東京大学学際情報学府学際情報学専攻生物統計情報学コース 2019年8月実施専門科目第1問

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祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

以下の問い(1-1)〜(1-20)に答えよ。解答用紙には問いの番号と解答のみを，問いの番号の順序に従って記載せよ。なお，別途配布した分布表は適宜参照してよい。

(1-1)

次の幹葉図は，あるクラスの数学のテストの得点の分布を示している。このクラスの数学のテストの得点の中央値はいくらか。以下のア〜オのうちから正しいものを一つ選べ。

度数	幹	葉
1	3	3
2	4	5 7
9	5	2 3 4 4 5 5 5 7 8
7	6	1 2 2 3 5 5 5
3	7	3 6 7
2	8	2 8
1	9	4

ア. 60点
イ. 61点
ウ. 62点
エ. 63点
オ. 64点

(1-2)

ある疾患の症状を軽減する薬剤の有効性を比較するためのランダム化2群比較試験を行った。各患者の症状はVisual Analog Scale (VAS)によりベースライン及び治療後の2時点で測定され，次の図が得られた。

治療群A・BのVAS変化量の箱ひげ図

各群のVAS変化量に関する記述として次の(a)〜(d)のうちから正しいものをすべて選んだ組み合わせを，以下のア〜オのうちから一つ選べ。

(a) A群の分布は右に歪んでいる。

(b) B群の分布は左に歪んでいる。

(d) A群の四分位範囲はB群の四分位範囲よりも広い。

(e) A群の範囲はB群の範囲よりも広い。

ア. (a), (c)
イ. (a), (d)
ウ. (b), (c)
エ. (b), (d)
オ. (b), (e)

(1-3)

確率変数 $X$ の平均と標準偏差はそれぞれ2，4で与えられているとする。確率変数 $Y$ が $Y=2X^2$ と定義されているとき，確率変数 $Y$ の平均はいくらか。次のア〜オのうちから正しいものを一つ選べ。

ア. 8
イ. 16
ウ. 32
エ. 40
オ. 80

(1-4)

ある母集団における身長 $X$ の分布が，平均160cm，標準偏差10cmの正規分布であるとする。この集団からランダムに1人選ぶとき，その人の身長が170cm以上である確率はいくらか。次のア〜オのうちから最も近い値を一つ選べ。

ア. 0.025
イ. 0.16
ウ. 0.32
エ. 0.5
オ. 0.84

(1-5)

二つの確率変数 $X_1,Y_1$ の相関係数を $\rho$ と表す。新たに確率変数 $X_2=X_1/3$ と $Y_2=Y_1+5$ を考えるとき， $X_2$ と $Y_2$ の相関係数として正しいものを次のア〜オのうちから一つ選べ。

ア. $\frac\rho3$
イ. $\frac\rho{\sqrt3}$
ウ. $\rho$
エ. $\sqrt3\rho$
オ. $3\rho$

(1-6)

ある疾患の症状スコア $X$ が，1，2，3と離散的な値をとり，確率分布が次のように与えられているとする：

\Pr(X=1)=0.2,\quad\Pr(X=2)=0.5,\quad\Pr(X=3)=0.3.

100人の患者の症状スコアが独立に $X$ の確率分布に従うとき，症状スコアの平均値が2以下となる確率はいくらか。次のア〜オのうちから最も近い値を一つ選べ。

ア. 0.1
イ. 0.2
ウ. 0.3
エ. 0.4
オ. 0.5

(1-7)

4例の患者を割り付け比率1：1で単純ランダム化により2群へ割り付けたとき，群間で人数が等しくならない割り付け結果が得られる確率はいくらか。次のア〜オのうちから正しいものを一つ選べ。

ア. 25%
イ. 37.5%
ウ. 50%
エ. 62.5%
オ. 75%

(1-8)

あるアンケート調査において，各対象者の回答確率を0.99と想定したとき，すべての対象者が回答する確率0.5と算出された。このアンケート調査の対象者数はいくらか。次のア〜オのうちから最も近い値を一つ選べ。ただし， $p\approx1$ のとき， $\ln p\approx p-1,\ \ln0.5\approx-0.69$ とする。

ア. 50
イ. 70
ウ. 90
エ. 110
オ. 130

(1-9)

