東京大学 情報理工学研究科 2018年8月実施 数学 第1問

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Author

etsurin

Description

複素正方行列 $X$ は、 $XX^* = I$ を満たすとき、ユニタリ行列であるという。 ただし、$X^*$ は行列 $X$ の共役転置行列（もしくは、随伴行列とも呼ばれる）を表し、$I$ は単位行列である。$i$ は虚数単位とする。以下の問いに答えよ。

(1) $n$ を正の整数とし、$A, B$ を $n$ 次ユニタリ行列とする。 行列 $AB$ もユニタリ行列であることを示せ。

(2) $n$ を正の整数とし、$C, D$ を $n$ 次実正方行列とする。 行列 $F$ を $F = C + iD$ と定義し、行列 $G$ を

$$G = \begin{pmatrix} C & -D \\ D & C \end{pmatrix}$$

と定義する。 行列 $F$ がユニタリ行列であることと行列 $G$ が直交行列であることは同値であることを示せ。

(3) 次の行列の固有値を求めよ。

$$\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & i & -1 & -i \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -i & -1 & i \end{pmatrix}$$

(4) $n$ を正の整数とし、$n$ 次正方行列 $Q$ の $(j, k)$ 成分 $q_{jk}$ を

$$q_{jk} = \frac{1}{\sqrt{n}} \exp\left( \frac{2\pi i (j-1)(k-1)}{n} \right)$$

とする。行列 $Q$ はユニタリ行列であることを示せ。

(5) 行列式が $1$ である $2$ 次のユニタリ行列は次の一形式を持つことを示せ。

$$H = \begin{pmatrix} \exp(i\psi) \cos \theta & \exp(i\psi) \sin \theta \\ -\exp(-i\psi) \sin \theta & \exp(-i\psi) \cos \theta \end{pmatrix}$$

ただし、$\theta$ と $\psi$ は実数であるとする。

(6) $2$ 次のユニタリ行列の一般形を求めよ。

题目描述

若复方阵 $X$ 满足 $XX^*=I$，则称其为酉矩阵，其中 $X^*$ 是共轭转置， $I$ 为单位矩阵，$i$ 为虚数单位。回答下列问题。

（1）设 $A,B$ 为同阶酉矩阵，证明 $AB$ 也是酉矩阵。

（2）设 $C,D$ 为 $n$ 阶实方阵，定义

$$F=C+iD,\qquad G=\begin{pmatrix}C&-D\\D&C\end{pmatrix}.$$

证明 $F$ 为酉矩阵当且仅当 $G$ 为正交矩阵。

（3）求矩阵

$$\frac12\begin{pmatrix} 1&1&1&1\\ 1&i&-1&-i\\ 1&-1&1&-1\\ 1&-i&-1&i \end{pmatrix}$$

的特征值。

（4）对正整数 $n$，定义 $n$ 阶矩阵 $Q$ 的元素

$$q_{jk}=\frac1{\sqrt n} \exp\left(\frac{2\pi i(j-1)(k-1)}n\right).$$

证明 $Q$ 是酉矩阵。

（5）证明任意行列式为 $1$ 的二阶酉矩阵都可写成

$$H=\begin{pmatrix} e^{i\psi}\cos\theta&e^{i\psi}\sin\theta\\ -e^{-i\psi}\sin\theta&e^{-i\psi}\cos\theta \end{pmatrix},$$

其中 $\theta,\psi$ 为实数。

（6）求二阶酉矩阵的一般形式。

考点

• 酉矩阵的代数性质：验证乘积封闭性，并把复矩阵的实部、虚部条件实化为正交条件。
• 酉离散 Fourier 变换矩阵：运用单位根求和证明列正交，并分析具体 DFT 矩阵的谱。
• 二维特殊酉群参数化：由列向量标准正交及行列式约束推导 $SU(2)$ 形式。
• 一般二维酉矩阵：从特殊酉矩阵乘整体相位得到 $U(2)$ 的参数化。

Kai

(1)

$A、B$ 是酉矩阵，则

$$AA^* = I \qquad BB^* = I$$

$$AB(AB)^* = ABB^*A^* = I$$

(2)

$F$ 是酉矩阵

$$FF^* = (C+iD)(C^* - iD^*) = CC^* + DD^* + i(DC^* - CD^*) = I$$

$C, D$ 均为实矩阵、则

$$CC^T + DD^T = I \qquad DC^T - CD^T = 0$$

$G$ 是正交矩阵、则 $G^T = G^{-1}, G^T = \begin{pmatrix} C^T & D^T \\ -D^T & C^T \end{pmatrix}$、

$$\begin{aligned} GG^T &= \begin{pmatrix} CC^T + DD^T & CD^T-DC^T \\ DC^T - CD^T & DD^T+CC^T \end{pmatrix} = I \\ &\Rightarrow CC^T + DD^T = I, \quad DC^T-CD^T = 0 \end{aligned}$$

(3)

令

$$A = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & i & -1 & -i \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -i & -1 & i \end{pmatrix}$$

