東京大学 情報理工学研究科 2017年8月実施 数学 第2問

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etsurin

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関数 を 上で定義される正値の定数関数とし、 とおく。 また、正の実数 を を満たすものとする。 これらに対し、 上で定義される関数の列 を

で定める。以下の問いに答えよ。

(1) かつ

で定まる実数列 と を用いて と表されることを示せ。

(2) に対し 上で定義される関数 を とおく。 に対し となることに注意して、 がある点 で最大値をとることを示し、この を求めよ。

(3) 任意の に対して となることを示せ。

(4) とおく。 が のとき有限な正の値に収束することを示せ。 なお、 となることは用いて良い。

(5) の値を求めよ。

(6) 任意の に対して となることを示せ。

Kai

(1)

使用归纳法证明。

时， 成立。

假设 时， 成立，对 n = k + 1 的情况

因此， 对任意 成立。

(2)

对 求导，令 ，则有

即有

，因此 。

时，， 时，。 在 处取得最大值。

(3)

(4)

取极限，得到

(5)

对 (4) 的结论取对数

假设 ，则有

，因此 ，即有 。

(6)