東京大学 情報理工学系研究科 電子情報学専攻 2010年8月実施 専門 第5問

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• Tokyo-University
• Z-Transform-Time-Shift
• Convolution-Theorem
• Discrete-Time-Transfer-Function-and-Impulse-Response

Author

Josuke

Description

離散信号処理に関する以下の問いに答えよ。なお, 離散信号 $x(n)$ は $n < 0$ でゼロであるとする。

(1) 離散信号 $x(n)$ を $m$ だけシフトさせ $x(n-m)$ としたとき, この信号の $z$ 変換が $z^{-m}X(z)$ となることを示せ。なお, $X(z)$ は $x(n)$ の $z$ 変換である。

(2) $2$ つの離散信号 $x_1(n)$ と $x_2(n)$ のたたみ込み $x_1(n)*x_2(n)$ の定義を示せ。

(3) $x_1(n)$ と $x_2(n)$ の $z$ 変換がそれぞれ $X_1(z)$ と $X_2(z)$ であるとする。(1) と (2) の結果を用いて, $x_1(n)*x_2(n)$ の $z$ 変換が $X_1(z)X_2(z)$ となることを示せ。

(4) 下図に示す離散時間システムの伝達関数 $H(z)$ を求めよ。

(5) 離散時間システムインパルス応答の変換は伝達関数と等しくなる。これを用いて, 下図の離散時間システムインパルス応答 $h(n)$ を求めた上で、離散信号 $x(n)$ を入力したときの応答 $y(n)$ を求めよ。

Kai

(1)

$$\begin{aligned} X(z) &= \sum_{n=0}^{+\infty}x(n-m)z^{-m} \\ &= \sum_{l=-m}^{+\infty}x(l)z^{-l-m} \\ &= z^{-m}\sum_{l=-m}^{+\infty}x(l)z^{-l} \\ &= z^{-m}x(z) \end{aligned}$$

(2)

$x_1(n)*x_2(n) = \sum_{m=0}^{+\infty}x_1(n-m)x_2(m)$

(3)

$$\begin{aligned} FT \bigg(x_1(n)*x_2(n)\bigg) &= \sum_{n=0}^{+\infty}\sum_{m=0}^{+\infty}x_1(n-m)x_2(m)z^{-n} \\ &= \sum_{m=0}^{+\infty}\sum_{n=0}^{+\infty}X_1(n-m)X_2(m)z^{-n} \\ &= \sum_{m=0}^{+\infty}X_2(m)\sum_{n=0}^{+\infty}X_1(n-m)z^{-(n-m)}\cdot z^{-m} \\ &= \sum_{m=0}^{+\infty}X_2(m)z^{-m}\sum_{n=0}^{+\infty}X_1(n-m)z^{-(n-m)} \\ &= X_1(z)X_2(z) \end{aligned}$$

(4)

$$\begin{aligned} &b[x(z) + az^{-1}y(z)] = y(z) \\ &bx(z) = (1 - abz^{-1})y(z) \\ &H(z) = \frac{y(z)}{x(z)} = \frac{b}{1-abz^{-1}} \end{aligned}$$

(5)

$$\begin{aligned} h(n) &= b \cdot (ab)^n = a^n b^{n+1} \\ y(n) &= x(n) * h(n) \\ &= \sum_{k=0}^{+\infty}x(n-k)a^kb^{k+1} \end{aligned}$$