ある年の全国の都道府県別の観光客数を調査したところ，平均は50万人，標準偏差は50万人であった。翌年の都道府県ごとの観光客数が2倍に増加したとき，変動係数は何倍になるか。次のア〜オのうちから正しいものを一つ選べ。

ア. $\frac14$ 倍
イ. $\frac12$ 倍
ウ. 1倍
エ. 2倍
オ. 4倍

(1-10)

確率変数 $X$ と $Y$ の同時確率分布が次の表で与えられている。

	$Y=1$	$Y=0$
$X=1$	$p_{11}$	$p_{10}$
$X=0$	$p_{01}$	$p_{00}$

確率変数 $X$ と $Y$ に関する記述として，次の(a)〜(e)のうちから適切なものをすべて選んだ組み合わせを，以下のア〜オのうちから一つ選べ。

(a) $X=1$ かつ $Y=0$ となる同時確率は $p_{01}$ である。

(b) $X=0$ となる周辺確率は $p_{01}+p_{00}$ である。

(d) $X=1$ を与えた下で $Y=1$ となる条件付き確率は $\dfrac{p_{11}}{p_{11}+p_{10}}$ である。

(e) $X=1$ を与えた下で $Y=1$ となる条件付き確率は $\dfrac{p_{11}}{p_{10}}$ である。

ア. (a), (c)
イ. (b), (d)
ウ. (b), (e)
エ. (c), (d)
オ. (c), (e)

(1-11)

第一種の過誤確率が5%の独立な検定を2回繰り返した。帰無仮説の下で少なくとも一つの検定で有意になる確率はいくらか。次のア〜オのうちから正しいものを一つ選べ。

ア. 0.0025
イ. 0.025
ウ. 0.05
エ. 0.1
オ. 0.0975

(1-12)

正規近似に基づく信頼区間を算出する際に，信頼係数を両側95%から90%に変更すると，信頼区間の幅は何倍になるか。次のア〜オのうちから最も近い値を一つ選べ。

ア. 0.7倍
イ. 0.75倍
ウ. 0.8倍
エ. 0.85倍
オ. 0.9倍

(1-13)

ある薬剤の効果を調べるために，実薬，プラセボの順に投与される群とプラセボ，実薬の順に投与される群へ対象者をランダムに割り付ける臨床試験を行い，実薬とプラセボで症状の有無を比較した。

	プラセボ投与：症状あり	プラセボ投与：症状なし	合計
実薬投与：症状あり	$A_1$	$B_1$	$N_1$
実薬投与：症状なし	$A_0$	$B_0$	$N_0$
合計	$M_A$	$M_B$	$N$

薬剤の効果を調べる検定の帰無仮説として，次の(a)〜(d)のうちから正しいものをすべて選んだ組み合わせを以下のア〜オのうちから一つ選べ。

(a) $A_1=B_1$

(b) $A_1=B_0$

(d) $\dfrac{N_1}{N}=\dfrac{M_A}{N}$

ア. (a)
イ. (a), (b)
ウ. (c)
エ. (c), (d)
オ. (d)

(1-14)

ある疾患のスクリーニング検査を5,000人の地域住民に対して行った。この検査の感度と特異度がそれぞれいずれも0.9とし，この疾患を有する患者が40人いた場合に，検査で陽性となる人は何人となることが期待されるか。次のア〜オのうちから最も近い値を一つ選べ。

ア. 35人
イ. 50人
ウ. 100人
エ. 500人
オ. 535人

(1-15)

ある希少肺疾患患者500例の肺がん発症確率を調べたところ，20例が肺がんを合併していることがわかった。同様の年齢，性別，喫煙歴をもつ一般集団における肺がんの発症確率が0.1%であった。一般集団と比較し，この希少肺疾患患者の肺がん発症確率が高いかどうかの検定を行う際の計算式について，次の(a)〜(e)のうちから適切な組み合わせを，以下のア〜オのうちから一つ選べ。

(a) 検定統計量の分子は $\dfrac{20}{500}$ である。

(b) 検定統計量の分子は $\dfrac{20}{500}-0.001$ である。

(d) 検定統計量の分母は $\sqrt{\dfrac{20}{500}\left(1-\dfrac{20}{500}\right)}$ である。

(e) 検定統計量の分母は $\sqrt{\dfrac{0.001}{500}(1-0.001)}$ である。

ア. (a), (c)
イ. (a), (d)
ウ. (b), (c)
エ. (b), (d)
オ. (b), (e)

