跳到主要内容

東京大学 学際情報学府 学際情報学専攻 生物統計情報学コース 2018年8月実施 専門科目 第1問

标签：

Author​

Miyake

Description​

題意の要約​

公式問題 PDF

  1. 転移個数を「0個・1個・2個以上」に分類した変数の尺度。
  2. 原図の右裾の長いヒストグラムで最頻値・中央値・平均を比較する（PDF p.2）。
  3. X∼N(50,100)X\sim N(50,100) の P(X≤60)P(X\le60)。
  4. X=(−5,−3,−1,1,3,5)X=(-5,-3,-1,1,3,5)、Y=(13,−2,−11,−11,−2,13)Y=(13,-2,-11,-11,-2,13) の相関。
  5. 6人に A, B を各3人ずつ割り付け、最初の3人が A となる確率。
  6. サイコロの同時分布で X=2X=2 の行が (.02,.08,.03,.03,.01,.01)(.02,.08,.03,.03,.01,.01)。P(Y=1∣X=2)P(Y=1\mid X=2)。
  7. 当たり3本を含む10本を無復元で引き、2番目が当たりとなる確率。
  8. log⁡[p/(1−p)]\log[p/(1-p)] の微分。
  9. 正規分布の MGF eμt+σ2t2/2e^{\mu t+\sigma^2t^2/2} の微分。
  10. 密度 cx2(1−x)2 (0≤x≤1)cx^2(1-x)^2\ (0\le x\le1) の cc。
  11. ∫0∞t−1/2e−t dt\int_0^\infty t^{-1/2}e^{-t}\,dt。
  12. X∼N(3,9),Y∼N(2,4)X\sim N(3,9),Y\sim N(2,4) の E[X2+Y2]E[X^2+Y^2]。
  13. 独立な Xi∼U[0,1]X_i\sim U[0,1]、n=100n=100 に対する P(Xˉ≥.55)P(\bar X\ge.55) の近似。
  14. 率0.3の指数分布の P(T>t2∣T>t1)P(T>t_2\mid T>t_1)（0≤t1<t20\le t_1<t_2）。
  15. Bernoulli(p)(p) 標本平均の標準化。
  16. 有意水準5%、検出力80%の検定における過誤確率。
  17. 100人中30人成功した母比率の近似95%信頼区間。
  18. 男性の飲酒あり/なしが132/88、女性が108/192のときの男女のオッズ比。
  19. 相関0.82・p=.002p=.002 の Anscombe の四散布図から直線関係を判定する（PDF p.8）。
  20. 回帰 SBP~TV の p=.0034p=.0034、調整済み R2=.0007579R^2=.0007579 を解釈する。

题目描述​

各问选择适当选项。

  1. 将转移个数分为“0个、1个、2个以上”，判断该变量的测量尺度。
  2. 比较上方原题 PDF 第2页右尾较长直方图的众数、中位数与均值。
  3. X∼N(50,100)X\sim N(50,100)，求 P(X≤60)P(X\le60)。
  4. 求数据 X=(−5,−3,−1,1,3,5)X=(-5,-3,-1,1,3,5)、Y=(13,−2,−11,−11,−2,13)Y=(13,-2,-11,-11,-2,13) 的相关系数。
  5. 随机给6人分配 A、B，各3人，求前3人全部分到 A 的概率。
  6. 骰子联合分布中 X=2X=2 这一行为 (.02,.08,.03,.03,.01,.01)(.02,.08,.03,.03,.01,.01)，求 P(Y=1∣X=2)P(Y=1\mid X=2)。
  7. 10根签中3根中奖，无放回抽签，求第2根中奖的概率。
  8. 求 log⁡[p/(1−p)]\log[p/(1-p)] 的导数。
  9. 求正态矩母函数 eμt+σ2t2/2e^{\mu t+\sigma^2t^2/2} 的导数。
  10. 密度为 cx2(1−x)2cx^2(1-x)^2（0≤x≤10\le x\le1），求 cc。
  11. 计算 ∫0∞t−1/2e−t dt\int_0^\infty t^{-1/2}e^{-t}\,dt。
  12. X∼N(3,9),Y∼N(2,4)X\sim N(3,9),Y\sim N(2,4)，求 E[X2+Y2]E[X^2+Y^2]。
  13. XiX_i 独立且服从 U[0,1]U[0,1]，n=100n=100，近似求 P(Xˉ≥.55)P(\bar X\ge.55)。
  14. 对率参数为0.3的指数分布，求 P(T>t2∣T>t1)P(T>t_2\mid T>t_1)，其中 0≤t1<t20\le t_1<t_2。
  15. 将 Bernoulli(p)(p) 样本均值标准化。
  16. 显著性水平5%、检验功效80%，判断错误概率。
  17. 100人中30人成功，求总体比例的近似95%置信区间。
  18. 男性饮酒与不饮酒人数为132与88，女性为108与192，求男女优势比。
  19. 根据原题 PDF 第8页相关系数均为0.82、p=.002p=.002 的四幅 Anscombe 散点图，判断线性关系。
  20. 回归 SBP~TV 得到 p=.0034p=.0034、调整后 R2=.0007579R^2=.0007579，解释结果。

