東京大学 情報理工学研究科 2018年8月実施 数学 第2問

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etsurin

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実数値関数 が , で定義されている。ここで、 と は独立である。偏微分方程式

の解を初期条件

の下で求める。ただし、 は正の実数とする。 また、 を虚数単位とする。以下の問いに答えよ。

(1) 次の式を複素積分を用いて計算せよ。

ただし、 は実数である。また、以下の式を用いてもよい。

(2) の に関するフーリエ変換 を

と定義する。 ここで、 に関する積分と に関する微分の順序の交換が可能であると仮定してよい。 さらに、 と は任意の に対して のとき に収束するものとする。

• (i) が式 (2.1) を満たすとき、 が従う偏微分方程式を求めよ。
• (ii) (i) の解は式 (2.3) の初期条件のもとで、 を変数とする関数 を用いて以下のように表せることを示せ。

• (iii) さらに、式 (2.2) の初期条件のもとで を求め、 を与えよ。設問 (1) の結果を用いてもよい。

(3) 設問 (2) で得られた のフーリエ逆変換を計算することにより、 を求めよ。ただし、フーリエ逆変換は次式で定義される。

Kai

(1)

(2)

(i)

由于 时 , 同理可得

满足的微分方程式为

(ii)

有形式

由初值条件

得到 , 因此

(iii)

由初值条件

(3)

同理