東京大学 情報理工学系研究科 創造情報学専攻 2006年8月実施 筆記試験 第3問

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• Forward-and-Inverse-Kinematics-of-Serial-Manipulator
• Manipulator-Jacobian-and-End-Effector-Velocity
• Jacobian-Transpose-Joint-Torque

Author

itsuitsuki

Description

日本語

図 $1$ に示すように，$3$ 点 $\mathrm{O, S, E}$ のそれぞれに回転軸をもつ $3$ 関節アームがある．点 $\mathrm{O}$ の関節は図の $XYZ$ 座標軸の $Z$ 軸回りに回転する．点 $\mathrm{S, E}$ のそれぞれの関節は，面 $\mathrm{OSEW}$ に垂直な軸方向に回転する．$\overline{\mathrm{OS}}=l_0, \overline{\mathrm{SE}}=l_1, \overline{\mathrm{EW}}=l_2$ として，以下の問いに答えよ．

(1) 点 $\mathrm{W}$ の座標を $\vec{W}(w_x, w_y, w_z)$ とし，$3$ つの関節 $\mathrm{O, S, E}$ の軸回りの回転角ベクトルを $\vec{\theta}(\theta_0, \theta_1, \theta_2)$ として順運動学計算式 $\vec{W}=f(\vec{\theta})$ を求めよ．

(2) 点 $\mathrm{W}$ の速度 $\vec{V}(\dot{w}_x, \dot{w}_y, \dot{w}_z)$ を $3$ つの関節 $\mathrm{O, S, E}$ の軸回りの角速度ベクトル $\vec{\Omega}(\dot{\theta}_0, \dot{\theta}_1, \dot{\theta}_2)$ で表せ．

(3) 逆運動学計算式 $\vec{\theta}=f^{-1}(\vec{W})$ を求めよ．

(4) アームの先端 $\mathrm{W}$ に，力 $\vec{F}(F_x, F_y, F_z)$ が加わる場合に，アームの姿勢を保持するために，$3$ つの関節 $\mathrm{O, S, E}$ の各軸回りに必要な関節トルク $\vec{\tau}(\tau_0, \tau_1, \tau_2)$ を求めよ．

図1

English

Figure 1 shows an arm which has three joints at O, S and E. The axis of the joint O rotates around $Z$ axis of $XYZ$ coordinates. The axes of joints S and E are vertical to the plane OSEW. Let $\overline{OS}=l_0, \overline{SE}=l_1, \overline{EW}=l_2$. Answer the following questions.

(1) Show the equation of the forward kinematics of the arm $\vec{W}=f(\vec{\theta})$, where $\vec{W}(w_x,w_y,w_z)$ is the position vector of W and $\vec{\theta}(\theta_0,\theta_1,\theta_2)$ is the vector of the rotation angles around the joints O, S and E.

(2) Describe the velocity $\vec{V}(\dot{w}_x,\dot{w}_y,\dot{w}_z)$ of the point W by the angular velocity $\vec{\Omega}(\dot{\theta}_0,\dot{\theta}_1,\dot{\theta}_2)$ of the three joints O, S and E.

(3) Show the equation of the inverse kinematics of the arm $\vec{\theta}=f^{-1}(\vec{W})$.

(4) Assume a force $\vec{F}(F_x,F_y,F_z)$ is applied to the point W. Show the joint torque $\vec{\tau}(\tau_0,\tau_1,\tau_2)$ around the three joints O, S and E in order to keep the posture of the arm.

Figure 1

题目描述

如图 1，有一条在 $O,S,E$ 三点各设转轴的三关节机械臂。关节 $O$ 绕图示 $XYZ$ 坐标系的 $Z$ 轴旋转；关节 $S,E$ 的转轴均垂直于平面 $OSEW$。已知

$$\overline{OS}=l_0,\qquad \overline{SE}=l_1,\qquad \overline{EW}=l_2.$$

回答下列问题。

1. 令末端点 $W$ 的位置向量为 $\vec W=(w_x,w_y,w_z)$，三个关节 $O,S,E$ 的转角向量为 $\vec\theta=(\theta_0,\theta_1,\theta_2)$。求机械臂的正运动学公式 $\vec W=f(\vec\theta)$。
2. 用三个关节的角速度向量 $\vec\Omega=(\dot\theta_0,\dot\theta_1,\dot\theta_2)$ 表示点 $W$ 的速度 $\vec V=(\dot w_x,\dot w_y,\dot w_z)$。
3. 求逆运动学公式 $\vec\theta=f^{-1}(\vec W)$。
4. 若末端 $W$ 受到力 $\vec F=(F_x,F_y,F_z)$，求为了保持机械臂当前姿态，三个关节轴所需施加的关节力矩 $\vec\tau=(\tau_0,\tau_1,\tau_2)$。

题目所用机械臂几何结构沿用原文图 1。