東京大学 情報理工学系研究科 コンピュータ科学専攻 2024年8月実施 専門科目 問題1

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Author

vv, 祭音Myyura (co-authored with GPT 5.2 extended thinking)

Description

$\Sigma = \{a, b, c\}$ とする．$\Sigma$ 上の言語 $L \subseteq \Sigma^*$ に対して，言語 $\mathcal{H}(L)\subseteq \Sigma^*$ を以下によって定義する．

$$\mathcal{H}(L) = \{ w \in \Sigma^* \mid ww \in L \}$$

例えば，$L_1 = \{aa, abc, abab, baab, cca\}$ ならば，$\mathcal{H}(L_1) = \{a, ab\}$ である．以下の問いに答えよ．

(1) $L_2$ を正規表現 $a(a+b)^*c(a+b)^*bc$ で表される言語とする．$\mathcal{H}(L_2)$ を正規表現として表せ．

(2) 以下の有限オートマトンによって受理される言語を $L_3$ とする．ただし，初期状態は $q_0$ であり，受理状態の集合は $\{q_1\}$ である．$\mathcal{H}(L_3)$ を受理する状態数最小の決定性有限オートマトンを構成せよ．

(3) 以下の命題 1 が真であるか否かを答え，真であればその証明を，そうでなければ簡単な説明とともに反例を示せ．

• 命題 1: $\Sigma$ 上のすべての正規言語 $L \subseteq \Sigma^*$ について，$\mathcal{H}(L)$ も正規言語である．

(4) 以下の命題 2 が真であるか否かを答え，真であればその証明を，そうでなければ簡単な説明とともに反例を示せ．

• 命題 2: $\Sigma$ 上のすべての文脈自由言語 $L \subseteq \Sigma^*$ について，$\mathcal{H}(L)$ も文脈自由言語である．

题目描述

令 $\Sigma=\{a,b,c\}$。对语言 $L\subseteq\Sigma^*$，定义其“平方根”语言

$$\mathcal H(L)=\{w\in\Sigma^*\mid ww\in L\}.$$

例如 $L_1=\{aa,abc,abab,baab,cca\}$ 时， $\mathcal H(L_1)=\{a,ab\}$。回答下列问题。

（1）语言 $L_2$ 由正则表达式

$$a(a+b)^*c(a+b)^*bc$$

表示。用正则表达式表示 $\mathcal H(L_2)$。

（2）$L_3$ 是题图有限自动机识别的语言，其中初始状态为 $q_0$，接受状态集为 $\{q_1\}$。构造识别 $\mathcal H(L_3)$ 的状态数最少的 DFA。

（3）判断命题 1 是否成立：对 $\Sigma$ 上每个正则语言 $L$，$\mathcal H(L)$ 也为正则语言。若成立则证明；否则给出反例并简要说明。

（4）判断命题 2 是否成立：对 $\Sigma$ 上每个上下文无关语言 $L$，$\mathcal H(L)$ 也为上下文无关语言。若成立则证明；否则给出反例并简要说明。

Kai

(1)

先把 $L_2$ 的形状写清楚：任意 $s\in L_2$ 都可写成

$$s = axcybc,\quad x,y\in\{a,b\}^*$$

因此 $s$ 中的字母 $c$ 恰好出现两次（中间一次、末尾一次）。

若 $ww\in L_2$，设 $w$ 中 $c$ 的个数为 $\#_c(w)$。则

$$\#_c(ww)=2\#_c(w)=2$$

所以 $\#_c(w)=1$。又因为 $ww$ 以 “$bc$” 结尾，所以第二个 $w$ 也以 “$bc$” 结尾，从而 $w$ 必须以 “$bc$” 结尾。结合 $\#_c(w)=1$，可知 $w$ 唯一的 $c$ 就是在末尾，于是

$$w \in \{a,b\}^*bc$$

另外 $ww\in L_2$ 还要求整个串以 $a$ 开头，所以 $w$ 也必须以 $a$ 开头。

再看 $L_2$ 中“中间那次 $c$”的位置：在 $ww$ 中第一处 $c$ 必然出现在第一个 $w$ 的末尾（因为 $w$ 唯一的 $c$ 在末尾），所以该 $c$ 正好落在两个 $w$ 的拼接边界处。于是第一个 $w$ 必须形如

$$w = axc$$

并且为了末尾是 $bc$，这里的 $x$ 必须以 $b$ 结尾，即 $x\in (a+b)^*b$。令 $x=u b$（其中 $u\in(a+b)^*$），则

$$w = aubc$$

反过来，任意 $w=aubc$（$u\in(a+b)^*$）都有

$$ww = a(ub)c(a u)bc \in a(a+b)^*c(a+b)^*bc = L_2$$

所以都属于 $\mathcal{H}(L_2)$。

因此

$$\mathcal{H}(L_2)=\{a(a+b)^*bc\}$$

用正则表达式表示为

$$\boxed{a(a+b)^*bc}$$

(2)

