東京大学 情報理工学系研究科 電子情報学専攻 2019年8月実施 専門 第1問

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diohabara

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図に示す，定電圧電源 (電圧 ), スイッチ (記号 ) , ダイオード (記号 ), コイル (インダクタンス ), コンデンサ (キャパシタンス ), 端子で構成される昇圧回路を考える．時刻を とし，コイルを流れる電流を , 端子の両端の電圧を とする (それぞれの方向は図を参照のこと)．また，ダイオードの順方向電圧は無視でき，時刻 で とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1) から の時間，スイッチを短絡させる． について, を求めよ．

(2) に，スイッチを開放する．スイッチを開放してから が に戻るまでの時間を とする． における を求め, も求めよ．

から，上述の操作 ( 時間短絡し， 時間開放させる) を 回繰り返す． および は定数， は 以上の整数とする．

(3) ならば, であることを定性的に説明せよ.

(4) を求めよ．

Kai

(1)

スイッチを短絡させると、以下の回路方程式が成り立つ。

電源は定電圧電源なので であり、 上で に関して積分して整理すると

問題文より で だから

(2)

スイッチを開放すると、 において以下の回路方程式が成り立つ。

両辺を微分して整理すると

よって、 の一般解は

と書ける.

(1) より であり

より

よって

また

よって、 より

よって

これが で最初に となるのは、 のときなので

(3)

ダイオードがあるため、コンデンサにかかる電圧 は常に単調増加する。したがって、スイッチを開放しているときにコイルに流れる電流の時間変化

は単調減少する。これはつまり、回数を重ねるごとにスイッチ解放後に電流が減少するスピードが早くなるということ。だから、 となるまでにかかる時間は からどんどん短くなっていく。

よって、各操作でスイッチを開放した後 時間後までに必ず となっているはずな ので、 と言える。

(4)

簡単のため、 とおく。

のとき、回路に流れる電流は (1) と同様にして

よって、 のとき である。

の間について、電源がした仕事とコイル･コンデンサのエネルギーの変化分は等しいので

に注意してこれを解くと