(1-16)

ある疾患の発症の有無に対し，新規治療と標準治療の有効性を比較するランダム化臨床試験を計画した。治療間の有効性の差を評価するための仮説検定の検出力の計算に必要になる要素として適切ではないものを一つ選べ。

ア. 症例数
イ. 登録期間
ウ. 有意水準
エ. 片方の群の疾患発生割合
オ. 疾患発生割合の群間差

(1-17)

1年目の累積生存確率が60%，2年目の累積生存確率が36%であった。1年間あたりの死亡確率は何%と推定されるか。次のア〜オのうちから正しいものを一つ選べ。

ア. 24%
イ. 32%
ウ. 40%
エ. 48%
オ. 52%

(1-18)

ワイブル分布に従う生存時間 $T$ の累積分布関数 $F(t)$ が次で与えられているとする：

F(t)=1-\exp[-(\lambda t)^\gamma].

生存時間 $T$ の確率密度関数として正しいものを次のア〜オのうちから一つ選べ。

ア.

f(t)=\lambda\gamma(\lambda t)^\gamma\exp[-(\lambda t)^{\gamma-1}]

イ.

f(t)=\gamma(\lambda t)^{\gamma-1}\exp[-(\lambda t)^\gamma]

ウ.

f(t)=\lambda\gamma(\lambda t)^{\gamma-1}\exp[-(\lambda t)^\gamma]

エ.

f(t)=\gamma\exp[-(\lambda t)^\gamma]

オ.

f(t)=\lambda\gamma\exp[-(\lambda t)^{\gamma-1}]

(1-19)

ある疾患発症の有無に対する環境汚染物質への曝露の影響を調べる研究を行い，次の分割表が得られた。

	疾患発症あり	疾患発症なし	合計
曝露あり	$A_1$	$B_1$	$N_1$
曝露なし	$A_0$	$B_0$	$N_0$
合計	$M_A$	$M_B$	$N$

オッズ比 $\widehat{\mathrm{OR}}$ の95%信頼区間として，最も近いものを以下のア〜オのうちから一つ選べ。ただし，対数オッズ比 $\ln\widehat{\mathrm{OR}}$ の分布は正規近似ができ，対数オッズ比の分散 $\operatorname{Var}[\ln\widehat{\mathrm{OR}}]$ は次の式で計算できるものとする：

\operatorname{Var}[\ln\widehat{\mathrm{OR}}]=\frac1{A_1}+\frac1{B_1}+\frac1{A_0}+\frac1{B_0}.

ア.

\begin{aligned}\bigl[&\widehat{\mathrm{OR}}-\left(\frac1{A_1}+\frac1{B_1}+\frac1{A_0}+\frac1{B_0}\right),\\&\widehat{\mathrm{OR}}+\left(\frac1{A_1}+\frac1{B_1}+\frac1{A_0}+\frac1{B_0}\right)\bigr]\end{aligned}

イ.

\begin{aligned}\bigl[&\widehat{\mathrm{OR}}-1.96\left(\frac1{A_1}+\frac1{B_1}+\frac1{A_0}+\frac1{B_0}\right),\\&\widehat{\mathrm{OR}}+1.96\left(\frac1{A_1}+\frac1{B_1}+\frac1{A_0}+\frac1{B_0}\right)\bigr]\end{aligned}

ウ.

\begin{aligned}\bigl[&\exp\left[\widehat{\mathrm{OR}}-1.96\sqrt{\frac1{A_1}+\frac1{B_1}+\frac1{A_0}+\frac1{B_0}}\right],\\&\exp\left[\widehat{\mathrm{OR}}+1.96\sqrt{\frac1{A_1}+\frac1{B_1}+\frac1{A_0}+\frac1{B_0}}\right]\bigr]\end{aligned}

エ.

\begin{aligned}\bigl[&\exp\left[\ln(\widehat{\mathrm{OR}})-1.96\sqrt{\frac1{A_1}+\frac1{B_1}+\frac1{A_0}+\frac1{B_0}}\right],\\&\exp\left[\ln(\widehat{\mathrm{OR}})+1.96\sqrt{\frac1{A_1}+\frac1{B_1}+\frac1{A_0}+\frac1{B_0}}\right]\bigr]\end{aligned}

