東京大学 情報理工学系研究科 コンピュータ科学専攻 2017年8月実施 専門科目II 問題6

标签：

• Tokyo-University
• Exponential-Distribution
• Order-Statistics
• Expectation-and-Variance

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

Consider the decomposition time of an RNA molecule. Assume that the probability density function of the decomposition time $T$ is

$$f_T(t)=\lambda e^{-\lambda t},\qquad t\ge0,$$

where $\lambda$ is a positive real constant.

Answer the following questions.

(1) Calculate the cumulative distribution function

$$F_T(t)=\int_0^t f_T(x)\,dx.$$

Also compute the median of $T$.

(2) We measured the decomposition times $T_i$ ($i=1,\ldots,n$) of $n$ RNA molecules. Assume that the decomposition time of each RNA molecule follows the probability density function $f_T(t)$ independently and identically. Calculate the expected value and the variance of

$$\mu_T=\frac{\sum_{i=1}^nT_i}{n}.$$

(3) Let $T_{\max}=\max\{T_1,\ldots,T_n\}$, which is the maximum of the measured times $T_i$ in question (2). Let $\operatorname{Prob}(T_{\max}>t)$ denote the probability that $T_{\max}>t$. Give an expression for $\operatorname{Prob}(T_{\max}>t)$ in terms of $F_T(t)$.

(4) Calculate the probability density function $f_{T_{\max}}(t)$ of $T_{\max}$, and the expected value of $T_{\max}$.

题目描述

RNA 分子的分解时间 $T$ 的概率密度为

$$f_T(t)=\lambda e^{-\lambda t},\qquad t\ge0,$$

其中 $\lambda>0$。

（1）求累积分布函数 $F_T(t)$ 及 $T$ 的中位数。

（2）独立同分布地测量 $n$ 个 RNA 分子的分解时间 $T_1,\ldots,T_n$。求样本均值 $\mu_T=\frac1n\sum_iT_i$ 的期望和方差。

（3）令 $T_{\max}=\max(T_1,\ldots,T_n)$。用 $F_T(t)$ 表示 $\Pr(T_{\max}>t)$。

（4）求 $T_{\max}$ 的概率密度和期望。

Kai

（1）

对 $t\ge0$，

$$F_T(t)=\int_0^t\lambda e^{-\lambda x}\,dx=1-e^{-\lambda t}.$$

当 $t<0$ 时，$F_T(t)=0$。

令 $F_T(m)=1/2$，得中位数

$$m=\frac{\ln 2}{\lambda}.$$

（2）

指数分布满足 $\mathbb E[T_i]=1/\lambda$、 $\operatorname{Var}(T_i)=1/\lambda^2$。由独立性，

$$\mathbb E[\mu_T]=\frac1\lambda, \qquad \operatorname{Var}(\mu_T)=\frac1{n\lambda^2}.$$

（3）

对 $t\ge0$，

$$\Pr(T_{\max}>t) =1-\Pr(T_1\le t,\ldots,T_n\le t) =1-[F_T(t)]^n.$$

（4）

由 $F_{T_{\max}}(t)=[F_T(t)]^n$，

$$f_{T_{\max}}(t) =n[F_T(t)]^{n-1}f_T(t) =n\lambda e^{-\lambda t}(1-e^{-\lambda t})^{n-1}, \qquad t\ge0.$$

再用尾积分公式，

$$\begin{aligned} \mathbb E[T_{\max}] &=\int_0^\infty\{1-(1-e^{-\lambda t})^n\}\,dt\\ &=\frac1\lambda\sum_{k=1}^n\frac1k. \end{aligned}$$