$A$ 是个酉矩阵，$AA^*=I$。令 $A=C+iD$，则有 $C^2 + D^2 = I$，其中

$$C = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \qquad D = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

容易观察到 $CD = 0$。考虑利用酉矩阵的性质寻找 $A$ 的特征多项式。

$$A^2 = C^2 - D^2 \qquad A^3=(C^2-D^2)(C+iD)=C^3-iD^3$$

$$A^4=(C^3-iD^3)(C+iD) = C^4 + D^4 = (C^2 + D^2)^2 = I$$

矩阵逆唯一，则 $A^3 = A^{-1}=A^*=C-iD, C^3 = C, D^3 = D$。 同时，注意到 $C^2 \neq C, D^2=D$, 则有

$$A^3 = C-iD=A-i2D = A-i2D^2 = A-i(I-A^2)$$

$$A(A^2-I) + i(I-A^2) = (A-iI)(A+I)(A-I) = 0$$

特征值 $\lambda_1 = i, \lambda_2 = 1, \lambda_3 = -1$。

(4)

令 $q_k = \begin{pmatrix}q_{1k} \\q_{2k} \\ \vdots \\q_{nk}\end{pmatrix}$, 则 $||q_k||^2 = n \times (\frac{1}{\sqrt{n}})^2 = 1$

考虑不同的 $m,j,q_m = \begin{pmatrix}q_{1m} \\q_{2m} \\ \vdots \\q_{nm}\end{pmatrix},q_j = \begin{pmatrix}q_{1j} \\q_{2j} \\ \vdots \\q_{nj}\end{pmatrix}$

$$\begin{aligned} q_{km}\overline{q_{kj}} &= \frac{1}{n}\exp\bigg(\frac{2\pi i(k - 1)(m - 1) - 2\pi i(k - 1)(j - 1)}{n}\bigg) \\ &= \exp\bigg(\frac{2\pi i(k - 1)(m - j)}{n}\bigg) \\ q_m\overline{q_j} &= \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\exp\bigg(\frac{2\pi i(k - 1)(m - j)}{n}\bigg) \\ &= \frac{1}{n}\big(e^{-\frac{2\pi i(m - j)0}{n}} + e^{-\frac{2\pi i(m - j)1}{n}} + \cdots + e^{-\frac{2\pi i(m - j)(n - 1)}{n}}\big) \\ &= 0 \end{aligned}$$

因此 $QQ^* = I , Q$ 是酉矩阵。

(5)

$\det(H) = \cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1$ 成立

$$H = \begin{pmatrix} e^{i\psi}\cos\theta & e^{i\psi}\sin\theta \\ -e^{-i\psi}\sin\theta & e^{-i\psi}\cos\theta \\ \end{pmatrix} \quad H^* = \begin{pmatrix} e^{-i\psi}\cos\theta & -e^{i\psi}\sin\theta \\ e^{-i\psi}\sin\theta & e^{i\psi}\cos\theta \\ \end{pmatrix}$$

$HH^* = I$ 成立，题中的 $H$ 是行列式为 1 的酉矩阵的一种形式。

(6)

设 $H = \begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}$ , 则 $H^* = \begin{pmatrix}\overline{a} & \overline{c} \\\overline{b} & \overline{d}\end{pmatrix} , HH^* = I$ , 即

$$\begin{pmatrix} a\overline{a} + b\overline{b} & a\overline{c} + b\overline{d} \\ \overline{a}c + \overline{b}d & c\overline{c} + d\overline{d} \\ \end{pmatrix} = I$$

$H^*H = I$ 同样成立

$$\begin{pmatrix} a\overline{a} + c\overline{c} & a\overline{b} + c\overline{d} \\ \overline{a}b + \overline{c}d & b\overline{b} + d\overline{d} \\ \end{pmatrix} = I$$

须满足条件为

$$\begin{align} a\overline{a} + b\overline{b} = c\overline{c} + d\overline{d} &= 1 \quad a\overline{a} + c\overline{c} = b\overline{b} + d\overline{d} = 1 \tag{1} \\ a\overline{c} + b\overline{d} &= 0 \quad a\overline{b} + c\overline{d} = 0 \tag{2} \end{align}$$

$H$ 满足式 (1) , 则需有形式

$$H = \begin{pmatrix} \cos\theta e^{i\psi_1} & \sin\theta e^{i\psi_2} \\ \sin\theta e^{i\psi_3} & \cos\theta e^{i\psi_4} \\ \end{pmatrix} \tag{3}$$

$H$ 满足式 (2)，由于行列正交等价，只需 $\cos \theta \sin \theta e^{i(\psi_1-\psi_3)} + \sin \theta \cos \theta e^{i(\psi_2 - \psi_4)}=0$。 因 此在式 (3) 形式的基础上，还需满足

$$\psi_1 - \psi_3 = \psi_2-\psi_4 + \pi + 2k \pi \qquad k = 0, 1, 2, \ldots$$