東京大学学際情報学府学際情報学専攻生物統計情報学コース 2024年8月実施専門科目第1問

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祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

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以下の問い(1-1)〜(1-15)に答えよ。解答用紙には問いの番号と解答のみを，問いの番号の順序に従って記載せよ。

(1-1)

あるクラスの学生5名の身長のデータを測定したとき，以下の測定値のデータが得られた。このデータに関する記述として，次のア〜オのうちから正しいものを一つ選べ。

	Aさん	Bさん	Cさん	Dさん	Eさん
身長(cm)	171	172	173	175	180

ア. 平均値は173cmである。
イ. 中央値は173cmよりも大きい。
ウ. 平均値は中央値よりも大きく，分布は右に裾を引いている。
エ. 平均値は中央値よりも大きく，分布は左に裾を引いている。
オ. 平均値は中央値よりも小さく，分布は左に裾を引いている。

(1-2)

あるテストを受験した集団における得点の標準偏差が15点であったとき，AさんとBさんの偏差値の差が4と算出された。AさんとBさんの得点の差はいくらか。次のア〜オのうちから正しいものを一つ選べ。

ア. 2
イ. 4
ウ. 6
エ. 8
オ. 10

(1-3)

標準偏差と標準誤差に関する記述として，次のア〜オのうちから適切なものをすべて選んだ組合せを一つ選べ。

(a) 標準偏差は，ある集団における個人間のデータのばらつきを意味する指標である。

(b) 標準偏差は，分散から導くことはできない。

(d) 標準誤差は，1回の研究データから推定することは不可能である。

ア. (a), (b)
イ. (a), (c)
ウ. (b), (c)
エ. (b), (d)
オ. (c), (d)

(1-4)

ある確率変数 $X$ の確率関数が以下で与えられるとき， $X$ の分散はいくらか。次のア〜オのうちから正しいものを一つ選べ。

	$x=0$	$x=0.5$
$\Pr(X=x)$	$1-p$	$p$

ア. $\frac12p$
イ. $\frac14p$
ウ. $\frac14p^2$
エ. $\frac14p(1-p)$
オ. $p(1-p)$

(1-5)

ある連続型確率変数 $X$ の確率密度関数が $f(x)=\frac58(1-x^4),\ -1\le x\le1$ で与えられている。 $Y=2X$ により得られる連続型確率変数 $Y$ の確率密度関数として，次のア〜オのうちから適切なものを一つ選べ。

ア.

f(y)=\frac58[1-(2y)^4],\quad -1\le y\le1

イ.

f(y)=\frac58[1-(2y)^4],\quad -2\le y\le2

ウ.

f(y)=\frac58\left[1-\left(\frac y2\right)^4\right],\quad -\frac12\le y\le\frac12

エ.

f(y)=\frac58\left[1-\left(\frac y2\right)^4\right],\quad -1\le y\le1

オ.

f(y)=\frac5{16}\left[1-\left(\frac y2\right)^4\right],\quad -2\le y\le2

(1-6)

ある変数 $x$ の関数 $\log(1+x^2),\ -\infty<x<\infty$ の $x$ に関する1階微分として，次のア〜オのうちから正しいものを一つ選べ。

ア. $\log(1+x^2)$
イ. $\exp(1+x^2)$
ウ. $\dfrac1{\log(1+x^2)}$
エ. $\dfrac{2x}{\log(1+x^2)}$
オ. $\dfrac{2x}{1+x^2}$

(1-7)

ある離散型確率変数 $X$ と $Y$ の同時確率関数の値が以下で与えられるとき，条件付き確率 $\Pr(Y=3\mid X\ge2)$ はいくらか。次のア〜オのうちから正しいものを一つ選べ。

	$y=1$	$y=2$	$y=3$
$x=1$	$\frac1{10}$	$\frac3{20}$	$\frac3{20}$
$x=2$	$\frac1{10}$	$0$	$\frac15$
$x=3$	$0$	$\frac15$	$\frac1{10}$

