東京大学 学際情報学府 学際情報学専攻 生物統計情報学コース 2025年8月実施 専門科目 第1問

标签：

• 东京大学
• 均值、中位数与四分位数
• 样本均值的标准误
• 期望与方差
• 随机变量变换
• 条件概率
• 协方差
• 组合概率
• 正态分布的标准化与尾概率
• 威布尔分布
• 优势比与置信区间
• 统计功效
• 达到目标功效所需的样本量

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

以下の問い(1-1)〜(1-15)に答えよ。解答用紙には問いの番号と解答のみを，問いの番号の順序に従って記載せよ。

(1-1)

あるクラスの学生10名に小テストを行った結果，以下の得点のデータが得られた。このデータに関する記述として，次のア〜オのうちから正しいものを一つ選べ。

$$\begin{array}{ccccc}\hline 9&1&10&5&2\\\hline 7&3&8&4&8\\\hline \end{array}$$

• ア. 平均値は5.7点，中央値は6点，モードは10点である。

• イ. 平均値は5.4点，中央値は5点，モードは10点である。

• ウ. 平均値は5.7点，中央値は6点，モードは8点である。

• エ. 平均値は6点，中央値は5点，モードは8点である。

• オ. 平均値は5.7点，中央値は5点，モードは10点である。

(1-2)

あるテストを受験した集団の得点データを分析した結果が公表されており，最低点，最高点，平均点，標準偏差，受験者数の情報が得られている。これらの情報から計算できる指標として，次のア〜オのうちから正しいものを一つ選べ。

• ア. 中央値

• イ. 四分位範囲

• ウ. 変動係数

• エ. 95パーセンタイル

• オ. 偏差値

(1-3)

$n$ 人の独立なデータ $x_i\ (i=1,2,\ldots,n)$ が得られたとする。平均の標準誤差を計算する式として，次のア〜オのうちから適切なものを一つ選べ。

ア.

$$\sqrt{\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n\left[x_i-\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}\right]^2}$$

イ.

$$\frac{\sqrt{\sum_{i=1}^n\left[x_i-\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}\right]^2}}{n-1}$$

ウ.

$$\frac{\sqrt{\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n\left[x_i-\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}\right]^2}}{n}$$

エ.

$$\frac{\sqrt{\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n\left[x_i-\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}\right]^2}}{\sqrt n}$$

オ.

$$\frac{\sqrt{\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n\left[x_i-\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}\right]^2}}{\sqrt{n-1}}$$

(1-4)

ある確率変数 $X$ の確率分布が以下で与えられるとき，$X$ の分散はいくらか。次のア〜オのうちから正しいものを一つ選べ。

	$x=1$	$x=2$	$x=3$
$\Pr(X=x)$	$p$	$q$	$1-p-q$

• ア. $pq(1-p-q)$

• イ. $-4p^2-q^2-4pq+4p+q$

• ウ. $-p^2-4q^2-4pq+p+4q$

• エ. $6pq(1-p-q)$

• オ. $-4p^2-q^2-4pq+12p+6q-9$

(1-5)

ある変数 $x$ の関数 $\exp(1-x^3),\ -\infty<x<\infty$ の $x$ に関する1階微分として，次のア〜オのうちから正しいものを一つ選べ。

• ア. $\log(1-x^3)$

• イ. $\exp(1-x^3)$

• ウ. $\dfrac1{\exp(1-x^3)}$

• エ. $\dfrac{-3x^2}{\exp(1-x^3)}$

• オ. $-3x^2\exp(1-x^3)$

(1-6)

ある連続型確率変数 $X$ の確率密度関数が $f(x)=\frac59(x^3-1),\ -3\le x\le3$ で与えられている。$Y=\frac13X$ により得られる連続型確率変数 $Y$ の確率密度関数として，次のア〜オのうちから適切なものを一つ選べ。

ア.

$$f(y)=\frac59(y^3-1),\quad -3\le y\le3$$

イ.

$$f(y)=\frac59(y^3-1),\quad -1\le y\le1$$

ウ.

$$f(y)=\frac59\left(\frac1{27}y^3-1\right),\quad -3\le y\le3$$

エ.

