東京大学 学際情報学府 学際情報学専攻 生物統計情報学コース 2025年8月実施 専門科目 第1問

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

題意の要約

次の15問について正しい選択肢を一つ選ぶ。

1. 次の学生10名の小テストの得点（点）について、平均・中央値・最頻値を求める。

   $$\begin{array}{ccccc}\hline 9&1&10&5&2\\ \hline 7&3&8&4&8\\ \hline \end{array}$$

2. 最低点・最高点・平均値・標準偏差・受験者数から計算できる指標を選ぶ。

3. 独立な標本 $x_1,\ldots,x_n$ から平均の標準誤差を求める式を選ぶ。

4. 次の確率分布を持つ $X$ の分散 $V(X)$ を求める。

   	$x=1$	$x=2$	$x=3$
   $\Pr(X=x)$	$p$	$q$	$1-p-q$

5. $\exp(1-x^3)$ を微分する。

6. $f_X(x)=\frac59(x^3-1)$（$-3\le x\le3$）、$Y=X/3$ として、変数変換後の式を選ぶ。

7. 赤玉は数字1が2個、2が3個、3が1個、白玉は数字1が1個、2が0個、3が3個ある。各確率記述の正誤を判定する。

8. 独立な $X,Y$ が $E[X]=\mu$, $V(X)=\sigma^2$, $E[Y]=3\mu$, $V(Y)=2\sigma^2$ を満たすとき、$X-2Y$ の期待値と分散を求める。

9. 1から10の番号を持つ10個の球を5個ずつ2群に分ける。群Aの最大番号が8以上となる分け方を数える。

10. $\sigma_X=6$, $\sigma_Y=7$, $\rho=0.5$ から共分散を求める。

11. $T\sim N(1.96,1)$ と近似できるとき、$T$ から作る両側95%信頼区間の下限が0を上回る確率を求める。

12. 次の前向き観察研究の表から、曝露なしに対する曝露ありの疾患のオッズ比を求める。

    	曝露あり	曝露なし	合計
    疾患あり	45人	15人	60人
    疾患なし	3,850人	2,310人	6,160人
    合計	3,895人	2,325人	6,220人

13. 2群の割合差が0より大きいかを片側有意水準 $\alpha$ で検定するときの検出力関数を選ぶ。

14. 密度 $f(t)=\lambda\gamma(\lambda t)^{\gamma-1}e^{-(\lambda t)^\gamma}$ のワイブル分布について $\Pr(T>t)$ を求める。

15. 2群ランダム化試験の必要標本数計算で、ある設定値を半分にすると必要人数が4倍になった。その設定値を選ぶ。

题目描述

本题含15道单选题，依次考查：均值、中位数和众数；由汇总统计量可计算的变异系数；样本均值的标准误；三点分布的方差；指数复合函数求导；随机变量缩放后的密度；离散条件概率；独立随机变量线性组合的矩；组合计数；协方差；正态分布下置信区间下限为正的概率；队列研究的比值比；两样本比例差检验的功效；Weibull 生存函数；效应量与样本量的平方反比关系。

Kai

(1-1)

昇順に並べると $1,2,3,4,5,7,8,8,9,10$ であり、

$$\bar x=5.7,\qquad \operatorname{median}(x)=6,\qquad \operatorname{mode}(x)=8.$$

$$\boxed{\text{ウ}}$$

(1-2)

平均値と標準偏差から

$$\mathrm{CV}=\frac{\text{標準偏差}}{\text{平均値}}$$

を計算できる。

$$\boxed{\text{ウ}.\ \text{変動係数}}$$

(1-3)

標本標準偏差を

$$s=\sqrt{\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2}$$

とすると、平均の標準誤差は $s/\sqrt n$ である。

$$\boxed{\text{エ}}$$

(1-4)

$$E[X]=3-2p-q,\qquad E[X^2]=9-8p-5q.$$

したがって、

$$V(X)=-4p^2-q^2-4pq+4p+q.$$

$$\boxed{\text{イ}}$$

(1-5)

$$\frac{d}{dx}e^{1-x^3}=-3x^2e^{1-x^3}.$$

$$\boxed{\text{オ}}$$

(1-6)

$x=3y$、$|dx/dy|=3$ より、

$$f_Y(y)=3f_X(3y)=45y^3-\frac53,\qquad -1\le y\le1,$$

となり、形式的な変数代換に対応する選択肢は $\boxed{\text{オ}}$ である。

ただし、公式 PDF p.4 に印刷された $f_X$ 自体に問題がある。$f_X(0)=-5/9<0$ で、

$$\int_{-3}^{3}\frac59(x^3-1)\,dx=-\frac{10}{3}\ne1.$$

したがってこれは確率密度ではなく、変換後の式も確率密度にはならない。

(1-7)

数字3の玉は4個、そのうち白玉は3個なので、

$$\Pr(\text{白}\mid\text{数字3})=\frac34.$$

$$\boxed{\text{ウ}}$$

(1-8)

$$E[X-2Y]=\mu-6\mu=-5\mu,\qquad V(X-2Y)=\sigma^2+4\cdot2\sigma^2=9\sigma^2.$$

$$\boxed{\text{イ}}$$

(1-9)

全分け方から群Aが $\{1,\ldots,7\}$ のみで構成される場合を除く。

$$\binom{10}{5}-\binom75=252-21=231.$$

$$\boxed{\text{ウ}}$$

(1-10)

$$\operatorname{Cov}(X,Y)=\rho\sigma_X\sigma_Y =0.5\cdot6\cdot7=21.$$

$$\boxed{\text{イ}}$$

(1-11)

信頼区間の下限は $T-1.96$ である。よって、

$$\Pr(T-1.96>0)=\Pr(T>E[T])=\frac12.$$

$$\boxed{\text{ウ}.\ 50\%}$$

(1-12)

$$\mathrm{OR}=\frac{45/3850}{15/2310} =\frac95=1.8.$$

$$\boxed{\text{エ}.\ 1.8}$$

(1-13)

$$\delta=\frac{p_1-p_2} {\sqrt{p_1(1-p_1)/n_1+p_2(1-p_2)/n_2}}$$

とおき、$z_\alpha=\Phi^{-1}(1-\alpha)$ とする。ここでは標本比率差に正規近似を用い、その分散で標準化する近似の下で、

$$\operatorname{power}(p_1,p_2) \simeq1-\Phi(z_\alpha-\delta).$$

$$\boxed{\text{エ}}$$

(1-14)

$$\Pr(T>t)=\exp\left[-(\lambda t)^\gamma\right].$$

$$\boxed{\text{エ}}$$

(1-15)

必要標本数は期待する群間差 $\Delta$ に対して $n\propto\Delta^{-2}$ である。したがって $\Delta$ を半分にすると $n$ は4倍になる。

$$\boxed{\text{ウ}.\ \text{期待する群間差}}$$

Reference

• 東京大学大学院 情報学環・学際情報学府 修士課程 過去の入学試験問題
• 2026年度 専門科目（生物統計情報学コース）公式問題 PDF