オ.

\begin{aligned}\bigl[&\exp\left[\ln(\widehat{\mathrm{OR}})\div1.96\left(\frac1{A_1}+\frac1{B_1}+\frac1{A_0}+\frac1{B_0}\right)\right],\\&\exp\left[\ln(\widehat{\mathrm{OR}})\times1.96\left(\frac1{A_1}+\frac1{B_1}+\frac1{A_0}+\frac1{B_0}\right)\right]\bigr]\end{aligned}

(1-20)

ある疾患の診断を補助するための検査薬の性能を考える。検査薬の検査結果は連続量で与えられ，検査結果の値があるカットオフ値を超えると陽性，カットオフ値以下であれば陰性とする。検査性能の異なる5つの検査薬各々について，カットオフ値を変化させ，縦軸に検査の特異度，横軸に検査の1−感度をプロットしたとき，次の図の(a)〜(e)のような曲線が得られた。検査性能が最も高いと考えられる検査薬を表す曲線はどれか。以下のア〜オのうちから正しいものを一つ選べ。

検査薬(a)〜(e)の曲線

ア. (a)
イ. (b)
ウ. (c)
エ. (d)
オ. (e)

题目描述

回答以下(1-1)至(1-20)。答题纸上只须按题号顺序写出题号和答案。可按需要参阅另行发放的分布表。

(1-1)

下列茎叶图表示某班数学考试得分的分布。该班数学考试得分的中位数是多少？从以下ア〜オ中选择正确的一项。

频数	茎	叶
1	3	3
2	4	5 7
9	5	2 3 4 4 5 5 5 7 8
7	6	1 2 2 3 5 5 5
3	7	3 6 7
2	8	2 8
1	9	4

ア. 60分
イ. 61分
ウ. 62分
エ. 63分
オ. 64分

(1-2)

为比较减轻某疾病症状的药物有效性，开展了一项两组随机化比较试验。通过视觉模拟量表（Visual Analog Scale，VAS）在基线和治疗后两个时点测量各患者的症状，得到下图。

治疗组A、B的VAS变化量箱线图

对于各组VAS变化量的下列(a)至(d)叙述，从ア〜オ中选择包含全部正确叙述的组合。

(a) A组分布右偏。

(b) B组分布左偏。

(d) A组四分位距大于B组四分位距。

(e) A组极差大于B组极差。

ア. (a), (c)
イ. (a), (d)
ウ. (b), (c)
エ. (b), (d)
オ. (b), (e)

(1-3)

设随机变量 $X$ 的均值和标准差分别为2、4。若定义随机变量 $Y=2X^2$ ， $Y$ 的均值是多少？从下列ア〜オ中选择正确的一项。

ア. 8
イ. 16
ウ. 32
エ. 40
オ. 80

(1-4)

假设某总体的身高 $X$ 服从均值为160cm、标准差为10cm的正态分布。从该群体随机选择1人，其身高至少为170cm的概率是多少？从下列ア〜オ中选择最接近的值。

ア. 0.025
イ. 0.16
ウ. 0.32
エ. 0.5
オ. 0.84

(1-5)

将两个随机变量 $X_1,Y_1$ 的相关系数记为 $\rho$ 。考虑新的随机变量 $X_2=X_1/3$ 和 $Y_2=Y_1+5$ ，从下列ア〜オ中选择 $X_2$ 与 $Y_2$ 的正确相关系数。

ア. $\frac\rho3$
イ. $\frac\rho{\sqrt3}$
ウ. $\rho$
エ. $\sqrt3\rho$
オ. $3\rho$

(1-6)

假设某疾病症状评分 $X$ 取离散值1、2、3，其概率分布如下：

\Pr(X=1)=0.2,\quad\Pr(X=2)=0.5,\quad\Pr(X=3)=0.3.

