東京大学 情報理工学系研究科 創造情報学専攻 2007年8月実施 筆記試験 第3問

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Author

itsuitsuki

Description

Consider a method to find equations of two straight boundary lines of the two-colored regions like Fig. 1. Suppose the points in Fig. 2 are derived through processing the image of Fig. 1 and answer the following questions.

(1) The line $L_0$ that passes the point $(x_0, y_0)$ as in Fig. 3 is described as $y=a_0x+b_0.$ The point $P_0(a_0, b_0)$ of the $a$-$b$ parameter coordinates (Fig. 4) shows the line $L_0$. Explain what the parameters of $a_0, b_0$ mean in the $x$-$y$ coordinates.

(2) Rotate the line $L_0$ in Fig. 3 at the point $(x_0, y_0)$. Illustrate the trajectory of the point $P_0$ in the $a$-$b$ coordinates.

(3) Consider the three points $(x_i, y_i), 1 \le i \le 3$ on a line as in Fig. 5. Let $L_i$ be a line that passes $(x_i, y_i), 1 \le i \le 3$. Rotate each line $L_i$ at $(x_i, y_i)$. Illustrate the corresponding trajectories of the point $P_i$ in the $a$-$b$ coordinates.

(4) Considering the methods described above, explain how to get the equations of the two straight boundary lines from the points of Fig. 2.

题目描述

考虑如何求出图 1 所示双色区域的两条直线边界方程。假设已通过图像处理得到图 2 中的一组点，回答下列问题；各图沿用原文图片。

1. 如图 3，经过 $(x_0,y_0)$ 的直线 $L_0$ 写成

   $$y=a_0x+b_0.$$

   参数空间 $a$-$b$ 中的点 $P_0(a_0,b_0)$ 表示该直线。说明参数 $a_0,b_0$ 在原 $x$-$y$ 坐标系中的含义。

2. 让直线 $L_0$ 绕固定点 $(x_0,y_0)$ 旋转，在 $a$-$b$ 参数空间中画出对应点 $P_0$ 的轨迹。

3. 如图 5，三点 $(x_i,y_i)$（$1\le i\le3$）位于同一直线上。令 $L_i$ 为经过 $(x_i,y_i)$ 的直线，并让每条 $L_i$ 绕各自固定点旋转；在参数空间中画出相应点 $P_i$ 的轨迹。

4. 根据上述方法，说明如何由图 2 的点求出两条直线边界的方程。