東京大学 情報理工学研究科 2016年8月実施 数学 第2問
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etsurin
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実数値関数 が で定義されている。ここで、 と は互いに独立である。
偏微分方程式
の解を次の条件
のもとで求める。ただし、定数関数 は明らかに解であるから、それ以外の解を考える。
以下の問いに答えよ。
(1) 次の式を計算せよ。ここで、 はともに正の整数とする。
(2) のみの関数 および のみの関数 を用いて、 とおけるとする。
任意の定数 を用いて、 および が満たす常微分方程式をそれぞれ表せ。
関数 と関数 が任意の と について を満たす場合は、 と が定数関数となることを用いてもよい。
(3) 設問 (2) の常微分方程式を解け。
次に、境界条件を満たす偏微分方程式 (*) の解の一つが次の式で表される で与えられることを示し、 を正の整数 を用いて表せ。
(4) 境界条件と初期条件を満たす偏微分方程式 (*) の解は の線形結合として次の式で表される。
を求めよ。設問 (1) の結果を用いてもよい。
Kai
(1)
时
时
(2)
假设 有形式
因此有 ( 为常数), 满足的微分方程式为
(3)
时, ;
时, ( 为常数), 代入边界条件 , 则 .
因此为使 有非零解, .
时, .
, 则 , , 则 .
.
因此，一个满足边界条件的解有如下形式
其中 .
(4)
由初始条件
两边同时乘 积分，由 (1)
而