東京大学情報理工学系研究科電子情報学専攻 2018年8月実施専門第5問

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信号が与えられたとき, を時間間隔で標本化することを考える。時間間隔にデルタ関数が並ぶ信号を単位インパルス列と呼ぶ。すなわち,

この時, の標本化された信号は, と表される。

以下の問いに答えよ。

(1) を周期の周期信号と考え, フーリエ級数展開せよ。

(2) のフーリエ変換を求めよ。ただしとせよ。

(3) 並びにのフーリエ変換をそれぞれととする。をを用いて表せ。

(4) 折り返し歪 (エイリアシング) の定義を述べよ。また, (3) の結果においてどのような現象となるのか説明せよ。さらに, 折り返し歪が起きないためにが満足すべき条件をを用いて述べよ。

必要に応じて以下を使ってよい。

周期の信号のフーリエ級数展開:

信号のフーリエ変換 :

信号のフーリエ変換は .　

との畳み込み:

信号とののフーリエ変換をそれぞれととすると, のフーリエ変換は , .

同様にのフーリエ変換は .

を周期分切り出して、係数を求める。問題文にもあるように係数を求める式は次の通り。

この場合、なので、これを代入して

よって、係数は等しくであり、フーリエ級数展開の結果は

(1) の結果をフーリエ変換の公式に代入する。ただし、積分と和の交換、フーリエ変換の公式

の両辺をフーリエ変換する。

下の計算では和と積分の入れ替えや、(2) で得た結論や、畳込みの定義式やフーリエ変換を使った。

エイリアシングとは、サンプリングに従って信号の一部が本来の周波数とは異なる周波数の成分として混入してしまい、波形に歪みが生じることを言う。

サンプリング周波数に対して周波数の成分がすべて上の同じ点に重なってしまうため、サンプリング後の信号を見たときにのどこの周波数由来なのか判別不可能になる。