ア. $\frac3{10}$
イ. $\frac9{20}$
ウ. $\frac23$
エ. $\frac12$
オ. $\frac13$

(1-8)

ある確率変数 $X$ は期待値 $\mu$ ，分散 $\sigma^2$ をもち，ある確率変数 $Y$ は期待値 $2\mu$ ，分散 $3\sigma^2$ をもつ。 $X$ と $Y$ が独立のとき， $2X-3Y$ の期待値 $E(2X-3Y)$ と $2X-3Y$ の分散 $V(2X-3Y)$ はそれぞれいくらか。次のア〜オのうちから正しいものを一つ選べ。

ア. $E(2X-3Y)=-4\mu,\quad V(2X-3Y)=-\sigma^2$
イ. $E(2X-3Y)=-\mu,\quad V(2X-3Y)=-7\sigma^2$
ウ. $E(2X-3Y)=5\mu,\quad V(2X-3Y)=11\sigma^2$
エ. $E(2X-3Y)=-4\mu,\quad V(2X-3Y)=31\sigma^2$
オ. $E(2X-3Y)=8\mu,\quad V(2X-3Y)=-24\sigma^2$

(1-9)

10個の異なる番号が書かれたくじをグループAとグループBに5個ずつにランダムに分ける。当たりくじが3個含まれているとき，2グループ間の当たりくじの個数の差が1個以上となる分け方は全部で何通りあるか。次のア〜オのうちから正しいものを一つ選べ。

ア. 105
イ. 210
ウ. 126
エ. 252
オ. 42

(1-10)

ある離散型確率変数 $X$ と $Y$ の同時確率関数の値が以下で与えられるとき， $X$ と $Y$ の共分散はいくらか。次のア〜オのうちから正しいものを一つ選べ。

	$y=1$	$y=2$	$y=3$	合計
$x=1$	$\frac14$	$\frac1{12}$	$\frac1{12}$	$\frac5{12}$
$x=2$	$0$	$\frac1{12}$	$\frac16$	$\frac14$
$x=3$	$\frac1{12}$	$\frac16$	$\frac1{12}$	$\frac13$
合計	$\frac13$	$\frac13$	$\frac13$	$1$

ア. $\frac12$
イ. $\frac13$
ウ. $\frac14$
エ. $\frac15$
オ. $\frac16$

(1-11)

ある確率変数 $X$ と $Y$ の相関係数が $\rho$ で与えられているとする。 $2X$ と $2Y$ の相関係数はいくらか。次のア〜オのうちから正しいものを一つ選べ。

ア. $4\rho$
イ. $2\rho$
ウ. $\sqrt2\rho$
エ. $\rho$
オ. $\frac12\rho$

(1-12)

ある前向き観察研究によって疾患の発生と曝露の関係を調べたところ，以下のようなデータが得られた。曝露なしに対する曝露ありの，疾患の発生率比はいくらか。次のア〜オのうちから最も近いものを一つ選べ。

	曝露あり	曝露なし	合計
疾患あり	45人	15人	60人
疾患なし	2,755人	5,585人	8,340人
合計	2,800人	5,600人	8,400人
観測人年	28,014人年	13,970人年	41,984人年

ア. 6.0
イ. 4.5
ウ. 3.0
エ. 1.5
オ. 1.0

(1-13)

ある10個の確率変数 $X_1,\ldots,X_{10}$ が独立に期待値5，分散が100の正規分布に従っているとする。 $X_1,\ldots,X_{10}$ の平均 $\frac{X_1+\cdots+X_{10}}{10}$ はどのような確率分布に従うか。次のア〜オのうちから正しいものを一つ選べ。

ア. 期待値が50，分散が1000の正規分布
イ. 期待値が5，分散が1000の正規分布
ウ. 期待値が50，分散が100の正規分布
エ. 期待値が50，分散が10の正規分布
オ. 期待値が5，分散が10の正規分布