$$f(y)=15y^3-\frac59,\quad -1\le y\le1$$

オ.

$$f(y)=45y^3-\frac53,\quad -1\le y\le1$$

(1-7)

ある壺の中に同じ大きさ・手触りで番号の書かれた赤玉と白玉を入れた。赤玉には1が2個，2が3個，3が1個あり，白玉には1が1個，2が0個，3が3個あるものとする。この壺の中から玉を1個取り出すときの確率として，次のア〜オのうちから正しいものを一つ選べ。

• ア. 取り出した玉の番号が1である周辺確率は，$\frac13$ である

• イ. 取り出した玉の色が白色である周辺確率は，$\frac13$ である

• ウ. 取り出した玉の番号が3である条件の下でそれが白玉である条件付き確率は，$\frac34$ である

• エ. 取り出した玉の色が赤色である条件の下でその番号が2以下である条件付き確率は，$\frac12$ である

• オ. 取り出した玉の番号が2以上でありかつ赤玉である同時確率は，$\frac47$ である

(1-8)

ある確率変数 $X$ は期待値 $\mu$，分散 $\sigma^2$ をもち，ある確率変数 $Y$ は期待値 $3\mu$，分散 $2\sigma^2$ をもつ。$X$ と $Y$ が独立のとき，$X-2Y$ の期待値 $E(X-2Y)$ と $X-2Y$ の分散 $V(X-2Y)$ はそれぞれいくらか。次のア〜オのうちから正しいものを一つ選べ。

• ア. $E(X-2Y)=-2\mu,\quad V(X-2Y)=3\sigma^2$

• イ. $E(X-2Y)=-5\mu,\quad V(X-2Y)=9\sigma^2$

• ウ. $E(X-2Y)=5\mu,\quad V(X-2Y)=5\sigma^2$

• エ. $E(X-2Y)=-5\mu,\quad V(X-2Y)=-3\sigma^2$

• オ. $E(X-2Y)=-\mu,\quad V(X-2Y)=-3\sigma^2$

(1-9)

1番から10番までの番号が1つずつかかれた10個のボールがあるとき，ボールをグループAとグループBに5個ずつにランダムに分ける。グループAの番号の最大値が8以上となるボールの分け方は全部で何通りあるか。次のア〜オのうちから正しいものを一つ選べ。

• ア. 105

• イ. 196

• ウ. 231

• エ. 252

• オ. 35

(1-10)

ある連続型確率変数 $X$ と $Y$ の標準偏差がそれぞれ6，7，相関係数が0.5で与えられるとき，$X$ と $Y$ の共分散はいくらか。次のア〜オのうちから正しいものを一つ選べ。

• ア. 42

• イ. 21

• ウ. 1764

• エ. 882

• オ. 441

(1-11)

ある確率変数 $T$ は大きなサンプルサイズの集団のデータから求めた統計量であり，近似的に正規分布に従うものとする。$T$ の期待値は $E(T)=1.96$，$T$ の標準誤差は $SE(T)=1$ であると仮定したとき，標準誤差は既知としてデータから求めた両側95%信頼区間の下限が0を上回る確率はいくらか。次のア〜オのうちから正しいものを一つ選べ。

• ア. 5%

• イ. 25%

• ウ. 50%

• エ. 75%

• オ. 95%

(1-12)

ある前向き観察研究によって疾患の発生と曝露の関係を調べたところ，以下のようなデータが得られた。曝露なしに対する曝露ありの，疾患のオッズ比はいくらか。次のア〜オのうちから最も近いものを一つ選べ。

	曝露あり	曝露なし	合計
疾患あり	45人	15人	60人
疾患なし	3,850人	2,310人	6,160人
合計	3,895人	2,325人	6,220人

• ア. 6.0

• イ. 4.5

• ウ. 3.0

• エ. 1.8

• オ. 1.0

(1-13)

2群のイベント発生割合の期待値を $p_1,p_2$ とし，実施可能な各群のサンプルサイズが $n_1,n_2$ で与えられているとする。標準正規分布の上側 $100\alpha\%$ 点を $z_\alpha$，標準正規分布の分布関数を $\Phi(\cdot)$ とすると，2群の割合の差が0より大きいかどうかを有意水準片側 $\alpha$ で検定する際の検出力は $p_1,p_2$ の関数とみることができる。この関数を検出力関数 $power(p_1,p_2)$ としたとき，$power(p_1,p_2)$ はどのように表せるか。次のア〜オのうちから適切なものを一つ選べ。