若100名患者的症状评分相互独立，均服从 $X$ 的概率分布，平均症状评分不超过2的概率是多少？从下列ア〜オ中选择最接近的值。

ア. 0.1
イ. 0.2
ウ. 0.3
エ. 0.4
オ. 0.5

(1-7)

以1:1的分配比，通过简单随机化将4名患者分入两组，所得分组结果中两组人数不相等的概率是多少？从下列ア〜オ中选择正确的一项。

ア. 25%
イ. 37.5%
ウ. 50%
エ. 62.5%
オ. 75%

(1-8)

某问卷调查假设每名调查对象的回答概率为0.99，计算出所有人均回答的概率为0.5。该调查的对象人数是多少？从下列ア〜オ中选择最接近的值。可用 $p\approx1$ 时 $\ln p\approx p-1$ ，以及 $\ln0.5\approx-0.69$ 。

ア. 50
イ. 70
ウ. 90
エ. 110
オ. 130

(1-9)

调查某年全国各都道府县的游客人数，得到均值为50万人、标准差为50万人。如果次年每个都道府县的游客人数均增加为原来的2倍，变异系数会变为多少倍？从下列ア〜オ中选择正确的一项。

ア. $\frac14$ 倍
イ. $\frac12$ 倍
ウ. 1倍
エ. 2倍
オ. 4倍

(1-10)

随机变量 $X$ 与 $Y$ 的联合概率分布如下表所示。

	$Y=1$	$Y=0$
$X=1$	$p_{11}$	$p_{10}$
$X=0$	$p_{01}$	$p_{00}$

对于随机变量 $X,Y$ 的下列(a)至(e)叙述，从ア〜オ中选择包含全部正确叙述的组合。

(a) $X=1$ 且 $Y=0$ 的联合概率为 $p_{01}$ 。

(b) $X=0$ 的边缘概率为 $p_{01}+p_{00}$ 。

(d) 给定 $X=1$ 时， $Y=1$ 的条件概率为 $\dfrac{p_{11}}{p_{11}+p_{10}}$ 。

(e) 给定 $X=1$ 时， $Y=1$ 的条件概率为 $\dfrac{p_{11}}{p_{10}}$ 。

ア. (a), (c)
イ. (b), (d)
ウ. (b), (e)
エ. (c), (d)
オ. (c), (e)

(1-11)

重复进行两次相互独立、第一类错误概率为5%的检验。在原假设成立时，至少一次检验显著的概率是多少？从下列ア〜オ中选择正确的一项。

ア. 0.0025
イ. 0.025
ウ. 0.05
エ. 0.1
オ. 0.0975

(1-12)

计算基于正态近似的置信区间时，若将双侧置信度从95%改为90%，置信区间宽度变为原来的多少倍？从下列ア〜オ中选择最接近的值。

ア. 0.7倍
イ. 0.75倍
ウ. 0.8倍
エ. 0.85倍
オ. 0.9倍

(1-13)

为研究某药物的效果，开展了一项临床试验，将受试者随机分配到先用实际药物再用安慰剂的一组，以及先用安慰剂再用实际药物的一组，并比较使用实际药物和安慰剂时是否有症状。

	服用安慰剂：有症状	服用安慰剂：无症状	合计
服用实际药物：有症状	$A_1$	$B_1$	$N_1$
服用实际药物：无症状	$A_0$	$B_0$	$N_0$
合计	$M_A$	$M_B$	$N$

对于研究药物效果的检验的原假设，从以下ア〜オ中选择包含(a)至(d)中全部正确项的组合。

(a) $A_1=B_1$

(b) $A_1=B_0$

(d) $\dfrac{N_1}{N}=\dfrac{M_A}{N}$

ア. (a)
イ. (a), (b)
ウ. (c)
エ. (c), (d)
オ. (d)

(1-14)

对5,000名社区居民进行某疾病的筛查。假设检查的敏感度和特异度均为0.9，其中有40名患者，则预计检查阳性的人数为多少？从下列ア〜オ中选择最接近的值。

ア. 35人
イ. 50人
ウ. 100人
エ. 500人
オ. 535人

(1-15)

调查500名罕见肺病患者的肺癌发病概率，发现其中20名合并肺癌。年龄、性别、吸烟史相似的一般人群中，肺癌发病概率为0.1%。检验这类罕见肺病患者的肺癌发病概率是否高于一般人群时，对于计算公式，从以下ア〜オ中选择(a)至(e)的适当组合。

