東京大学 情報理工学研究科 2016年8月実施 数学 第1問

Author

Zero, etsurin

Description

3次元ベクトル は式

を満たすものとする．ただし， は実数とし，

とする．以下の問いに答えよ.

(1)、 を を用いて表せ．

(2)、行列 の固有値 と，それぞれの固有値に対応する固有ベクトル を求めよ．

(3)、行列 を を用いて表せ．

(4)、 を を用いて表せ．

(5)、 を求めよ．

(6)、以下の式

を の関数とみなして， の最大値および最小値お求めよ．ただし， とする．

Kai

(1)

By the following given equations:

We have

Therefore:

(2)

Hence,

(3)

From (2), we know that

Hence,

Which is,

(4)

Note that,

Normalize the characteristic vectors:

We have

Since , is positive-definite.

Hence,

where

(5)

Since

Hence we have,

Therefore,

(6)

Note that

Let

where

and

Since A is positive-definite, are all orthogonal, that is:

if , then and , the maximum of is

if ,then and , the minimum of is