東京大学 情報理工学研究科 2017年8月実施 数学 第3問

Author

etsurin, 祭音Myyura

Description

赤いカードが 枚と白いカードが 枚入った袋および複素数 について考える。 まず, 袋から 枚のカードを取り出し袋に戻す。 このとき取り出されたカードの色に応じて を以下のルールで生成する。

次に, 袋からもう一度 枚のカードを取り出し袋に戻す。 このとき取り出したカードの色に応じて を以下のルールで生成する。

ここで, 各カードは独立に等確率で取り出されるものとする。 また初期状態を とする。 すなわち, は, の状態から始め, 上記の一連の二つの操作を 回繰り返した後の値である。 なお, ここで は虚数単位とする。

以下の問いに答えよ。

(1) が奇数のとき , 偶数のとき であることを示す。 ただし, , はそれぞれ の実部, 虚部を表すものとする。

(2) である確率を , である確率を とする。 についての漸近式を立てよ。

(3) である確率をそれぞれ求めよ。

(4) の期待値が であることを示す。

(5) である確率を求めよ。

(6) の期待値を求めよ。

(7) の期待値を求めよ。

Kai

(1)

使用数学归纳法证明。

时， 为实数； 时， 可能取值为 ，为纯虚数，满足条件。

假设 时， 为实数， 时， 为纯虚数。 则当 时， 可能取值为 为实数； 时， 可能取值为 为纯虚数。

命题成立。

(2)

为偶数时， 可能取值为 ， 为奇数时， 可能取值为 。

考虑连续两次操作。

对颜色相同的情况 ，对颜色不同的情况 。因此有

(3)

时

时

(4)

时

时

(5)

的可能取值、递推式与 相同，只是 。 时， 与 的概率分布相同。 时，，，。

时

时

(6)

由 (4) 同理可得到

(7)

独立