東京大学 情報理工学研究科 2017年8月実施 数学 第2問

标签：

• 东京大学
• 一致收敛
• 非线性递推数列的渐近分析

Author

etsurin, 祭音Myyura

Description

関数 $f_1$ を $[0,1]$ 上で定義される正値の定数関数とし、$f_1(x) = c$ とおく。 また、正の実数 $p, q$ を $1/p + 1/q = 1$ を満たすものとする。 これらに対し、$[0,1]$ 上で定義される関数の列 $\{f_n\}$ を

$$f_{n+1}(x) = p \int_0^x (f_n(t))^{1/q} \, dt \quad (n = 1, 2, \ldots)$$

で定める。以下の問いに答えよ。

(1) $a_1 = 0, \, c_1 = c$ かつ

$$\begin{aligned} a_{n+1} &= q^{-1} a_n + 1 \quad (n = 1, 2, \ldots), \\ c_{n+1} &= \frac{p \left( c_n \right)^{1/q}}{a_{n+1}} \quad (n = 1, 2, \ldots) \end{aligned}$$

で定まる実数列 $\{a_n\}$ と $\{c_n\}$ を用いて $f_n(x) = c_n x^{a_n}$ と表されることを示せ。

(2) $n \geq 2$ に対し $[0,1]$ 上で定義される関数 $g_n$ を $g_n(x) = x^{a_n} - x^p$ とおく。 $n \geq 2$ に対し $a_n \geq 1$ となることに注意して、$g_n$ がある点 $x = x_n$ で最大値をとることを示し、この $x_n$ を求めよ。

(3) 任意の $x \in [0,1]$ に対して $\lim_{n \to \infty} g_n(x) = 0$ となることを示せ。

(4) $d_n = (c_n)^{q^n}$ とおく。$d_{n+1}/d_n$ が $n \to \infty$ のとき有限な正の値に収束することを示せ。 なお、$\lim_{t \to \infty} (1 - 1/t)^t = 1/e$ となることは用いて良い。

(5) $\lim_{n \to \infty} c_n$ の値を求めよ。

(6) 任意の $x \in [0,1]$ に対して $\lim_{n \to \infty} f_n(x) = x^p$ となることを示せ。

题目描述

在 $[0,1]$ 上令正值常函数 $f_1(x)=c$。取正实数 $p,q$ 满足 $1/p+1/q=1$，并递归定义

$$f_{n+1}(x)=p\int_0^x(f_n(t))^{1/q}\,\mathrm dt, \qquad n=1,2,\ldots.$$

回答下列问题。

（1）令 $a_1=0,c_1=c$，并定义

$$a_{n+1}=q^{-1}a_n+1,\qquad c_{n+1}=\frac{p(c_n)^{1/q}}{a_{n+1}}.$$

证明 $f_n(x)=c_nx^{a_n}$。

（2）对 $n\ge2$ 定义 $g_n(x)=x^{a_n}-x^p$。利用 $a_n\ge1$，证明 $g_n$ 在某点 $x_n$ 取得最大值，并求 $x_n$。

（3）证明对任意 $x\in[0,1]$， $\lim_{n\to\infty}g_n(x)=0$。

（4）令 $d_n=(c_n)^{q^n}$。证明 $d_{n+1}/d_n$ 在 $n\to\infty$ 时收敛到有限正值。可以使用 $\lim_{t\to\infty}(1-1/t)^t=e^{-1}$。

（5）求 $\lim_{n\to\infty}c_n$。

（6）证明对任意 $x\in[0,1]$，

$$\lim_{n\to\infty}f_n(x)=x^p.$$

Kai

(1)