(1-14)

2群のランダム化比較試験において平均値の差の $t$ 検定を行ったところ，平均値の差が5，両側 $p$ 値が0.05であった。平均値の差の両側95%信頼区間として，次のア〜オのうちから最も適切なものを一つ選べ。

ア. $[0,10]$
イ. $[1,9]$
ウ. $[2,8]$
エ. $[3,7]$
オ. $[4,6]$

(1-15)

仮説検定に関する記述として，次のア〜オのうちから最も適切なものを一つ選べ。

ア. 第一種の過誤確率とは，対立仮説が正しい場合に誤って帰無仮説を棄却してしまう確率を意味する。
イ. 仮説検定を繰り返しても，いずれかの正しい帰無仮説を誤って棄却してしまう確率は変化しない。
ウ. 第一種の過誤確率に対する名目水準は，サンプルサイズにより変化する。
エ. 第一種の過誤確率はその名目水準に一致するとは限らない。
オ. 第一種の過誤確率は実際に観察されたp値に一致する。

题目描述

回答以下(1-1)至(1-15)。答题纸上只须按题号顺序写出题号和答案。

(1-1)

测量某班5名学生的身高，得到如下数据。从下列ア〜オ中选择关于这些数据的正确叙述。

	A同学	B同学	C同学	D同学	E同学
身高(cm)	171	172	173	175	180

ア. 均值为173cm。
イ. 中位数大于173cm。
ウ. 均值大于中位数，分布右侧拖尾。
エ. 均值大于中位数，分布左侧拖尾。
オ. 均值小于中位数，分布左侧拖尾。

(1-2)

某次考试的考生成绩标准差为15分，计算得A同学与B同学的偏差值之差为4。两人的原始分数相差多少？从下列ア〜オ中选择正确的一项。

ア. 2
イ. 4
ウ. 6
エ. 8
オ. 10

(1-3)

对于以下关于标准差和标准误的叙述，从ア〜オ中选择包含全部正确叙述的组合。

(a) 标准差是表示某群体中个体间数据离散程度的指标。

(b) 标准差不能由方差推导得到。

(d) 不可能根据一次研究的数据估计标准误。

ア. (a), (b)
イ. (a), (c)
ウ. (b), (c)
エ. (b), (d)
オ. (c), (d)

(1-4)

随机变量 $X$ 的概率质量函数如下。 $X$ 的方差是多少？从下列ア〜オ中选择正确的一项。

	$x=0$	$x=0.5$
$\Pr(X=x)$	$1-p$	$p$

ア. $\frac12p$
イ. $\frac14p$
ウ. $\frac14p^2$
エ. $\frac14p(1-p)$
オ. $p(1-p)$

(1-5)

连续型随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $f(x)=\frac58(1-x^4),\ -1\le x\le1$ 。令 $Y=2X$ ，从下列ア〜オ中选择所得连续型随机变量 $Y$ 的适当概率密度函数。

ア.

f(y)=\frac58[1-(2y)^4],\quad -1\le y\le1

イ.

f(y)=\frac58[1-(2y)^4],\quad -2\le y\le2

ウ.

f(y)=\frac58\left[1-\left(\frac y2\right)^4\right],\quad -\frac12\le y\le\frac12

エ.

f(y)=\frac58\left[1-\left(\frac y2\right)^4\right],\quad -1\le y\le1

オ.

f(y)=\frac5{16}\left[1-\left(\frac y2\right)^4\right],\quad -2\le y\le2

(1-6)

对于变量 $x$ 的函数 $\log(1+x^2),\ -\infty<x<\infty$ ，从下列ア〜オ中选择其关于 $x$ 的一阶导数。

ア. $\log(1+x^2)$
イ. $\exp(1+x^2)$
ウ. $\dfrac1{\log(1+x^2)}$
エ. $\dfrac{2x}{\log(1+x^2)}$
オ. $\dfrac{2x}{1+x^2}$

