東京大学 情報理工学研究科 2018年8月実施 数学 第2問

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etsurin

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実数値関数 $u(x,t)$ が $-\infty < x < \infty$, $t \geq 0$ で定義されている。ここで、$x$ と $t$ は独立である。偏微分方程式

$$\begin{align} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \tag{2.1} \end{align}$$

の解を初期条件

$$\begin{align} &u(x,0) = \exp(-ax^2) \tag{2.2} \\ &\frac{\partial u}{\partial t}(x,0) = 0 \tag{2.3} \end{align}$$

の下で求める。ただし、$a, c$ は正の実数とする。 また、$i$ を虚数単位とする。以下の問いに答えよ。

(1) 次の式を複素積分を用いて計算せよ。

$$\int_{-\infty}^{\infty} \exp\left( -a(x + id)^2 \right) dx$$

ただし、$d$ は実数である。また、以下の式を用いてもよい。

$$\int_{-\infty}^{\infty} \exp(-x^2)dx = \sqrt{\pi}$$

(2) $u(x,t)$ の $x$ に関するフーリエ変換 $U(k,t)$ を

$$U(k,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} u(x,t) \exp(-ikx)dx$$

と定義する。 ここで、$x$ に関する積分と $t$ に関する微分の順序の交換が可能であると仮定してよい。 さらに、$u(x,t)$ と $\frac{\partial u}{\partial x}(x,t)$ は任意の $t$ に対して $x \to \pm \infty$ のとき $0$ に収束するものとする。

• (i) $u(x,t)$ が式 (2.1) を満たすとき、$U(k,t)$ が従う偏微分方程式を求めよ。
• (ii) (i) の解は式 (2.3) の初期条件のもとで、$k$ を変数とする関数 $F(k)$ を用いて以下のように表せることを示せ。

$$U(k,t) = F(k) \cos(kct)$$

• (iii) さらに、式 (2.2) の初期条件のもとで $F(k)$ を求め、$U(k,t)$ を与えよ。設問 (1) の結果を用いてもよい。

(3) 設問 (2) で得られた $U(k,t)$ のフーリエ逆変換を計算することにより、$u(x,t)$ を求めよ。ただし、フーリエ逆変換は次式で定義される。

$$u(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} U(k,t) \exp(ikx)dk$$

Kai

(1)

$$\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a(x+id)^2} dx &= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} dx \\ &= \frac{1}{\sqrt{a}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(\sqrt{a}x)^2} d(\sqrt{a}x) \\ &= \sqrt{\frac{\pi}{a}} \end{aligned}$$

(2)

(i)

$$\begin{aligned} \mathcal{F} \left [ \frac{\partial u(x,t)}{\partial x} \right] &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ikx} d(u(x,t)) \qquad (\text{对 } x \text{ 微分}) \\ &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} (e^{ikx} u(x,t) \bigg|_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^{\infty} u(x,t)(-ik)e^{-ikx} dx) \\ &(\text{由于 } x \to \pm \infty \text{ 时 } u(x,t)=0, \text{ 左项为 } 0) \\ &= ikU(k,t) \end{aligned}$$

由于 $x \to \pm \infty$ 时 $\frac{\partial u(x,t)}{\partial x} = 0$, 同理可得

$$\mathcal{F}\left[ \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} \right] = -k^2 U(k,t)$$

$$\mathcal{F}\left[ \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} \right] = \frac{\partial^2 \mathcal{F[u(x,t)]}}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 U(k,t)}{\partial t^2}$$

满足的微分方程式为

$$\frac{\partial^2 U(k,t)}{\partial t^2} = -k^2 c^2 U(k,t)$$

(ii)

$U(k,t)$ 有形式

$$U(k,t) = G(k) \sin (kct) + F(k) \cos (kct)$$

由初值条件 $\frac{\partial u(x,0)}{\partial} = 0$

$$\frac{\partial U(k,t)}{\partial t} \bigg |_{t=0} = kcG(k) \cos (kct) - kcF(k) \sin(kct) \bigg|_{t=0} = 0$$

得到 $G(k) = 0$, 因此

$$U(k,t) = F(k) \cos(kct)$$

(iii)

由初值条件 $u(x,0) = e^{-ax^2}$

$$\begin{aligned} F(k) = U(k, 0) &= \mathcal{F}[u(x, 0)] \\ &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} e^{-ikx} dx \\ &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp (-a(x + \frac{ik}{2a})^2) \exp (-\frac{k^2}{4a}) dx \\ &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \sqrt{\frac{\pi}{a}} \exp (-\frac{k^2}{4a}) \\ &= \frac{1}{\sqrt{2a}}\exp (-\frac{k^2}{4a}) \end{aligned}$$

(3)

$$U(k,t) = \frac{1}{\sqrt{2a}} \exp(-\frac{k^2}{4a}) \cos (kct)$$

$$\begin{aligned} u(x,t) &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \frac{1}{\sqrt{2a}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp(-\frac{k^2}{4a}) \exp (ikx) \frac{\exp(ikct) + \exp(-ikct)}{2} dk \\ &= \frac{1}{4\sqrt{\pi a}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp(-\frac{k^2}{4a}) \left( \exp(i(x-ct)k) + \exp(i(x+ct)k) \right) dk \\ &= \frac{1}{4\sqrt{\pi a}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left( -\frac{1}{4a} (k^2- i4a(x + ct)k) \right) dk + \frac{1}{4\sqrt{\pi a}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left( -\frac{1}{4a} (k^2- i4a(x - ct)k) \right) dk \\ &= I_1 + I_2 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} I_1 &= \frac{1}{4\sqrt{\pi a}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left( -\frac{1}{4a} (k^2- i4a(x + ct)k) \right) dk \\ &= \frac{1}{4\sqrt{\pi a}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left( -\frac{1}{4a} (k-2i(x+ct)a)^2 \right) \exp \left( -\frac{1}{4a} (4(x+ct)^2a^2) \right) dk \\ &= \frac{1}{4\sqrt{\pi a}} \exp \left( -\frac{1}{4a} (4(x+ct)^2 a^2) \right) \sqrt{4a \pi} \\ &= \frac{1}{2} e^{-a(x+ct)^2} \end{aligned}$$

同理 $I_2 = \frac{1}{2} e^{-a(x-ct)^2}$

$$u(x,t) = \frac{1}{2} e^{-a(x+ct)^2} + \frac{1}{2} e^{-a(x-ct)^2}$$