(a) 检验统计量的分子为 $\dfrac{20}{500}$ 。

(b) 检验统计量的分子为 $\dfrac{20}{500}-0.001$ 。

(d) 检验统计量的分母为 $\sqrt{\dfrac{20}{500}\left(1-\dfrac{20}{500}\right)}$ 。

(e) 检验统计量的分母为 $\sqrt{\dfrac{0.001}{500}(1-0.001)}$ 。

ア. (a), (c)
イ. (a), (d)
ウ. (b), (c)
エ. (b), (d)
オ. (b), (e)

(1-16)

计划开展随机化临床试验，以是否发病为指标比较新疗法与标准疗法的有效性。从下列选项中选择一项不适合作为计算用于评价疗法间有效性差异的假设检验功效所需的要素。

ア. 样本人数
イ. 入组时间长度
ウ. 显著性水平
エ. 其中一组的疾病发生比例
オ. 两组疾病发生比例之差

(1-17)

第1年的累计生存概率为60%，第2年为36%。估计每年的死亡概率为百分之几？从下列ア〜オ中选择正确的一项。

ア. 24%
イ. 32%
ウ. 40%
エ. 48%
オ. 52%

(1-18)

假设服从Weibull分布的生存时间 $T$ 的累积分布函数 $F(t)$ 如下：

F(t)=1-\exp[-(\lambda t)^\gamma].

从下列ア〜オ中选择生存时间 $T$ 的正确概率密度函数。

ア.

f(t)=\lambda\gamma(\lambda t)^\gamma\exp[-(\lambda t)^{\gamma-1}]

イ.

f(t)=\gamma(\lambda t)^{\gamma-1}\exp[-(\lambda t)^\gamma]

ウ.

f(t)=\lambda\gamma(\lambda t)^{\gamma-1}\exp[-(\lambda t)^\gamma]

エ.

f(t)=\gamma\exp[-(\lambda t)^\gamma]

オ.

f(t)=\lambda\gamma\exp[-(\lambda t)^{\gamma-1}]

(1-19)

研究暴露于环境污染物对某疾病是否发生的影响，得到如下列联表。

	发病	未发病	合计
有暴露	$A_1$	$B_1$	$N_1$
无暴露	$A_0$	$B_0$	$N_0$
合计	$M_A$	$M_B$	$N$

从以下ア〜オ中选择最接近优势比 $\widehat{\mathrm{OR}}$ 的95%置信区间的一项。假设对数优势比 $\ln\widehat{\mathrm{OR}}$ 的分布可用正态分布近似，其方差 $\operatorname{Var}[\ln\widehat{\mathrm{OR}}]$ 可由下式计算：

\operatorname{Var}[\ln\widehat{\mathrm{OR}}]=\frac1{A_1}+\frac1{B_1}+\frac1{A_0}+\frac1{B_0}.

ア.

\begin{aligned}\bigl[&\widehat{\mathrm{OR}}-\left(\frac1{A_1}+\frac1{B_1}+\frac1{A_0}+\frac1{B_0}\right),\\&\widehat{\mathrm{OR}}+\left(\frac1{A_1}+\frac1{B_1}+\frac1{A_0}+\frac1{B_0}\right)\bigr]\end{aligned}

イ.

\begin{aligned}\bigl[&\widehat{\mathrm{OR}}-1.96\left(\frac1{A_1}+\frac1{B_1}+\frac1{A_0}+\frac1{B_0}\right),\\&\widehat{\mathrm{OR}}+1.96\left(\frac1{A_1}+\frac1{B_1}+\frac1{A_0}+\frac1{B_0}\right)\bigr]\end{aligned}

ウ.

\begin{aligned}\bigl[&\exp\left[\widehat{\mathrm{OR}}-1.96\sqrt{\frac1{A_1}+\frac1{B_1}+\frac1{A_0}+\frac1{B_0}}\right],\\&\exp\left[\widehat{\mathrm{OR}}+1.96\sqrt{\frac1{A_1}+\frac1{B_1}+\frac1{A_0}+\frac1{B_0}}\right]\bigr]\end{aligned}

エ.

