東京大学 情報理工学系研究科 電子情報学専攻 2020年8月実施 専門 第5問

标签：

• Tokyo-University
• Continuous-Time-Fourier-Transform
• Fourier-Conjugate-Symmetry-and-Modulation
• Convolution-Theorem
• Fourier-Transform-Differentiation-and-Time-Multiplication

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

フーリエ変換に関する以下の問いに答えよ。

$$x(t)=\begin{cases} 1&-1\le t<0,\\ -2&0\le t<2,\\ 0&\text{それ以外}, \end{cases}\qquad f(t)=\begin{cases} E&|t|\le\tau/2,\\ 0&|t|>\tau/2 \end{cases}$$

とする。ただし、$\tau>0,\ E>0$ である。$a(t)*b(t)$ は、$2$ つの信号 $a(t)$ と $b(t)$ の畳み込み積分を意味する。

(1) $x(t)=x_o(t)+x_e(t)$ を満たす $x_o(t)$ と $x_e(t)$ のグラフを図示せよ。ただし、$x_o(-t)=-x_o(t),\ x_e(-t)=x_e(t)$ である。

(2) $x_o(t)$ のフーリエ変換を $X_o(\omega)$ とする。$X_o(\omega)$ の実部 $\operatorname{Re}(X_o(\omega))$ を求めよ。

(3) $f(t)$ のフーリエ変換 $F(\omega)$ を求めよ。さらに、$F(\omega)=0$ となるすべての $\omega$ を求めよ。

(4) $f_2(t)=f(t)*f(t)$ とする。$f_2(t)$ のグラフを図示せよ。

(5) $f_3(t)=f_2(t)*f(t)$ とする。(3) で求めた $F(\omega)$ を用いて、$f_2(t),f_3(t)$ にそれぞれ対応するフーリエ変換 $F_2(\omega),F_3(\omega)$ を求めよ。

(6) $g(t)=\dfrac{d}{dt}f_2(t)$ とする。$g(t)$ のグラフを図示し、$f(t)$ を用いて数式で表せ。

(7) $g(t)$ のフーリエ変換 $G(\omega)$ を求めよ。

Kai

(1)

奇成分と偶成分は

$$\boxed{x_o(t)=\frac{x(t)-x(-t)}2,\qquad x_e(t)=\frac{x(t)+x(-t)}2}$$

で与えられる。$t>0$ では

$$x_o(t)=\begin{cases}-3/2&0<t\le1,\\-1&1<t<2,\\0&t\ge2,\end{cases} \qquad x_o(0)=0$$

であり、$t<0$ は奇対称に延長する。また、

$$x_e(t)=\begin{cases} -2&t=0,\\ -1/2&0<|t|\le1,\\ -1&1<|t|<2,\\ 0&|t|\ge2. \end{cases}$$

図の白丸はその値を含まず、塗りつぶした丸はその値を含むことを表す。

(2)

$x_o(t)$ は実奇関数、$\cos\omega t$ は偶関数なので、

$$\boxed{\operatorname{Re}X_o(\omega) =\int_{-\infty}^{\infty}x_o(t)\cos\omega t\,dt=0}.$$

(3)

フーリエ変換を $F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}\,dt$ とすると、

$$\boxed{F(\omega)=E\int_{-\tau/2}^{\tau/2}e^{-j\omega t}\,dt =\frac{2E\sin(\omega\tau/2)}{\omega}},\qquad \boxed{F(0)=E\tau}.$$

よって、すべての零点は

$$\boxed{\omega=\frac{2\pi k}{\tau}\quad(k\in\mathbb Z,\ k\ne0)}.$$

(4)

二つの幅 $\tau$ の矩形が重なる区間の長さは、$|t|\le\tau$ で $\tau-|t|$ だから、

$$\boxed{f_2(t)=\begin{cases}E^2(\tau-|t|)&|t|\le\tau,\\0&|t|>\tau.\end{cases}}$$

下図の上段に示す。

(5)

畳み込み定理より、

$$\boxed{F_2(\omega)=F(\omega)^2,\qquad F_3(\omega)=F(\omega)^3}.$$

(6)

$$g(t)=\begin{cases} E^2&-\tau<t<0,\\ -E^2&0<t<\tau,\\ 0&|t|>\tau. \end{cases}$$

折れ点 $t=-\tau,0,\tau$ を除いて、

$$\boxed{g(t)=E\left[f\left(t+\frac\tau2\right)-f\left(t-\frac\tau2\right)\right]}.$$

(7)

時間微分のフーリエ変換は $j\omega$ 倍なので、

$$\boxed{G(\omega)=j\omega F_2(\omega) =j\omega F(\omega)^2 =\frac{4jE^2\sin^2(\omega\tau/2)}{\omega}},\qquad \boxed{G(0)=0}.$$