ア.

$$\begin{aligned}\operatorname{power}(p_1,p_2)\\={}&\Phi\left[\frac{p_1-p_2}{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}-z_\alpha\right]\end{aligned}$$

イ.

$$\begin{aligned}\operatorname{power}(p_1,p_2)\\={}&1-\Phi\left[z_\alpha-\frac{(p_1-p_2)^2}{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}\right]\end{aligned}$$

ウ.

$$\begin{aligned}\operatorname{power}(p_1,p_2)\\={}&\Phi\left[z_\alpha-\frac{p_1-p_2}{\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}}\right]\end{aligned}$$

エ.

$$\begin{aligned}\operatorname{power}(p_1,p_2)\\={}&1-\Phi\left[z_\alpha-\frac{p_1-p_2}{\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}}\right]\end{aligned}$$

オ.

$$\begin{aligned}\operatorname{power}(p_1,p_2)\\={}&1-\Phi\left[\frac{p_1-p_2}{\left(\frac1{n_1}+\frac1{n_2}\right)\{p_1(1-p_1)+p_2(1-p_2)\}}-z_\alpha\right]\end{aligned}$$

(1-14)

ワイブル分布に従う生存時間 $T$ の確率密度関数 $f(t)$ が次で与えられているとする。

$$f(t)=\lambda\gamma(\lambda t)^{\gamma-1}\exp[-(\lambda t)^\gamma]$$

$\Pr(T>t)$ を計算するとどのような式で表されるか。次のア〜オのうちから正しいものを一つ選べ。

• ア. $1-\exp[-(\lambda t)^{\gamma-1}]$

• イ. $\lambda\gamma\exp[-(\lambda t)^{\gamma-1}]$

• ウ. $\exp[-(\lambda t)^{\gamma-1}]$

• エ. $\exp[-(\lambda t)^\gamma]$

• オ. $\lambda\lambda^2\gamma(\gamma-1)(\lambda t)^{\gamma-2}\exp[-(\lambda t)^\gamma]$

(1-15)

ある疾患の症状スコアのベースラインからの変化量に対し，新規治療とプラセボの有効性を比較するランダム化臨床試験を計画する。新規治療の有効性を検証するために必要な被験者数を計算する際に，ある数値の設定値を0.5倍に変化させると必要な被験者数が4倍に増加した。ある数値として適切なものを次のア〜オのうちから一つ選べ。

• ア. 第一種の過誤確率

• イ. 第二種の過誤確率

• ウ. 期待する群間差

• エ. 症状スコアのベースラインからの変化量の標準偏差

• オ. 割付比

题目描述

回答以下(1-1)至(1-15)。答题纸上只须按题号顺序写出题号和答案。

(1-1)

对某班10名学生进行小测验，得到如下得分数据。从下列ア〜オ中选择关于这些数据的正确叙述。

$$\begin{array}{ccccc}\hline 9&1&10&5&2\\\hline 7&3&8&4&8\\\hline \end{array}$$

• ア. 均值为5.7分，中位数为6分，众数为10分。

• イ. 均值为5.4分，中位数为5分，众数为10分。

• ウ. 均值为5.7分，中位数为6分，众数为8分。

• エ. 均值为6分，中位数为5分，众数为8分。

• オ. 均值为5.7分，中位数为5分，众数为10分。

(1-2)

某次考试的群体得分分析结果已经公布，可以得知最低分、最高分、平均分、标准差和考生人数。从下列ア〜オ中选择能根据这些信息计算的指标。

• ア. 中位数

• イ. 四分位距

• ウ. 变异系数

• エ. 第95百分位数

• オ. 偏差值

(1-3)

假设获得了 $n$ 人相互独立的数据 $x_i\ (i=1,2,\ldots,n)$。从下列ア〜オ中选择计算均值标准误的适当公式。

ア.

$$\sqrt{\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n\left[x_i-\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}\right]^2}$$

イ.

