東京大学 情報理工学研究科 2017年8月実施 数学 第1問

Author

Zero, etsurin

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次の連立一次方程式を解く問題を考える．

ここで, は与えられた定数の行列とべクトルであり, は未知ベクトルである．以下の問いに答えよ．

(1)、 のように，行列 の最後の列の後ろに1列追加した 行列を作る．例えば, の場合には, となる．この例の の第 列ベクトルを とする.

(i)、 のうち線形独立なベクトルの最大個数を求めよ．

(ii)、 が の線形和で表されることを, となるスカラー を求めることで示せ．

(iii)、 のうち線形独立なベクトルの最大個数を求めよ．

(2)、任意の 対して, のとき連立一次方程式の解が存在することを示せ．

(3)、 ならば解は存在しない., , のとき, 連立一次方程式の右辺と左辺と差のノルムの２乗 を最小にする を求めよ．

(4)、 のとき，どのような に対しても連立一次方程式を満たす解が複数存在する．解のうちで を最小にする を，連立一次方程式を制約条件として，ラグランジュ乗数法を用いて求めよ．

(5)、任意 に対して，以下の4つの式を満たす が唯一に決まることを示せ．

(6)、(3)て求めた と(4)で求めた が，いずれも の形で表せることを示せ．

Kai

(1)

(i)

There are 2 linearly independent vectors in

(ii)

(iii)

(2)

Assuming that and there is no solution with .

Hence the vector or cannot be represented as the linear combination of

Hence,

which is contradictory to the fact that .

Therefore, for any , when the equation has nonzero solution.

(3)

Therefore,

(4)

Hence

Finally

(5)

Assume that there are two different solutions satisfy the conditions, then we have

Hence , a contradiction to the assumption that and are different.

Therefore, is unique.

(6)

For (3), and we have , hence

For (4), and we have , hence