跳到主要内容

東京大学 学際情報学府 学際情報学専攻 生物統計情報学コース 2019年8月実施 専門科目 第2問

标签：

Author​

Miyake

Description​

Kai​

(2-1)​

E[X1]=∫−∞∞xf(x;γ)dx=1γ∫0∞xe−x/γdx=−∫0∞x(e−x/γ)′dx=−[xe−x/γ]0∞+∫0∞e−x/γdx=−γ[e−x/γ]0∞=γ\begin{aligned} E[X_1] &= \int_{- \infty}^\infty x f(x; \gamma) dx \\ &= \frac{1}{\gamma} \int_0^\infty x e^{- x / \gamma } dx \\ &= - \int_0^\infty x \left( e^{- x / \gamma } \right)' dx \\ &= - \left[ x e^{- x / \gamma } \right]_0^\infty + \int_0^\infty e^{- x / \gamma } dx \\ &= - \gamma \left[ e^{- x / \gamma } \right]_0^\infty \\ &= \gamma \end{aligned}

(2-2)​

P(X(1)≤x)=1−P(X(1)>x)=1−P(X1>x and X2>x and ⋯ and Xn>x)=1−P(X1>x)P(X2>x)⋯P(Xn>x)=1−(1γ∫x∞e−y/γdy)n=1−(−[e−y/γ]x∞)n=1−(e−x/γ)n=1−e−nx/γ\begin{aligned} P \left( X_{(1)} \leq x \right) &= 1 - P \left( X_{(1)} \gt x \right) \\ &= 1 - P \left( X_1 \gt x \text{ and } X_2 \gt x \text{ and } \cdots \text{ and } X_n \gt x \right) \\ &= 1 - P ( X_1 \gt x ) P ( X_2 \gt x ) \cdots P ( X_n \gt x ) \\ &= 1 - \left( \frac{1}{\gamma} \int_x^\infty e^{ - y / \gamma } dy \right)^n \\ &= 1 - \left( - \left[ e^{ - y / \gamma } \right]_x^\infty \right)^n \\ &= 1 - \left( e^{ - x / \gamma } \right)^n \\ &= 1 - e^{ - nx / \gamma } \end{aligned}

であるから、

f(1)(x;γ)=ddx(1−e−nx/γ)=nγe−nx/γE[X(1)]=γn\begin{aligned} f_{(1)}(x; \gamma) &= \frac{d}{dx} \left( 1 - e^{ - nx / \gamma } \right) \\ &= \frac{n}{\gamma} e^{ - nx / \gamma } \\ E[X_{(1)}] &= \frac{\gamma}{n} \end{aligned}

(2-3)​

(2-4)​

Tn=1n−1∑i=2nX(i)=1n−1∑i=1nX(i)−1n−1X(1)=1n−1∑i=1nXi−1n−1X(1)\begin{aligned} T_n &= \frac{1}{n-1} \sum_{i=2}^n X_{(i)} \\ &= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n X_{(i)} - \frac{1}{n-1} X_{(1)} \\ &= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n X_i - \frac{1}{n-1} X_{(1)} \end{aligned}

であるから、

E[Tn]=1n−1∑i=1nE[Xi]−1n−1E[X(1)]=nγn−1−γn(n−1)=(1+1n)γ\begin{aligned} E[T_n] &= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n E[X_i] - \frac{1}{n-1} E[X_{(1)}] \\ &= \frac{n \gamma}{n-1} - \frac{\gamma}{n(n-1)} \\ &= \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \gamma \end{aligned}

より、

E[Tn]−γ=1nγ\begin{aligned} E[T_n] - \gamma &= \frac{1}{n} \gamma \end{aligned}
本页目录