$$\frac{\sqrt{\sum_{i=1}^n\left[x_i-\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}\right]^2}}{n-1}$$

ウ.

$$\frac{\sqrt{\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n\left[x_i-\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}\right]^2}}{n}$$

エ.

$$\frac{\sqrt{\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n\left[x_i-\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}\right]^2}}{\sqrt n}$$

オ.

$$\frac{\sqrt{\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n\left[x_i-\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}\right]^2}}{\sqrt{n-1}}$$

(1-4)

随机变量 $X$ 的概率分布如下。$X$ 的方差是多少？从下列ア〜オ中选择正确的一项。

	$x=1$	$x=2$	$x=3$
$\Pr(X=x)$	$p$	$q$	$1-p-q$

• ア. $pq(1-p-q)$

• イ. $-4p^2-q^2-4pq+4p+q$

• ウ. $-p^2-4q^2-4pq+p+4q$

• エ. $6pq(1-p-q)$

• オ. $-4p^2-q^2-4pq+12p+6q-9$

(1-5)

对于变量 $x$ 的函数 $\exp(1-x^3),\ -\infty<x<\infty$，从下列ア〜オ中选择其关于 $x$ 的一阶导数。

• ア. $\log(1-x^3)$

• イ. $\exp(1-x^3)$

• ウ. $\dfrac1{\exp(1-x^3)}$

• エ. $\dfrac{-3x^2}{\exp(1-x^3)}$

• オ. $-3x^2\exp(1-x^3)$

(1-6)

连续型随机变量 $X$ 的概率密度函数给定为 $f(x)=\frac59(x^3-1),\ -3\le x\le3$。令 $Y=\frac13X$，从下列ア〜オ中选择所得连续型随机变量 $Y$ 的适当概率密度函数。

ア.

$$f(y)=\frac59(y^3-1),\quad -3\le y\le3$$

イ.

$$f(y)=\frac59(y^3-1),\quad -1\le y\le1$$

ウ.

$$f(y)=\frac59\left(\frac1{27}y^3-1\right),\quad -3\le y\le3$$

エ.

$$f(y)=15y^3-\frac59,\quad -1\le y\le1$$

オ.

$$f(y)=45y^3-\frac53,\quad -1\le y\le1$$

(1-7)

某壶中放入了大小、手感相同且写有编号的红球和白球。红球中编号1有2个、编号2有3个、编号3有1个；白球中编号1有1个、编号2有0个、编号3有3个。从壶中取出1个球，从下列ア〜オ中选择关于概率的正确叙述。

• ア. 取出的球编号为1的边缘概率为 $\frac13$。

• イ. 取出的球为白色的边缘概率为 $\frac13$。

• ウ. 已知取出的球编号为3，该球为白球的条件概率为 $\frac34$。

• エ. 已知取出的球为红色，其编号不超过2的条件概率为 $\frac12$。

• オ. 取出的球编号至少为2且为红球的联合概率为 $\frac47$。

(1-8)

随机变量 $X$ 的期望为 $\mu$、方差为 $\sigma^2$，随机变量 $Y$ 的期望为 $3\mu$、方差为 $2\sigma^2$。若 $X$ 与 $Y$ 独立，$X-2Y$ 的期望 $E(X-2Y)$ 和方差 $V(X-2Y)$ 各是多少？从下列ア〜オ中选择正确的一项。

• ア. $E(X-2Y)=-2\mu,\quad V(X-2Y)=3\sigma^2$

• イ. $E(X-2Y)=-5\mu,\quad V(X-2Y)=9\sigma^2$

• ウ. $E(X-2Y)=5\mu,\quad V(X-2Y)=5\sigma^2$

• エ. $E(X-2Y)=-5\mu,\quad V(X-2Y)=-3\sigma^2$

• オ. $E(X-2Y)=-\mu,\quad V(X-2Y)=-3\sigma^2$

(1-9)

有10个球，分别写着1至10的编号。将球随机分为A、B两组，每组5个。A组中编号的最大值至少为8的分法共有多少种？从下列ア〜オ中选择正确的一项。

• ア. 105

• イ. 196

• ウ. 231

• エ. 252

• オ. 35

(1-10)

