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東京大学 情報理工学系研究科 創造情報学専攻 2026年2月実施 筆記試験 第1問

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Author​

itsuitsuki

Description​

Memorized version (English)​

Consider an 8-bit binary number (e.g., 0b10110111, where underscores _ can be freely added as separators without affecting the meaning).

  • [7:4] (Bits 7, 6, 5, 4): represent the exponent E.
  • [3:0] (Bits 3, 2, 1, 0): represent the mantissa M.

The floating-point value represented by this binary number is calculated using the formula: Value=(1+M16)×2(E−7)\text{Value} = \left(1 + \frac{M}{16}\right) \times 2^{(E-7)} This is called EM notation.

Answer the following questions.

(1) How is 1.0 represented in EM notation?

(2) What is the decimal value of the binary number 0b1000_1000?

(3) What are the decimal values of the largest and the second largest numbers that can be represented?

We define functions as follows:

  • R(x)R(x): Input a decimal number xx; output the largest decimal number strictly less than xx that can be exactly represented in EM notation.
  • F(y)F(y): Input a binary EM representation yy; output the corresponding decimal value.
  • I(z)I(z): Input a decimal number zz; output the EM representation (binary) of the largest number strictly less than zz that can be exactly represented in EM notation.

(4) Prove: For two binary numbers X1X_1 and X2X_2, if X1>X2X_1 > X_2, then F(X1)>F(X2)F(X_1) > F(X_2).

(5) Prove: Among all numbers representable in EM notation, no two numbers have the same EM representation (i.e., the mapping is unique).

(6) Calculate the value of R(1.1)+R(1.1)R(1.1) + R(1.1).

(7) Calculate the value of R(F(0b0111_1000)+F(0b0001_1000))R( F(\text{0b0111\_1000}) + F(\text{0b0001\_1000}) ).

(8) Let ee and hh be numbers that can be exactly represented in EM notation, with e≤15e \le 15. Let L(e)L(e) be the integer part of the decimal value of ee. Find a value for hh (provide the decimal value) such that the lower 4 bits (the Mantissa part, [3:0][3:0]) of I(e+h)I(e+h) correspond to the value L(e)L(e) for every ee.

题目描述​

本页原文标为“英文回忆版”。考虑 8 位二进制数（如 0b10110111，可任意加入下划线作分隔，不影响数值）：高 4 位 [7:4] 表示指数 (E)，低 4 位 [3:0] 表示尾数 (M)。其浮点值定义为 [ \left(1+\frac M{16}\right)2^{E-7}, ] 称为 EM 表示。

  1. 数值 1.0 的 EM 二进制表示是什么？
  2. 0b1000_1000 的十进制值是多少？
  3. 可表示的最大数与第二大数分别是多少？

定义：

  • (R(x))：对十进制数 (x)，返回严格小于 (x) 的、可被 EM 精确表示的最大十进制数；
  • (F(y))：把 EM 二进制表示 (y) 转成对应十进制值；
  • (I(z))：对十进制数 (z)，返回严格小于 (z) 的最大可精确表示数之 EM 二进制表示。
  1. 证明对两个 8 位二进制编码 (X_1>X_2)，有 (F(X_1)>F(X_2))。
  2. 证明 EM 表示具有唯一性，即不会有两个数对应同一个 EM 表示。
  3. 计算 (R(1.1)+R(1.1))。
  4. 计算 [ R!\left(F(\texttt{0b0111_1000})+F(\texttt{0b0001_1000})\right). ]
  5. (e,h) 均可由 EM 精确表示，且 (e\le15)。令 (L(e)) 为 (e) 十进制值的整数部分。求一个 (h)（给十进制值），使对每个这样的 (e)，(I(e+h)) 的低 4 位尾数字段 [3:0] 所表示的值都等于 (L(e))。

考点​

  • 自定义浮点数编码：由 4 位指数、4 位尾数和偏置 7 完成编码、解码及极值计算。
  • 编码单调性与唯一性：分析跨指数边界时相邻编码的数值顺序，证明二进制编码与表示值的关系。
  • 向下舍入到可表示数：按“严格小于”规则计算 (R,I)，处理精度间隔与尾数字段构造。
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