(1-7)

离散型随机变量 $X$ 与 $Y$ 的联合概率质量函数值如下。条件概率 $\Pr(Y=3\mid X\ge2)$ 是多少？从下列ア〜オ中选择正确的一项。

	$y=1$	$y=2$	$y=3$
$x=1$	$\frac1{10}$	$\frac3{20}$	$\frac3{20}$
$x=2$	$\frac1{10}$	$0$	$\frac15$
$x=3$	$0$	$\frac15$	$\frac1{10}$

ア. $\frac3{10}$
イ. $\frac9{20}$
ウ. $\frac23$
エ. $\frac12$
オ. $\frac13$

(1-8)

随机变量 $X$ 的期望为 $\mu$ 、方差为 $\sigma^2$ ，随机变量 $Y$ 的期望为 $2\mu$ 、方差为 $3\sigma^2$ 。若 $X$ 与 $Y$ 独立， $2X-3Y$ 的期望 $E(2X-3Y)$ 和方差 $V(2X-3Y)$ 各是多少？从下列ア〜オ中选择正确的一项。

ア. $E(2X-3Y)=-4\mu,\quad V(2X-3Y)=-\sigma^2$
イ. $E(2X-3Y)=-\mu,\quad V(2X-3Y)=-7\sigma^2$
ウ. $E(2X-3Y)=5\mu,\quad V(2X-3Y)=11\sigma^2$
エ. $E(2X-3Y)=-4\mu,\quad V(2X-3Y)=31\sigma^2$
オ. $E(2X-3Y)=8\mu,\quad V(2X-3Y)=-24\sigma^2$

(1-9)

将写有10个不同编号的签随机分为A、B两组，每组5根。其中有3根中奖签，两组中奖签的数量之差至少为1的分法共有多少种？从下列ア〜オ中选择正确的一项。

ア. 105
イ. 210
ウ. 126
エ. 252
オ. 42

(1-10)

离散型随机变量 $X$ 与 $Y$ 的联合概率质量函数值如下。 $X$ 与 $Y$ 的协方差是多少？从下列ア〜オ中选择正确的一项。

	$y=1$	$y=2$	$y=3$	合计
$x=1$	$\frac14$	$\frac1{12}$	$\frac1{12}$	$\frac5{12}$
$x=2$	$0$	$\frac1{12}$	$\frac16$	$\frac14$
$x=3$	$\frac1{12}$	$\frac16$	$\frac1{12}$	$\frac13$
合计	$\frac13$	$\frac13$	$\frac13$	$1$

ア. $\frac12$
イ. $\frac13$
ウ. $\frac14$
エ. $\frac15$
オ. $\frac16$

(1-11)

假设随机变量 $X$ 与 $Y$ 的相关系数为 $\rho$ 。 $2X$ 与 $2Y$ 的相关系数是多少？从下列ア〜オ中选择正确的一项。

ア. $4\rho$
イ. $2\rho$
ウ. $\sqrt2\rho$
エ. $\rho$
オ. $\frac12\rho$

(1-12)

某项前瞻性观察研究考察了疾病发生与暴露的关系，得到下表数据。以无暴露组为基准，有暴露组的疾病发病率比是多少？从下列ア〜オ中选择最接近的一项。

	有暴露	无暴露	合计
患病	45人	15人	60人
未患病	2,755人	5,585人	8,340人
合计	2,800人	5,600人	8,400人
观察人年	28,014人年	13,970人年	41,984人年

ア. 6.0
イ. 4.5
ウ. 3.0
エ. 1.5
オ. 1.0

(1-13)

假设10个随机变量 $X_1,\ldots,X_{10}$ 相互独立，均服从期望为5、方差为100的正态分布。它们的均值 $\frac{X_1+\cdots+X_{10}}{10}$ 服从什么概率分布？从下列ア〜オ中选择正确的一项。

