東京大学 学際情報学府 学際情報学専攻 生物統計情報学コース 2024年8月実施 専門科目 第2問

标签：

• 东京大学
• 指数分布
• 伽马分布
• 累积分布函数与概率密度函数

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

題意の要約

独立な正値確率変数 $X,Y$ を考える。$X$ の密度を

$$p_X(x)=\lambda e^{-\lambda x}\quad (x>0),$$

$Y$ の密度を

$$p_Y(y)=c(\lambda)y e^{-\lambda y}\quad (y>0)$$

とする。ただし $\lambda>0$ であり、$c(\lambda)$ は正規化定数である。

1. $X$ の累積分布関数を求めよ。
2. $X$ の期待値と中央値を求め、大小を比較せよ。
3. $c(\lambda)$ を求めよ。
4. $\Pr(X\le Y)$ を求めよ。

题目描述

设相互独立的正值随机变量 $X,Y$ 的密度分别为

$$p_X(x)=\lambda e^{-\lambda x},\qquad p_Y(y)=c(\lambda)y e^{-\lambda y},$$

其中 $\lambda>0$，$c(\lambda)$ 为归一化常数。求 $X$ 的分布函数；求并比较 $X$ 的期望与中位数；求 $c(\lambda)$；最后求 $\Pr(X\le Y)$。

Kai

(2-1)

$$\boxed{ F_X(x)= \begin{cases} 0,&x\le0,\\ 1-e^{-\lambda x},&x>0. \end{cases}}$$

(2-2)

$$E[X]=\int_0^\infty x\lambda e^{-\lambda x}\,dx =\frac1\lambda.$$

中央値 $m$ は $F_X(m)=1/2$ より

$$m=\frac{\log 2}{\lambda}.$$

$\log 2<1$ なので、

$$\boxed{m<E[X]}.$$

(2-3)

$$1=c(\lambda)\int_0^\infty y e^{-\lambda y}\,dy =\frac{c(\lambda)}{\lambda^2},$$

したがって、

$$\boxed{c(\lambda)=\lambda^2}.$$

(2-4)

$$\begin{aligned} \Pr(X\le Y) &=\int_0^\infty F_X(y)p_Y(y)\,dy\\ &=\lambda^2\int_0^\infty y e^{-\lambda y} \left(1-e^{-\lambda y}\right)\,dy\\ &=1-\frac14 =\boxed{\frac34}. \end{aligned}$$

Reference

• 東京大学大学院 情報学環・学際情報学府 修士課程 過去の入学試験問題
• 2025年度 専門科目（生物統計情報学コース）公式問題 PDF