使用归纳法证明。

$n = 1$ 时，$f_1(x) = c_1 x^{a_1} = c$ 成立。

假设 $n = k$ 时，$f_k(x) = c_k x^{a_k}$ 成立，对 n = k + 1 的情况

$$\begin{aligned} f_{k+1} (x) &= p \int_0^x (c_k t^{a_k})^{1/q} dt \\ &= pc^{1/q}_k \int_0^x t^{a_k / q} dt \\ &= \frac{pc^{1/q}_k}{a_k/q + 1} x^{a_k/q + 1} \\ &= c_{k+1} x^{a_{k + 1}} \end{aligned}$$

因此，$f_n(x) = c_n x^{a_n}$ 对任意 $n \geq 1$ 成立。

(2)

$$a_{n+1} = a_n/q + 1 \Rightarrow a_{n+1} + \frac{q}{1-q} = \frac{1}{q}(a_n + \frac{q}{1-q}) \Rightarrow a_n = \frac{q}{1-q}((1/q)^{n-1} - 1)$$

对 $g_n(x)$ 求导，令 $g'_n(x) = 0$，则有

$$\begin{aligned} g'_n(x) &= a_n x^{a_n - 1} - px^{p-1} \\ &= \frac{q}{q-1} \left( 1-(1/q)^{n-1} \right) x^{\frac{1}{q-1} - \frac{q}{q-1}(1/q)^{n-1}} - \frac{q}{q-1}x^{\frac{1}{q-1}} \\ &= \frac{q}{q-1} x^{\frac{1}{q-1} - \frac{q}{q-1}(1/q)^{n-1}} \left( (1 - (1/q)^{n-1}) - x^{\frac{q}{q-1} (1/q)^{n-1}} \right) \\ &= 0 \end{aligned}$$

即有

$$x_n = \left( 1 - (1/q)^{n-1} \right)^{(q-1)q^{n-2}}$$

$q > 1$，因此 $1 - (1/q)^{n-1} \in (0, 1), (q-1)q^{n-2} > 0, x_n \in (0, 1)$。

$x \in (0, x_n)$ 时，$g'_n(x) > 0$，$x \in (x_n, 1)$ 时，$g'_n(x) < 0$。$g_n(x)$ 在 $x_n$ 处取得最大值。

(3)

$$\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{q}{q-1} = p \qquad \lim_{n \to \infty} g_n(x) = x^p - x^p = 0$$

(4)

$$\begin{aligned} \frac{d_{n+1}}{d_n} &= \frac{(c_{n+1})^{q^{n+1}}}{(c_n)^{q^n}} \\ &= \left( \frac{p}{a_{n+1}} \right)^{q^{n+1}} \frac{((c_n)^{1/q})^{q^{n+1}}}{(c_n)^{q^n}} \\ &= \left( \frac{p}{\frac{q}{q-1}(1 - (1/q)^n)} \right)^{q^{n+1}} \\ &= \frac{1}{((1 - 1/q^n)^{q^n})^q} \end{aligned}$$

$n \to \infty$ 取极限，得到

$$\lim_{n \to \infty} \frac{d_{n+1}}{d_n} = \frac{1}{(1/e)^q} = e^q$$

(5)

令 $\ell_n=\ln c_n$。由递推式

$$\ell_{n+1}=\frac{1}{q}\ell_n-\ln(1-q^{-n}).$$

其中 $-\ln(1-q^{-n})\to0$。令 $B=-\ln(1-q^{-1})$，则

$$|\ell_n|\le q^{-(n-1)}|\ln c|+\frac{B}{1-q^{-1}},$$

所以 $\{\ell_n\}$ 有界。若 $L=\limsup_{n\to\infty}|\ell_n|$，则

$$L\leq \frac{L}{q}.$$

$q>1$，故 $L=0$，即 $\ell_n\to0$。因此

$$\lim_{n\to\infty}c_n=1.$$

(6)

$$\lim_{n \to \infty} c_n = 1 \qquad \lim_{n \to \infty} a_n = p$$

$$\lim_{n \to \infty} f_n(x) = \lim_{n \to \infty} c_n x^{a_n} = x^p$$