先总结原 DFA 的关键性质（从图直接读出）：

• 读到 $a$：无论在 $q_0$ 还是 $q_1$，都会到 $q_0$（相当于“重置到 $q_0$”）。
• 读到 $b$：无论在 $q_0$ 还是 $q_1$，都会到 $q_1$（“重置到 $q_1$”）。
• 读到 $c$：在 $q_0\leftrightarrow q_1$ 间切换（“翻转”）。

对任意串 $w$，令它在状态集合 $\{q_0,q_1\}$ 上诱导的状态变换为

$$f_w(q)=\hat\delta(q,w)$$

那么

$$ww\in L_3 \iff \hat\delta(q_0,ww)=q_1 \iff f_w(f_w(q_0))=q_1$$

注意：一旦 $w$ 中出现过 $a$ 或 $b$，最后一次出现的 $a/b$ 会把状态“重置”为常量（全映到 $q_0$ 或全映到 $q_1$），之后末尾若干个 $c$ 只会在这两个常量间来回翻转。因此：

• 若 $w$ 不含 $a,b$，即 $w=c^k$，则 $f_w$ 是“恒等”(k 偶)或“交换”(k 奇)，都满足 $f_w^2(q_0)=q_0$，所以不在 $\mathcal{H}(L_3)$。
• 若 $w$ 含有 $a$ 或 $b$，则 $f_w$ 必为常量变换：要么把两状态都送到 $q_0$，要么都送到 $q_1$。只有当 $f_w$ 是“常量 $q_1$”时，才有 $f_w(f_w(q_0))=q_1$。

所以

$$w\in\mathcal{H}(L_3)\iff \text{读完 }w\text{ 后，无论从 }q_0\text{ 还是 }q_1\text{ 出发都到 }q_1.$$

把它翻译成“末尾结构”的条件：设 $w$ 的最后一个属于 $\{a,b\}$ 的字母为 $s$，其后有 $t$ 个 $c$（即 $w=\cdots s c^t$ 且之后不再有 $a,b$）。

• 若 $s=b$，读到 $b$ 重置到 $q_1$，再读 $t$ 个 $c$ 翻转 $t$ 次；要最终在 $q_1$，需 $t$ 为偶数。
• 若 $s=a$，读到 $a$ 重置到 $q_0$，再读 $t$ 个 $c$；要最终在 $q_1$，需 $t$ 为奇数。

并且必须“出现过 $a$ 或 $b$”（排除纯 $c^k$）。

接下来构造最小 DFA。只需要记住三种情况：

• $S$：至今还没见过 $a$ 或 $b$（只读到若干个 $c$）。这是初态，非接受。
• $R$：已经见过 $a/b$，但当前处于“拒绝型”（对应“末尾情况不满足”）。
• $A$：已经见过 $a/b$，且当前处于“接受型”（对应“末尾情况满足”）。这是唯一接受态。

转移规则由上面的“重置/翻转”直接给出：

• 从 $S$： $c$ 仍在 $S$；读到 $a$ 进入拒绝型 $R$；读到 $b$ 进入接受型 $A$。
• 从 $R$： 读 $a$ 重置回 $R$；读 $b$ 重置到 $A$；读 $c$ 会翻转到 $A$。
• 从 $A$： 读 $a$ 重置到 $R$；读 $b$ 留在 $A$；读 $c$ 翻转到 $R$。

用转移表表示（字母表 $\{a,b,c\}$）：

状态	$a$	$b$	$c$
$S$（初态）	$R$	$A$	$S$
$R$	$R$	$A$	$A$
$A$（接受态）	$R$	$A$	$R$

这台 DFA 的接受态集合为 $\{A\}$。

最小性说明：三状态不可再合并。因为

• $\varepsilon$（停在 $S$）不被接受，但串 $b$（停在 $A$）被接受，故 $S\not\sim A$。
• 串 $a$（停在 $R$）不被接受，但 $ac$ 被接受，且 $\varepsilon c=c$ 不被接受，故 $S\not\sim R$。
• $R$ 与 $A$ 一个拒绝一个接受，显然可区分。

