東京大学 情報理工学系研究科 コンピュータ科学専攻 2015年8月実施 専門科目I 問題3

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• Tokyo-University
• Bayes-Theorem
• Recurrence-Relation

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

某基因有等位基因 $A,a$，个体基因型为 $AA,Aa,aa$ 之一；子代从父母各自的两条常染色体中等概率继承一条。

（1）父母基因型均为 $Aa$ 时，求子代为 $AA$ 的概率。

（2）已知父亲为 $Aa$、子代为 $aa$。母亲两条染色体上的等位基因相互独立地以概率 $2/3,1/3$ 取 $A,a$。求母亲最可能的基因型。

以下考虑足够大的随机交配种群。无世代重叠、迁移与突变，且同一对常染色体上的两个等位基因独立出现。第 $n$ 代出生后 $A,a$ 的频率分别为 $p_n,q_n$，其中 $p_n+q_n=1$，故 $AA,Aa,aa$ 的频率为 $p_n^2,2p_nq_n,q_n^2$。

（3）若 $AA,Aa,aa$ 存活至成年的概率（适合度）分别为 $1,1-s,1-2s$，用 $q_n,s$ 表示 $q_n-q_{n+1}$。

（4）若三种基因型适合度分别为 $1,1,0$，且 $q_0=1/100$，求使 $q_n\le1/10000$ 的最小 $n$。

Kai

(1)

父母各自传递 $A$ 的概率均为 $1/2$，故

$$\boxed{\Pr(AA)=\frac14}.$$

(2)

母亲的先验概率为

$$\Pr(AA)=\frac49,\qquad \Pr(Aa)=\frac49,\qquad \Pr(aa)=\frac19.$$

在父亲已知为 $Aa$ 时，观测到子代 $aa$ 的似然对母亲 $AA,Aa,aa$ 分别为 $0,1/4,1/2$。因而后验权重为

$$0:\frac19:\frac1{18}=0:2:1.$$

所以母亲最可能的基因型是 $\boxed{Aa}$（后验概率为 $2/3$）。

(3)

选择后的平均适合度为

$$\bar w=p_n^2+2p_nq_n(1-s)+q_n^2(1-2s)=1-2sq_n.$$

成年个体产生的配子中，等位基因 $a$ 的频率为

$$q_{n+1} =\frac{p_nq_n(1-s)+q_n^2(1-2s)}{\bar w} =\frac{q_n(1-s-sq_n)}{1-2sq_n}.$$

因此

$$\boxed{q_n-q_{n+1}=\frac{s q_n(1-q_n)}{1-2s q_n}}.$$

(4)

只有 $AA,Aa$ 能繁殖，故

$$q_{n+1}=\frac{p_nq_n}{p_n^2+2p_nq_n} =\frac{q_n}{1+q_n}.$$

于是

$$\frac1{q_{n+1}}=\frac1{q_n}+1,\qquad q_n=\frac1{100+n}.$$

$q_n\le1/10000$ 等价于 $100+n\ge10000$，故最小值为

$$\boxed{n=9900}.$$