東京大学情報理工学系研究科電子情報学専攻 2013年8月実施専門第5問

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祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

離散信号処理に関する以下の問いに答えよ。

(1) $z$ を複素変数として、離散信号 $x(n)$ の $Z$ 変換の定義 $X(z)$ を示せ。ただし、 $n<0$ のとき $x(n)=0$ とする。

(2) $x(n)$ を $m$ だけずらした信号 $x(n-m)$ の $Z$ 変換 $X'(z)$ を導出過程を示した上で求めよ。

(3) 下図に示す離散時間システムの応答を考える。システムの内部状態を示す状態変数 $q(n)$ を用いて、本システムを連立差分方程式で表せ。

(4) (3) の差分方程式の $Z$ 変換を示せ。ただし、 $q(n)$ の $Z$ 変換を $Q(z)$ 、初期値を $q(-1)=q_0$ とする。

(5) (3) と (4) の結果を用いて、入力 $x(n)$ がゼロの場合のゼロ入力応答 $y(n)$ を求めよ。

(6) 初期値を $q_0=0$ とし、下記の単位ステップ信号 $u(n)$ を入力とした場合の単位ステップ応答 $y(n)$ を求めよ。

u(n)=\begin{cases}1&n\ge0,\\0&n<0.\end{cases}

\boxed{X(z)=\sum_{n=0}^{\infty}x(n)z^{-n}}

と定義する。 $z$ はこの級数が収束する領域に取る。

$m\ge0$ のとき、 $k=n-m$ とおけば、 $k<0$ で $x(k)=0$ より

X'(z)=\sum_{n=0}^{\infty}x(n-m)z^{-n} =z^{-m}\sum_{k=-m}^{\infty}x(k)z^{-k} =\boxed{z^{-m}X(z)}.

前進 $m=-r<0$ の場合は、片側 $Z$ 変換なので

X'(z)=z^r\left[X(z)-\sum_{k=0}^{r-1}x(k)z^{-k}\right].

遅延器の出力は $q(n-1)$ だから、

\boxed{q(n)=x(n)+a q(n-1),\qquad y(n)=b q(n)+q(n-1)}.

\mathcal Z\{q(n-1)\}=z^{-1}Q(z)+q_0

より、

\boxed{(1-a z^{-1})Q(z)=X(z)+a q_0},\qquad \boxed{Y(z)=(b+z^{-1})Q(z)+q_0}.

$X(z)=0$ とすると

Q(z)=\frac{a q_0}{1-a z^{-1}},\qquad Y(z)=\frac{(ab+1)q_0}{1-a z^{-1}}.

したがって、

\boxed{y(n)=(ab+1)a^n q_0\quad(n\ge0)}.

$q_0=0$ より $q(n)=\sum_{k=0}^{n}a^k$ である。したがって、 $n\ge0$ に対し

\boxed{ y(n)=\begin{cases} \displaystyle\frac{b+1-(ab+1)a^n}{1-a},&a\ne1,\\[2mm] b(n+1)+n,&a=1. \end{cases}}

実際、 $y(0)=b$ である。