因此最少需要 3 个状态，上述构造即为最小 DFA。

(3) 结论：真

设 $L$ 是正则语言，被某个 DFA

$$M=(Q,\Sigma,\delta,q_0,F)$$

识别。对任意串 $w\in\Sigma^*$，定义它在状态集合上的“整体迁移函数”

$$\tau_w:Q\to Q,\qquad \tau_w(q)=\hat\delta(q,w)$$

那么

$$\begin{aligned} w\in \mathcal{H}(L) &\iff ww\in L\\ &\iff \hat\delta(q_0,ww)\in F\\ &\iff \hat\delta(\hat\delta(q_0,w),w)\in F\\ &\iff \tau_w(\tau_w(q_0))\in F \end{aligned}$$

关键点：$\tau_w$ 只是 $Q$ 到 $Q$ 的函数，而 $Q$ 有限，因此所有函数 $Q\to Q$ 的集合

$$T = Q^Q$$

是有限集合（大小为 $|Q|^{|Q|}$）。

据此构造一个新的 DFA $M'$ 来识别 $\mathcal{H}(L)$：

• 状态集合：$T$（所有函数 $Q\to Q$）。
• 初态：恒等函数 $\mathrm{id}_Q$（对应空串的迁移）。
• 读入一个字母 $x\in\Sigma$ 时的更新：令 $\tau_x(q)=\delta(q,x)$（单字母的迁移），则 $\delta'(\varphi,x)=\tau_x\circ \varphi$. 这样读完 $w$ 后，$\varphi$ 恰为 $\tau_w$。
• 接受态集合：$F'=\{\varphi\in T\mid \varphi(\varphi(q_0))\in F\}$.

于是对任意 $w$，$M'$ 读完 $w$ 后所在状态为 $\tau_w$，而接受条件正是 $\tau_w(\tau_w(q_0))\in F$，等价于 $ww\in L$。因此 $L(M')=\mathcal{H}(L)$。

由于 $M'$ 是有限自动机（状态数有限），$\mathcal{H}(L)$ 是正则语言。命题 1 成立。

(4) 结论：假

给出一个上下文无关语言 $L$，使得 $\mathcal H(L)$ 不是上下文无关语言。

取

$$L=L_1L_2, \qquad L_1=\{a^n b^n c^k\mid n,k\ge0\}, \qquad L_2=\{a^i b^m c^m\mid i,m\ge0\}.$$

也就是

$$L=\{a^n b^n c^k a^i b^m c^m\mid n,k,i,m\ge0\}.$$

说明 $L$ 是 CFL：

• $L_1$ 是 CFL，例如可由 $S_1\to UT,\ U\to aUb\mid\varepsilon,\ T\to cT\mid\varepsilon$ 生成；
• $L_2$ 也是 CFL，例如可由 $S_2\to AB,\ A\to aA\mid\varepsilon,\ B\to bBc\mid\varepsilon$ 生成。

CFL 对连接封闭，所以 $L=L_1L_2$ 是 CFL。

接下来证明 $\mathcal H(L)$ 不是 CFL。考虑正则语言

$$R=a^+b^+c^+.$$

若 $\mathcal H(L)$ 是 CFL，则由于 CFL 与正则语言的交仍为 CFL， $\mathcal H(L)\cap R$ 也应是 CFL。

计算 $\mathcal H(L)\cap R$。设 $w\in R$，则

$$w=a^p b^q c^r\qquad(p,q,r\ge1),$$

从而

$$ww=a^p b^q c^r a^p b^q c^r.$$

断言

$$ww\in L\iff p=q=r.$$

理由如下。

• 若 $ww\in L=L_1L_2$，则存在分割 $ww=xy$，使得 $x\in L_1\subseteq a^*b^*c^*$，$y\in L_2\subseteq a^*b^*c^*$。 串 $ww=a^pb^qc^ra^pb^qc^r$ 中，两个拷贝的交界处出现因子 $ca$。 因为 $x$ 不可能越过该因子，而 $y$ 若从该因子之前开始就会包含它， 分割点只能恰在两个 $w$ 之间。因此 $x=y=w$。 由 $x\in L_1$ 得 $p=q$，由 $y\in L_2$ 得 $q=r$，故 $p=q=r$。
• 反过来，若 $p=q=r$，则 $ww=(a^p b^p c^p)(a^p b^p c^p)$。前一项属于 $L_1$，后一项属于 $L_2$，所以 $ww\in L$。

因此，对于 $w\in R$，

$$\begin{aligned} w\in\mathcal H(L) &\iff ww\in L\\ &\iff p=q=r\\ &\iff w\in\{a^n b^n c^n\mid n\ge1\}. \end{aligned}$$

也就是说

$$\mathcal H(L)\cap R =\{a^n b^n c^n\mid n\ge1\}.$$

右侧是经典的非上下文无关语言，矛盾。因此 $\mathcal H(L)$ 不是 CFL， 命题 2 为假。