東京大学情報理工学系研究科知能機械情報学専攻 2019年8月実施問題1

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祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

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問1

質量 $m$ 、長さ $2L$ の一様な細い棒が、重心 $G$ から距離 $l$ $(0<l\le L)$ の点 $O$ のまわりを鉛直面内で回転する。棒と鉛直下向きのなす角を $\theta$ とする。

       棒（全長 2L）
          \
           ● O  回転軸
            \
             \  l
              ● G  重心
               \
                ↓ 鉛直下向き
              θ = 棒と鉛直下向きの角

$O$ まわりの慣性モーメントを求めよ。
棒が $-\pi/3\le\theta\le\pi/3$ で振動するとき、 $\theta=0$ における $G$ の速さを求めよ。
$\theta=0$ 近傍での運動方程式を求めよ。
微小振動の角振動数が最大となる $l$ を求めよ。

問2

$x_1,x_2,x_3,y\in\{0,1\}$ とする。3入力のうち2つ以上が 1 なら $y=1$ 、2つ以上が 0 なら $y=0$ となる多数決論理を考える。

真理値表を書け。
論理式に変換し、 $y=x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1$ と表せることを示せ。
多入力 NAND ゲートを許すとき、4個の NAND ゲートで回路を構成せよ。

問3

次の語句を簡潔に説明せよ。

制御工学における PID control
ソフトウェアにおける Hash table
メカトロニクスにおける Piezoelectric element

Kai

問1

(1)

平行軸の定理より

\boxed{I=\frac13mL^2+ml^2}.

(2)

端点 $\theta=\pi/3$ と $\theta=0$ でエネルギーを比べると

\frac12I\dot\theta^2-mgl=-\frac12mgl.

したがって

\dot\theta^2=\frac{3gl}{L^2+3l^2},\qquad \boxed{v_G=l\sqrt{\frac{3gl}{L^2+3l^2}}}.

(3)

I\ddot\theta=-mgl\sin\theta\simeq-mgl\theta,

よって

\boxed{\ddot\theta=-\frac{3gl}{L^2+3l^2}\theta}.

(4)

\omega^2=\frac{3gl}{L^2+3l^2},\qquad \frac{d\omega^2}{dl}=\frac{3g(L^2-3l^2)}{(L^2+3l^2)^2}.

したがって

\boxed{l=\frac{L}{\sqrt3}}.

問2

(1)

$x_1$	$x_2$	$x_3$	$y$
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	1

(2)

$y=1$ となるのは、 $x_1x_2,x_2x_3,x_3x_1$ の少なくとも1つが 1 となるときである。よって

\boxed{y=x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1}.

(3)

n_{12}=\overline{x_1x_2},\qquad n_{23}=\overline{x_2x_3},\qquad n_{31}=\overline{x_3x_1}

を3個の NAND で作り、最後に

y=\overline{n_{12}n_{23}n_{31}} =x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1

とする。

x1 ─┬─[NAND]─ n12 ─┐
x2 ─┘               │
x2 ─┬─[NAND]─ n23 ─┼─[3-input NAND]─ y
x3 ─┘               │
x3 ─┬─[NAND]─ n31 ─┘
x1 ─┘

問3

PID 制御は偏差 $e(t)$ に対し、

$u(t)=K_Pe(t)+K_I\int_0^t e(\tau)\,d\tau+K_D\frac{de}{dt}$

とするフィードバック制御である。
Hash table は、キーをハッシュ関数で配列の位置に対応させるデータ構造である。衝突はチェイニングや開放アドレス法で解決する。
Piezoelectric element（圧電素子）は、機械的な力を加えると電荷を生じ、逆に電圧を加えると変形する素子である。センサやアクチュエータに用いられる。

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問1​

問2​

問3​

Kai​

問1​

(1)​

(2)​

(3)​

(4)​

問2​