東京大学 情報理工学系研究科 コンピュータ科学専攻 2016年8月実施 専門科目II 問題6

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

考虑蛋白质 $Y$ 的生成与活化模型。

第一模型为

$$\frac{dY}{dt}=\beta-\alpha Y,$$

其中生成速率 $\beta$、降解率 $\alpha$ 为非负常数。

（1）求 $Y$ 的稳态浓度。

（2）设 $Y(0)=0$，求 $t\ge0$ 时的 $Y(t)$。

第二模型中，$m$ 种转录因子的浓度为 $X_1,\ldots,X_m$，并有

$$\frac{dY}{dt}=\prod_{j=1}^{m}X_j^{\gamma_j}-\alpha Y,$$

其中 $\alpha,\gamma_1,\ldots,\gamma_m$ 未知。

（3）在稳态下，用 $X_1,\ldots,X_m,\alpha,\gamma_1,\ldots,\gamma_m$ 表示 $\log Y$。

（4）做 $n$ 次稳态实验，第 $i$ 次观测为 $(Y_i,X_{i,1},\ldots,X_{i,m})$。给出能唯一确定所有参数的实验条件。

第三模型中，磷酸化的 $X_1,X_2$ 激活蛋白质 $Y$：

$$\frac{dY_p}{dt}=3X_{p,1}Y_0+2X_{p,2}Y_0-Y_p,$$

其中 $X_{p,1},X_{p,2}$ 为常量，且 $Y_0+Y_p=C$。

（5）求稳态下 $Y_p/C>0.5$ 时 $X_{p,1},X_{p,2}$ 应满足的条件。

Kai

(1)

令导数为 $0$。当 $\alpha>0$ 时，

$$\boxed{Y_{\rm ss}=\frac\beta\alpha}.$$

若 $\alpha=0,\beta>0$，则无有限稳态；若 $\alpha=\beta=0$，则任意非负常数浓度均为稳态。

(2)

解一阶线性方程并代入 $Y(0)=0$，得

$$\boxed{Y(t)=\frac\beta\alpha\left(1-e^{-\alpha t}\right)}\qquad(\alpha>0).$$

若 $\alpha=0$，则 $Y(t)=\beta t$。

(3)

稳态满足

$$Y=\frac1\alpha\prod_{j=1}^{m}X_j^{\gamma_j}.$$

在各 $X_j>0$、$\alpha>0$ 时取对数：

$$\boxed{\log Y=-\log\alpha+\sum_{j=1}^{m}\gamma_j\log X_j}.$$

(4)

令

$$\boldsymbol\theta=(-\log\alpha,\gamma_1,\ldots,\gamma_m)^{\mathsf T},$$

则实验给出线性方程

$$\log Y_i=(1,\log X_{i,1},\ldots,\log X_{i,m})\boldsymbol\theta.$$

因此须有 $n\ge m+1$，所有浓度均为正，并且设计矩阵

$$M=\begin{pmatrix} 1&\log X_{1,1}&\cdots&\log X_{1,m}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ 1&\log X_{n,1}&\cdots&\log X_{n,m} \end{pmatrix}$$

满足 $\operatorname{rank}M=m+1$。这正是唯一确定 $\boldsymbol\theta$，进而唯一确定 $\alpha,\gamma_1,\ldots,\gamma_m$ 的充要条件。

(5)

令 $k=3X_{p,1}+2X_{p,2}$。稳态时

$$0=k(C-Y_p)-Y_p,$$

所以

$$\frac{Y_p}{C}=\frac{k}{k+1}.$$

于是

$$\boxed{\frac{Y_p}{C}>\frac12\iff 3X_{p,1}+2X_{p,2}>1}.$$