连续型随机变量 $X$ 与 $Y$ 的标准差分别为6、7，相关系数为0.5。$X$ 与 $Y$ 的协方差是多少？从下列ア〜オ中选择正确的一项。

• ア. 42

• イ. 21

• ウ. 1764

• エ. 882

• オ. 441

(1-11)

随机变量 $T$ 是根据一个大样本群体的数据计算的统计量，假设它近似服从正态分布。设 $T$ 的期望为 $E(T)=1.96$，标准误为 $SE(T)=1$。在标准误已知的情况下，由数据得到的双侧95%置信区间下限超过0的概率是多少？从下列ア〜オ中选择正确的一项。

• ア. 5%

• イ. 25%

• ウ. 50%

• エ. 75%

• オ. 95%

(1-12)

某项前瞻性观察研究考察了疾病发生与暴露的关系，得到下表数据。以无暴露组为基准，有暴露组患病的优势比是多少？从下列ア〜オ中选择最接近的一项。

	有暴露	无暴露	合计
患病	45人	15人	60人
未患病	3,850人	2,310人	6,160人
合计	3,895人	2,325人	6,220人

• ア. 6.0

• イ. 4.5

• ウ. 3.0

• エ. 1.8

• オ. 1.0

(1-13)

设两组事件发生比例的期望为 $p_1,p_2$，各组可实现的样本量为 $n_1,n_2$。记标准正态分布的上侧 $100\alpha\%$ 分位点为 $z_\alpha$，其分布函数为 $\Phi(\cdot)$。以单侧显著性水平 $\alpha$ 检验两组比例之差是否大于0时，检验功效可看作 $p_1,p_2$ 的函数。将该函数记为功效函数 $power(p_1,p_2)$，它可以怎样表示？从下列ア〜オ中选择适当的一项。

ア.

$$\begin{aligned}\operatorname{power}(p_1,p_2)\\={}&\Phi\left[\frac{p_1-p_2}{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}-z_\alpha\right]\end{aligned}$$

イ.

$$\begin{aligned}\operatorname{power}(p_1,p_2)\\={}&1-\Phi\left[z_\alpha-\frac{(p_1-p_2)^2}{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}\right]\end{aligned}$$

ウ.

$$\begin{aligned}\operatorname{power}(p_1,p_2)\\={}&\Phi\left[z_\alpha-\frac{p_1-p_2}{\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}}\right]\end{aligned}$$

エ.

$$\begin{aligned}\operatorname{power}(p_1,p_2)\\={}&1-\Phi\left[z_\alpha-\frac{p_1-p_2}{\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}}\right]\end{aligned}$$

オ.

$$\begin{aligned}\operatorname{power}(p_1,p_2)\\={}&1-\Phi\left[\frac{p_1-p_2}{\left(\frac1{n_1}+\frac1{n_2}\right)\{p_1(1-p_1)+p_2(1-p_2)\}}-z_\alpha\right]\end{aligned}$$

(1-14)

假设服从Weibull分布的生存时间 $T$ 的概率密度函数 $f(t)$ 如下。

$$f(t)=\lambda\gamma(\lambda t)^{\gamma-1}\exp[-(\lambda t)^\gamma]$$

计算 $\Pr(T>t)$，它可表示为什么式子？从下列ア〜オ中选择正确的一项。

• ア. $1-\exp[-(\lambda t)^{\gamma-1}]$

• イ. $\lambda\gamma\exp[-(\lambda t)^{\gamma-1}]$

• ウ. $\exp[-(\lambda t)^{\gamma-1}]$

• エ. $\exp[-(\lambda t)^\gamma]$

• オ. $\lambda\lambda^2\gamma(\gamma-1)(\lambda t)^{\gamma-2}\exp[-(\lambda t)^\gamma]$

(1-15)

计划开展一项随机化临床试验，以某疾病症状评分相对于基线的变化量为指标，比较新疗法与安慰剂的有效性。在计算验证新疗法有效性所需的受试者人数时，将某个数值的设定值改为原来的0.5倍，所需人数增加为4倍。从下列ア〜オ中选择该数值。

• ア. 第一类错误概率

• イ. 第二类错误概率

• ウ. 预期的组间差

• エ. 症状评分相对于基线的变化量的标准差

• オ. 分配比

Kai

(1-1)

