東京大学 学際情報学府 学際情報学専攻 生物統計情報学コース 2024年8月実施 専門科目 第1問

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• Expectation-and-Variance
• Random-Variable-Transformation
• Conditional-Probability
• Covariance
• Correlation-Coefficient
• Combinatorial-Probability
• Confidence-Interval
• Hypothesis-Testing

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

日本語題意

次の15問について正しい選択肢を一つ選ぶ。

1. 身長 $171,172,173,175,180$ cm の平均・中央値・歪みを判定する。

2. 標準偏差15点の試験で偏差値の差が4のとき、得点差を求める。

3. 標準偏差と標準誤差に関する4記述から正しい組合せを選ぶ。

4. $\Pr(X=0)=1-p$, $\Pr(X=0.5)=p$ のとき $V(X)$ を求める。

5. $f_X(x)=\frac58(1-x^4)$（$-1\le x\le1$）、$Y=2X$ の密度を求める。

6. $\log(1+x^2)$ を微分する。

7. 次の同時分布から $\Pr(Y=3\mid X\ge2)$ を求める。

   $$\begin{array}{c|ccc} &Y=1&Y=2&Y=3\\ \hline X=1&1/10&3/20&3/20\\ X=2&1/10&0&1/5\\ X=3&0&1/5&1/10 \end{array}$$

8. 独立な $X,Y$ が $E[X]=\mu$, $V(X)=\sigma^2$, $E[Y]=2\mu$, $V(Y)=3\sigma^2$ を満たすとき、$2X-3Y$ の期待値と分散を求める。

9. 異なる10本のくじを5本ずつ2群に分ける。3本が当たりのとき、群間の当たり本数の差が1本以上となる分け方を数える。

10. 次の同時分布から $\operatorname{Cov}(X,Y)$ を求める。

    $$\begin{array}{c|ccc} &Y=1&Y=2&Y=3\\ \hline X=1&1/4&1/12&1/12\\ X=2&0&1/12&1/6\\ X=3&1/12&1/6&1/12 \end{array}$$

11. $\operatorname{Corr}(X,Y)=\rho$ のとき $\operatorname{Corr}(2X,2Y)$ を求める。

12. 前向き研究の表（曝露あり：疾患45件・28014人年、曝露なし：疾患15件・13970人年）から発生率比を求める。

13. 独立な $X_1,\ldots,X_{10}\sim N(5,100)$ の標本平均の分布を求める。

14. 2群比較の $t$ 検定で平均差5、両側 $p=0.05$ のとき、平均差の両側95%信頼区間を選ぶ。

15. 仮説検定に関する記述から最も適切なものを選ぶ。

题目描述

本题含15道单选题，依次考查：均值、中位数与偏态；偏差值与原始分数的换算；标准差和标准误；二点分布的方差；随机变量线性变换后的密度；求导；离散联合分布的条件概率；独立随机变量线性组合的期望与方差；组合计数；协方差；相关系数在线性缩放下的不变性；队列研究的发病率比；正态样本均值分布；双侧检验与95%置信区间；第一类错误概率与显著性水平等检验概念。

Kai

(1-1)

$$\bar x=\frac{871}{5}=174.2>173=\operatorname{median}(x).$$

右に裾を引くので、

$$\boxed{\text{ウ}}.$$

(1-2)

偏差値 $T=50+10(x-\bar x)/15$ より、

$$\Delta x=15\frac{\Delta T}{10}=15\frac4{10}=6.$$

$$\boxed{\text{ウ}.\ 6}$$

(1-3)

標準偏差は個人間のばらつき、標準誤差は統計量の標本間のばらつきを表す。正しいのは (a), (c) なので、

$$\boxed{\text{イ}}.$$

(1-4)

$$V(X)=\frac14p-\left(\frac12p\right)^2 =\frac14p(1-p).$$

$$\boxed{\text{エ}}$$

(1-5)

$x=y/2$、$|dx/dy|=1/2$ より、

$$f_Y(y)=\frac{5}{16}\left[1-\left(\frac y2\right)^4\right], \qquad -2\le y\le2.$$

$$\boxed{\text{オ}}$$

(1-6)

$$\frac{d}{dx}\log(1+x^2)=\frac{2x}{1+x^2}.$$

$$\boxed{\text{オ}}$$

(1-7)

$$\Pr(Y=3\mid X\ge2) =\frac{1/5+1/10}{(1/10+1/5)+(1/5+1/10)} =\frac12.$$

$$\boxed{\text{エ}}$$

(1-8)

$$E[2X-3Y]=-4\mu,\qquad V(2X-3Y)=4\sigma^2+9\cdot3\sigma^2=31\sigma^2.$$

$$\boxed{\text{エ}}$$

(1-9)

当たり3本は2群に同数ずつ入らない。群Aの5本を選べば分割が定まるので、

$$\binom{10}{5}=252.$$

$$\boxed{\text{エ}}$$

(1-10)

表から

$$E[X]=\frac{23}{12},\qquad E[Y]=2, \qquad E[XY]=4.$$

したがって、

$$\operatorname{Cov}(X,Y)=4-\frac{23}{12}\cdot2 =\frac16.$$

$$\boxed{\text{オ}}$$

(1-11)

正の定数倍では相関係数は変わらないから、

$$\operatorname{Corr}(2X,2Y)=\rho.$$

$$\boxed{\text{エ}}$$

(1-12)

$$\frac{45/28014}{15/13970}=1.496\ldots\approx1.5.$$

$$\boxed{\text{エ}.\ 1.5}$$

(1-13)

$$\bar X\sim N\left(5,\frac{100}{10}\right)=N(5,10).$$

$$\boxed{\text{オ}}$$

(1-14)

両側 $p=0.05$ なので0は95%信頼区間の端点となる。区間は平均差5を中心に対称だから、

$$\boxed{[0,10]}.$$

したがって $\boxed{\text{ア}}$。

(1-15)

第一種過誤確率は、離散検定などでは名目有意水準と一致せず、それ以下となることがある。

$$\boxed{\text{エ}}$$

Reference

• 東京大学大学院 情報学環・学際情報学府 修士課程 過去の入学試験問題
• 2025年度 専門科目（生物統計情報学コース）公式問題 PDF