ア. 期望为50、方差为1000的正态分布
イ. 期望为5、方差为1000的正态分布
ウ. 期望为50、方差为100的正态分布
エ. 期望为50、方差为10的正态分布
オ. 期望为5、方差为10的正态分布

(1-14)

在两组随机化对照试验中，对均值之差进行 $t$ 检验，得到均值之差为5，双侧 $p$ 值为0.05。从下列ア〜オ中选择最适当的均值差双侧95%置信区间。

ア. $[0,10]$
イ. $[1,9]$
ウ. $[2,8]$
エ. $[3,7]$
オ. $[4,6]$

(1-15)

从下列ア〜オ中选择关于假设检验的最恰当叙述。

ア. 第一类错误概率是指备择假设正确时，错误地拒绝原假设的概率。
イ. 即使反复进行假设检验，错误地拒绝其中某个正确原假设的概率也不会改变。
ウ. 第一类错误概率的名义水平随样本量变化。
エ. 第一类错误概率不一定等于其名义水平。
オ. 第一类错误概率等于实际观测到的 $p$ 值。

Kai

(1-1)

\bar x=\frac{871}{5}=174.2>173=\operatorname{median}(x).

右に裾を引くので、

\boxed{\text{ウ}}.

(1-2)

偏差値 $T=50+10(x-\bar x)/15$ より、

\Delta x=15\frac{\Delta T}{10}=15\frac4{10}=6.

\boxed{\text{ウ}.\ 6}

(1-3)

標準偏差は個人間のばらつき、標準誤差は統計量の標本間のばらつきを表す。正しいのは (a), (c) なので、

\boxed{\text{イ}}.

(1-4)

V(X)=\frac14p-\left(\frac12p\right)^2 =\frac14p(1-p).

\boxed{\text{エ}}

(1-5)

$x=y/2$ 、 $|dx/dy|=1/2$ より、

\begin{gathered} f_Y(y)=\frac{5}{16}\left[1-\left(\frac y2\right)^4\right],\\ -2\le y\le2. \end{gathered}

\boxed{\text{オ}}

(1-6)

\frac{d}{dx}\log(1+x^2)=\frac{2x}{1+x^2}.

\boxed{\text{オ}}

(1-7)

\begin{gathered} \Pr(Y=3\mid X\ge2)\\ =\frac{1/5+1/10}{(1/10+1/5)+(1/5+1/10)}\\ =\frac12. \end{gathered}

\boxed{\text{エ}}

(1-8)

\begin{gathered} E[2X-3Y]=-4\mu,\\ V(2X-3Y)=4\sigma^2+9\cdot3\sigma^2=31\sigma^2. \end{gathered}

\boxed{\text{エ}}

(1-9)

当たり3本は2群に同数ずつ入らない。群Aの5本を選べば分割が定まるので、

\binom{10}{5}=252.

\boxed{\text{エ}}

(1-10)

表から

\begin{gathered} E[X]=\frac{23}{12},\\ E[Y]=2,\\ E[XY]=4. \end{gathered}

したがって、

\operatorname{Cov}(X,Y)=4-\frac{23}{12}\cdot2 =\frac16.

\boxed{\text{オ}}

(1-11)

正の定数倍では相関係数は変わらないから、

\operatorname{Corr}(2X,2Y)=\rho.

\boxed{\text{エ}}

(1-12)

\frac{45/28014}{15/13970}=1.496\ldots\approx1.5.

\boxed{\text{エ}.\ 1.5}

(1-13)

\bar X\sim N\left(5,\frac{100}{10}\right)=N(5,10).

\boxed{\text{オ}}

(1-14)

両側 $p=0.05$ なので0は95%信頼区間の端点となる。区間は平均差5を中心に対称だから、

\boxed{[0,10]}.

したがって $\boxed{\text{ア}}$ 。

(1-15)

第一種過誤確率は、離散検定などでは名目有意水準と一致せず、それ以下となることがある。

\boxed{\text{エ}}

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