frac{1}{\tan \Theta - 2}
fBC(Θ)∣dΘ∣=fBC(x)∣dx∣f_{BC}(\Theta) |\text{d}\Theta| = f_{BC}(x) |\text{d}x|
fBC(x)=fBC(h(x))∣h′(x)∣Θ=h(x)f_{BC}(x) = f_{BC}(h(x))|h'(x)| \qquad \Theta = h(x)

在 [π/2,5π/4][\pi/2,5\pi/4] 上连续选取反正切分支，则对 −1≤x<0-1\leq x<0，

tan⁡Θ=2+1xΘ=h(x)=π+arctan⁡(2+1x).\tan \Theta = 2 + \frac{1}{x} \qquad \Theta = h(x)=\pi+\arctan\left(2+\frac{1}{x}\right).
∣h′(x)∣=∣−1x211+(2+1x)2∣=15x2+4x+1|h'(x)| = \left \lvert - \frac{1}{x^2} \frac{1}{1+(2+\frac{1}{x})^2} \right \rvert = \frac{1}{5x^2 + 4x + 1}
fBC(x)={43π(5x2+4x+1),−1<x<0,0,其他.f_{BC}(x) = \begin{cases} \displaystyle\frac{4}{3\pi(5x^2+4x+1)},&-1<x<0,\\ 0,&\text{其他}. \end{cases}

(4)​

α=43π∫−10x5x2+4x+1 dx=43π[110ln⁡(5x2+4x+1)−25arctan⁡(5x+2)]−10=−215πln⁡2−815π(arctan⁡2−arctan⁡(−3))\begin{aligned} \alpha &= \frac{4}{3\pi}\int_{-1}^0\frac{x}{5x^2+4x+1}\,\mathrm dx\\ &=\frac{4}{3\pi}\left[\frac1{10}\ln(5x^2+4x+1)-\frac25\arctan(5x+2)\right]_{-1}^0\\ &=-\frac{2}{15\pi}\ln2-\frac{8}{15\pi}\bigl(\arctan2-\arctan(-3)\bigr) \end{aligned}

tan⁡(θ1)=2,tan⁡(θ2)=−3\tan (\theta_1) = 2, \tan (\theta_2) = -3, 则 tan⁡(θ1−θ2)=tan⁡θ1−tan⁡θ21+tan⁡θ1tan⁡θ2=−1\tan(\theta_1 - \theta_2) = \frac{\tan \theta_1 - \tan \theta_2}{1 + \tan \theta_1 \tan \theta_2} = -1。θ1−θ2=3π4\theta_1 - \theta_2 = \frac{3 \pi}{4}。

α=−25−215πln⁡2\alpha = -\frac{2}{5} - \frac{2}{15 \pi} \ln 2

(5)​

ACAC 对应边 y=12(x−1)y = \frac{1}{2}(x - 1), 设 ACAC 边上 xx 的期待值为 β\beta。注意到 AC,BCAC, BC 关于直线 y=xy = x 对称。即 (α,2α+1),(β,12(β−1))(\alpha,2\alpha + 1) , (\beta,\frac{1}{2}(\beta - 1)) 关于直线 y=xy = x 对称。

{α+β2=2α+1+12(β−1)212(β−1)−(2α+1)β−α=−1\left\{ \begin{aligned} &\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{2\alpha + 1 + \frac{1}{2}(\beta - 1)}{2} \\ &\frac{\frac{1}{2}(\beta - 1) - (2\alpha + 1)}{\beta - \alpha} = -1 \\ \end{aligned} \right.
β=2α+1=15−415πln⁡2\beta = 2\alpha + 1 = \frac{1}{5} - \frac{4}{15\pi} \ln 2

令 x=g(Θ)x = g(\Theta) , 这里 g(Θ)g(\Theta) 是分段函数， 对应边 AB,BC,ACAB , BC , AC 三条边上时的情况。

E(X)=∫02πf(Θ)g(Θ)dΘ=12π∫0π2g(Θ)dΘ+12π∫π25π4g(Θ)dΘ+12π∫5π42πg(Θ)dΘ=14EAB(X)+38EBC(X)+38EAC(X)=14×12+38(−25−215πln⁡2)+38(15−415πln⁡2)=120−320πln⁡2\begin{aligned} E(X) &= \int_0^{2\pi}f(\Theta)g(\Theta)\text{d}\Theta \\ &= \frac{1}{2\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}}g(\Theta)\text{d}\Theta + \frac{1}{2\pi}\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{5\pi}{4}}g(\Theta)\text{d}\Theta + \frac{1}{2\pi}\int_{\frac{5\pi}{4}}^{2\pi}g(\Theta)\text{d}\Theta \\ &= \frac{1}{4}E_{AB}(X) + \frac{3}{8}E_{BC}(X) + \frac{3}{8}E_{AC}(X) \\ &= \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} + \frac{3}{8}(-\frac{2}{5} - \frac{2}{15\pi}\ln2) + \frac{3}{8}(\frac{1}{5} - \frac{4}{15\pi}\ln2) \\ &= \frac{1}{20} - \frac{3}{20\pi}\ln2 \end{aligned}
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