昇順に並べると $1,2,3,4,5,7,8,8,9,10$ であり、

$$\begin{gathered} \bar x=5.7,\\ \operatorname{median}(x)=6,\\ \operatorname{mode}(x)=8. \end{gathered}$$

$$\boxed{\text{ウ}}$$

(1-2)

平均値と標準偏差から

$$\mathrm{CV}=\frac{\text{標準偏差}}{\text{平均値}}$$

を計算できる。

$$\boxed{\text{ウ}.\ \text{変動係数}}$$

(1-3)

標本標準偏差を

$$s=\sqrt{\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2}$$

とすると、平均の標準誤差は $s/\sqrt n$ である。

$$\boxed{\text{エ}}$$

(1-4)

$$\begin{gathered} E[X]=3-2p-q,\\ E[X^2]=9-8p-5q. \end{gathered}$$

したがって、

$$V(X)=-4p^2-q^2-4pq+4p+q.$$

$$\boxed{\text{イ}}$$

(1-5)

$$\frac{d}{dx}e^{1-x^3}=-3x^2e^{1-x^3}.$$

$$\boxed{\text{オ}}$$

(1-6)

$x=3y$、$|dx/dy|=3$ より、

$$\begin{gathered} f_Y(y)=3f_X(3y)=45y^3-\frac53,\\ -1\le y\le1, \end{gathered}$$

となり、形式的な変数代換に対応する選択肢は $\boxed{\text{オ}}$ である。

ただし、与えられた $f_X$ は確率密度の条件を満たさない。$f_X(0)=-5/9<0$ で、

$$\int_{-3}^{3}\frac59(x^3-1)\,dx=-\frac{10}{3}\ne1.$$

したがってこれは確率密度ではなく、変換後の式も確率密度にはならない。

(1-7)

数字3の玉は4個、そのうち白玉は3個なので、

$$\Pr(\text{白}\mid\text{数字3})=\frac34.$$

$$\boxed{\text{ウ}}$$

(1-8)

$$\begin{gathered} E[X-2Y]=\mu-6\mu=-5\mu,\\ V(X-2Y)=\sigma^2+4\cdot2\sigma^2=9\sigma^2. \end{gathered}$$

$$\boxed{\text{イ}}$$

(1-9)

全分け方から群Aが $\{1,\ldots,7\}$ のみで構成される場合を除く。

$$\binom{10}{5}-\binom75=252-21=231.$$

$$\boxed{\text{ウ}}$$

(1-10)

$$\operatorname{Cov}(X,Y)=\rho\sigma_X\sigma_Y =0.5\cdot6\cdot7=21.$$

$$\boxed{\text{イ}}$$

(1-11)

信頼区間の下限は $T-1.96$ である。よって、

$$\Pr(T-1.96>0)=\Pr(T>E[T])=\frac12.$$

$$\boxed{\text{ウ}.\ 50\%}$$

(1-12)

$$\mathrm{OR}=\frac{45/3850}{15/2310} =\frac95=1.8.$$

$$\boxed{\text{エ}.\ 1.8}$$

(1-13)

$$\delta=\frac{p_1-p_2} {\sqrt{p_1(1-p_1)/n_1+p_2(1-p_2)/n_2}}$$

とおき、$z_\alpha=\Phi^{-1}(1-\alpha)$ とする。ここでは標本比率差に正規近似を用い、その分散で標準化する近似の下で、

$$\operatorname{power}(p_1,p_2) \simeq1-\Phi(z_\alpha-\delta).$$

$$\boxed{\text{エ}}$$

(1-14)

$$\Pr(T>t)=\exp\left[-(\lambda t)^\gamma\right].$$

$$\boxed{\text{エ}}$$

(1-15)

必要標本数は期待する群間差 $\Delta$ に対して $n\propto\Delta^{-2}$ である。したがって $\Delta$ を半分にすると $n$ は4倍になる。

$$\boxed{\text{ウ}.\ \text{期待する群間差}}$$

Reference

• 東京大学大学院 情報学環・学際情報学府 修士課程 過去の入学試験問題
• 2026年度 専門科目（生物統計情報学コース）公式問題 PDF