東京大学 情報理工学研究科 2018年8月実施 数学 第1問

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etsurin

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複素正方行列 は、 を満たすとき、ユニタリ行列であるという。 ただし、 は行列 の共役転置行列（もしくは、随伴行列とも呼ばれる）を表し、 は単位行列である。 は虚数単位とする。以下の問いに答えよ。

(1) を正の整数とし、 を 次ユニタリ行列とする。 行列 もユニタリ行列であることを示せ。

(2) を正の整数とし、 を 次実正方行列とする。 行列 を と定義し、行列 を

と定義する。 行列 がユニタリ行列であることと行列 が直交行列であることは同値であることを示せ。

(3) 次の行列の固有値を求めよ。

(4) を正の整数とし、 次正方行列 の 成分 を

とする。行列 はユニタリ行列であることを示せ。

(5) 行列式が である 次のユニタリ行列は次の一形式を持つことを示せ。

ただし、 と は実数であるとする。

(6) 次のユニタリ行列の一般形を求めよ。

Kai

(1)

是酉矩阵，则

(2)

是酉矩阵

均为实矩阵、则

是正交矩阵、则 、

(3)

令

是个酉矩阵，。令 ，则有 ，其中

容易观察到 。考虑利用酉矩阵的性质寻找 的特征多项式。

矩阵逆唯一，则 。 同时，注意到 , 则有

特征值 。

(4)

令 , 则

考虑不同的

因此 是酉矩阵。

(5)

成立

成立，题中的 是行列式为 1 的酉矩阵的一种形式。

(6)

设 , 则 , 即

同样成立

须满足条件为

满足式 (1) , 则需有形式

满足式 (2)，由于行列正交等价，只需 。 因 此在式 (3) 形式的基础上，还需满足