東京大学情報理工学系研究科電子情報学専攻 2010年8月実施専門第5問

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Josuke, 祭音Myyura

離散信号処理に関する以下の問いに答えよ。なお, 離散信号 $x(n)$ は $n < 0$ でゼロであるとする。

(1) 離散信号 $x(n)$ を $m$ だけシフトさせ $x(n-m)$ としたとき, この信号の $z$ 変換が $z^{-m}X(z)$ となることを示せ。なお, $X(z)$ は $x(n)$ の $z$ 変換である。

(2) $2$ つの離散信号 $x_1(n)$ と $x_2(n)$ のたたみ込み $x_1(n)*x_2(n)$ の定義を示せ。

(3) $x_1(n)$ と $x_2(n)$ の $z$ 変換がそれぞれ $X_1(z)$ と $X_2(z)$ であるとする。(1) と (2) の結果を用いて, $x_1(n)*x_2(n)$ の $z$ 変換が $X_1(z)X_2(z)$ となることを示せ。

(4) 下図に示す離散時間システムの伝達関数 $H(z)$ を求めよ。

(5) 離散時間システムインパルス応答の変換は伝達関数と等しくなる。これを用いて, 下図の離散時間システムインパルス応答 $h(n)$ を求めた上で、離散信号 $x(n)$ を入力したときの応答 $y(n)$ を求めよ。

回答下列离散信号处理问题。约定离散信号 $x(n)$ 在 $n<0$ 时为零。

(1) 将 $x(n)$ 平移 $m$ 得到 $x(n-m)$ 。证明其 $z$ 变换为 $z^{-m}X(z)$ ，其中 $X(z)$ 是 $x(n)$ 的 $z$ 变换。

(2) 写出两个离散信号 $x_1(n)$ 与 $x_2(n)$ 的卷积 $x_1(n)*x_2(n)$ 的定义。

(3) 设 $x_1(n)$ 、 $x_2(n)$ 的 $z$ 变换分别为 $X_1(z)$ 、 $X_2(z)$ 。利用 (1)、(2) 的结果，证明 $x_1(n)*x_2(n)$ 的 $z$ 变换为 $X_1(z)X_2(z)$ 。

(4) 求上图所示离散时间系统的传递函数 $H(z)$ 。

(5) 离散时间系统的冲激响应之 $z$ 变换等于其传递函数。利用这一事实，先求上图系统的冲激响应 $h(n)$ ，再求输入离散信号 $x(n)$ 时的输出响应 $y(n)$ 。

$m\geq 0$ とする。このとき

\begin{aligned} \mathcal Z\{x(n-m)\} &= \sum_{n=0}^{+\infty}x(n-m)z^{-n} \\ &= \sum_{l=-m}^{+\infty}x(l)z^{-l-m} \\ &= z^{-m}\sum_{l=-m}^{+\infty}x(l)z^{-l} \\ &= z^{-m}X(z), \end{aligned}

ここで $x(l)=0\ (l<0)$ を用いた。片側 $z$ 変換で $m=-r<0$ とする場合は、

\mathcal Z\{x(n+r)\}=z^r\left(X(z)-\sum_{k=0}^{r-1}x(k)z^{-k}\right)

となる。両側 $z$ 変換なら任意の整数 $m$ に対してシフト則が成り立つ。

$x_1(n)*x_2(n) = \sum_{m=0}^{+\infty}x_1(n-m)x_2(m)$

\begin{aligned} \mathcal Z\{x_1*x_2\} &= \sum_{n=0}^{+\infty}\sum_{m=0}^{+\infty}x_1(n-m)x_2(m)z^{-n} \\ &= \sum_{m=0}^{+\infty}x_2(m)z^{-m} \sum_{n=0}^{+\infty}x_1(n-m)z^{-(n-m)} \\ &= X_1(z)X_2(z) \end{aligned}

初期状態を零とする。

\begin{aligned} &b[X(z) + az^{-1}Y(z)] = Y(z) \\ &bX(z) = (1 - abz^{-1})Y(z) \\ &H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{b}{1-abz^{-1}} \end{aligned}

因果的なシステムなので、 $H(z)$ の収束領域は $|z|>|ab|$ である。

\begin{aligned} h(n) &= b(ab)^n u(n)=a^n b^{n+1}u(n) \\ y(n) &= x(n) * h(n) \\ &= \sum_{k=0}^{+\infty}x(n-k)a^kb^{k+1} \end{aligned}