\begin{aligned}\bigl[&\exp\left[\ln(\widehat{\mathrm{OR}})-1.96\sqrt{\frac1{A_1}+\frac1{B_1}+\frac1{A_0}+\frac1{B_0}}\right],\\&\exp\left[\ln(\widehat{\mathrm{OR}})+1.96\sqrt{\frac1{A_1}+\frac1{B_1}+\frac1{A_0}+\frac1{B_0}}\right]\bigr]\end{aligned}

オ.

\begin{aligned}\bigl[&\exp\left[\ln(\widehat{\mathrm{OR}})\div1.96\left(\frac1{A_1}+\frac1{B_1}+\frac1{A_0}+\frac1{B_0}\right)\right],\\&\exp\left[\ln(\widehat{\mathrm{OR}})\times1.96\left(\frac1{A_1}+\frac1{B_1}+\frac1{A_0}+\frac1{B_0}\right)\right]\bigr]\end{aligned}

(1-20)

考虑辅助诊断某疾病的检测试剂的性能。检测结果为连续量，超过某个截断值时判为阳性，不超过截断值时判为阴性。对于5种性能不同的检测试剂，改变截断值，以特异度为纵轴、1−敏感度为横轴作图，得到下图(a)至(e)的曲线。哪条曲线对应性能最好的检测试剂？从以下ア〜オ中选择正确的一项。

检测试剂(a)至(e)的曲线

ア. (a)
イ. (b)
ウ. (c)
エ. (d)
オ. (e)

Kai

(1-1)

イ. 61点

(1-2)

オ. (b), (e)

(1-3)

エ. 40

なぜなら、

\begin{aligned} E(Y) &= E(2X^2) = 2 E(X^2) = 2 \left( V(X) + E(X)^2 \right) \\ &= 2 \cdot \left( 4^2 + 2^2 \right) = 40 \end{aligned}

(1-4)

イ. 0.16

(1-5)

ウ. $\rho$

(1-6)

ア. 0.1

(1-7)

エ. 62.5%

なぜなら、

\begin{aligned} 1 - {}_4 C_2 \left( \frac{1}{2} \right)^4 = \frac{5}{8} = 0.625 \end{aligned}

(1-8)

イ. 70

なぜなら、求める対象者数を $n$ とすると、

\begin{aligned} 0.99^n &= 0.5 \\ n \ln 0.99 &= \ln 0.5 \\ n \cdot \left( 0.99 - 1 \right) &\approx - 0.69 \\ n &\approx 69 \end{aligned}

したがって，最も近い選択肢はイの $70$ 人である。

(1-9)

ウ. 1倍

平均と標準偏差はいずれも2倍になるため、変動係数は変わらない。

(1-10)

イ. (b), (d)

(1-11)

オ. 0.0975

なぜなら、 $0.05 + 0.05 - 0.05^2 = 0.0975$

(1-12)

エ. 0.85倍

なぜなら、 $\frac{1.65}{1.96} \approx 0.8418$

(1-13)

エ. (c), (d)

帰無仮説は周辺割合が等しいこと、すなわち

\frac{N_1}{N}=\frac{M_A}{N}

である。これは $A_1+B_1=A_1+A_0$ 、すなわち $B_1=A_0$ と同値である。

(1-14)

オ. 535人

陽性者数の期待値は

40 \cdot \frac{9}{10} + 4960 \cdot \frac{1}{10} = 532

なので，最も近い選択肢はオの $535$ 人である。

(1-15)

オ. (b), (e)

(1-16)

イ. 登録期間

(1-17)

ウ. 40%

(1-18)

ウ. $f(t) = \lambda \gamma (\lambda t)^{\gamma - 1} \exp[-(\lambda t)^{\gamma}]$

(1-19)

エ. $\bigg[ \exp \bigg[\ln(\hat{\text{OR}}) - 1.96 \sqrt{(\frac{1}{A_1} + \frac{1}{B_1} + \frac{1}{A_0} + \frac{1}{B_0})} \bigg], \exp \bigg[\ln(\hat{\text{OR}}) + 1.96 \sqrt{(\frac{1}{A_1} + \frac{1}{B_1} + \frac{1}{A_0} + \frac{1}{B_0})} \bigg] \bigg]$

(1-20)

ア. (a)

なぜなら、感度と特異度がともに1に近いところを通っているから。

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東京大学大学院情報学環・学際情報学府公式問題（PDF 2–9 ページ）

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