東京大学 学際情報学府 学際情報学専攻 生物統計情報学コース 2019年8月実施 専門科目 第2問

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• Estimator-Bias

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

题目描述

设参数 $\gamma>0$，随机变量 $X_1,\ldots,X_n$ 独立同分布，其密度为

$$f(x;\gamma)= \begin{cases} \dfrac1\gamma e^{-x/\gamma},&x>0,\\ 0,&\text{其他}. \end{cases}$$

把样本按升序记为 $X_{(1)},\ldots,X_{(n)}$。

1. 求 $E[X_1]$。

2. 求 $X_{(1)}$ 的密度与期望。

3. 分别求 $X_1$ 与 $X_{(1)}$ 的偏度；随机变量 $Y$ 的偏度定义为 $E[(Y-\mu_Y)^3]/\sigma_Y^3$。

4. 令

   $$T_n=\frac1{n-1}\sum_{i=2}^nX_{(i)}.$$

   把 $T_n$ 作为 $\gamma$ 的估计量，求其偏差 $E[T_n]-\gamma$。

Kai

(2-1)

$$\begin{aligned} E[X_1] &= \int_{- \infty}^\infty x f(x; \gamma) dx \\ &= \frac{1}{\gamma} \int_0^\infty x e^{- x / \gamma } dx \\ &= - \int_0^\infty x \left( e^{- x / \gamma } \right)' dx \\ &= - \left[ x e^{- x / \gamma } \right]_0^\infty + \int_0^\infty e^{- x / \gamma } dx \\ &= - \gamma \left[ e^{- x / \gamma } \right]_0^\infty \\ &= \gamma \end{aligned}$$

(2-2)

$$\begin{aligned} P \left( X_{(1)} \leq x \right) &= 1 - P \left( X_{(1)} \gt x \right) \\ &= 1 - P \left( X_1 \gt x \text{ and } X_2 \gt x \text{ and } \cdots \text{ and } X_n \gt x \right) \\ &= 1 - P ( X_1 \gt x ) P ( X_2 \gt x ) \cdots P ( X_n \gt x ) \\ &= 1 - \left( \frac{1}{\gamma} \int_x^\infty e^{ - y / \gamma } dy \right)^n \\ &= 1 - \left( - \left[ e^{ - y / \gamma } \right]_x^\infty \right)^n \\ &= 1 - \left( e^{ - x / \gamma } \right)^n \\ &= 1 - e^{ - nx / \gamma } \end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned} f_{(1)}(x; \gamma) &= \begin{cases} \dfrac{n}{\gamma}e^{-nx/\gamma},&x>0,\\ 0,&x\leq 0, \end{cases} \\ E[X_{(1)}] &= \frac{\gamma}{n} \end{aligned}$$

(2-3)

指数分布のモーメントより

$$E[X_1^k]=k!\gamma^k.$$

したがって、

$$\begin{aligned} \operatorname{Var}(X_1)&=2\gamma^2-\gamma^2=\gamma^2,\\ E[(X_1-\gamma)^3] &=6\gamma^3-3\gamma\cdot2\gamma^2+2\gamma^3 =2\gamma^3. \end{aligned}$$

よって $X_1$ の歪度は

$$\frac{2\gamma^3}{(\gamma^2)^{3/2}}=2.$$

また、$X_{(1)}$ は尺度母数 $\gamma/n$ の指数分布に従うので、その歪度も $2$ である。

(2-4)

$$\begin{aligned} T_n &= \frac{1}{n-1} \sum_{i=2}^n X_{(i)} \\ &= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n X_{(i)} - \frac{1}{n-1} X_{(1)} \\ &= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n X_i - \frac{1}{n-1} X_{(1)} \end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned} E[T_n] &= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n E[X_i] - \frac{1}{n-1} E[X_{(1)}] \\ &= \frac{n \gamma}{n-1} - \frac{\gamma}{n(n-1)} \\ &= \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \gamma \end{aligned}$$

より、

$$\begin{aligned} E[T_n] - \gamma &= \frac{1}{n} \gamma \end{aligned}$$