Kai​

(1-1)​

イ. 順序尺度

(1-2)​

イ. 最頻値，中央値，平均値

(1-3)​

オ. 84%

Z=(X−50)/10Z=(X-50)/10 より P(X≤60)=Φ(1)≃0.8413P(X\le60)=\Phi(1)\simeq0.8413。

(1-4)​

ウ. 0

なぜなら、プロットすると、y軸に関して対称だから。

(1-5)​

ウ. 0.05

なぜなら、16C3=120=0.05\frac{1}{{}_6 C_3} = \frac{1}{20} = 0.05

(1-6)​

ウ. 0.11

なぜなら、

P(Y=1∣X=2)=P(X=2 and Y=1)P(X=2)=0.020.02+0.08+0.03+0.03+0.01+0.01=19\begin{aligned} P(Y=1 | X=2) &= \frac{P(X=2 \text{ and } Y=1)}{P(X=2)} \\ &= \frac{0.02}{0.02+0.08+0.03+0.03+0.01+0.01} \\ &= \frac{1}{9} \end{aligned}

(1-7)​

エ. 3/10

なぜなら、

31029+71039=2+730=930=310\begin{aligned} \frac{3}{10} \frac{2}{9} + \frac{7}{10} \frac{3}{9} = \frac{2+7}{30} = \frac{9}{30} = \frac{3}{10} \end{aligned}

(1-8)​

エ. 1/p + 1/(1-p)

なぜなら、

ddplog⁡p1−p=ddp(log⁡p−log⁡(1−p))=1p−−11−p=1p+11−p\begin{aligned} \frac{d}{dp} \log \frac{p}{1-p} &= \frac{d}{dp} \left( \log p - \log (1-p) \right) \\ &= \frac{1}{p} - \frac{-1}{1-p} \\ &= \frac{1}{p} + \frac{1}{1-p} \end{aligned}

(1-9)​

エ. (μ+σ2t)exp⁡(μt+σ2t2/2)(\mu + \sigma^2 t ) \exp \left( \mu t + \sigma^2 t^2 / 2 \right)

(1-10)​

オ. 30

なぜなら、

∫01x2(1−x)2dx=∫01(x4−2x3+x2)dx=[x55−x42+x33]01=15−12+13=6−15+1030=130\begin{aligned} \int_0^1 x^2 (1-x)^2 dx &= \int_0^1 (x^4 - 2x^3 + x^2) dx = \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{x^4}{2} + \frac{x^3}{3} \right]_0^1 \\ &= \frac{1}{5} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{6-15+10}{30} = \frac{1}{30} \end{aligned}

(1-11)​

ウ. π\sqrt{\pi}

なぜなら、x=tx = \sqrt{t} とおくと、 x2=t, 2xdx=dtx^2 = t, \ 2xdx=dt であり、

∫0∞t−1/2e−tdt=∫0∞x−1e−x22xdx=2∫0∞e−x2dx=2⋅π2=π\begin{aligned} \int_0^\infty t^{-1/2} e^{-t} dt &= \int_0^\infty x^{-1} e^{-x^2} 2xdx = 2 \int_0^\infty e^{-x^2} dx = 2 \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2} = \sqrt{\pi} \end{aligned}

(1-12)​

オ. 26

なぜなら、期待値と分散をそれぞれ E,VE, V で表すと、

E(X2)=V(X)+E(X)2=9+32=18E(Y2)=V(Y)+E(Y)2=4+22=8E(X2+Y2)=E(X2)+E(Y2)=18+8=26\begin{aligned} E(X^2) &= V(X) + E(X)^2 = 9 + 3^2 = 18 \\ E(Y^2) &= V(Y) + E(Y)^2 = 4 + 2^2 = 8 \\ E(X^2+Y^2) &= E(X^2) + E(Y^2) = 18 + 8 = 26 \end{aligned}

(1-13)​

ウ. 4%

E[Xi]=1/2E[X_i]=1/2、V(Xi)=1/12V(X_i)=1/12 より、中心極限定理で

P(Xˉ≥0.55)≃1−Φ ⁣(0.55−0.51/1200)=1−Φ(3)≃0.0416.P(\bar X\ge0.55)\simeq1-\Phi\!\left(\frac{0.55-0.5}{\sqrt{1/1200}}\right) =1-\Phi(\sqrt3)\simeq0.0416.

(1-14)​

オ. exp⁡(−0.3(t2−t1))\exp (-0.3(t_2-t_1))

なぜなら、 f(t)=λexp⁡(−λt)f(t) = \lambda \exp(- \lambda t) とすると、

P(T>t)=1−∫0tf(s)ds=1−λ∫0te−λsds=1+[e−λs]0t=e−λt∴  P(T>t2∣T>t1)=P(T>t2)P(T>t1)=e−λt2e−λt1=e−λ(t2−t1)\begin{aligned} P(T \gt t) &= 1 - \int_0^t f(s) ds = 1 - \lambda \int_0^t e^{- \lambda s} ds \\ &= 1 + \left[ e^{- \lambda s} \right]_0^t = e^{- \lambda t} \\ \therefore \ \ P(T \gt t_2 | T \gt t_1) &= \frac{P(T \gt t_2)}{P(T \gt t_1)} = \frac{e^{- \lambda t_2}}{e^{- \lambda t_1}} = e^{- \lambda (t_2 - t_1)} \end{aligned}

(1-15)​

オ. (Xˉn−p)/p(1−p)/n\left( \bar{X}_n - p \right) / \sqrt{p(1-p)/n}

(1-16)​

オ. 対立仮説 H1H_1 が正しいとき、帰無仮説 H0H_0 が棄却されない確率は 0.20.2 である。

(1-17)​

ア. (0.21, 0.39)

(1-18)​

オ. 2.67

なぜなら、

13288108192=13288⋅192108=2.66⋯\begin{aligned} \frac{\frac{132}{88}}{\frac{108}{192}} = \frac{132}{88} \cdot \frac{192}{108} = 2.66 \cdots \end{aligned}

(1-19)​

ウ. 直線的な関係を相関係数が適切に表しているのは (a)。

(b) は曲線的、(c) は外れ値、(d) は離れた一点の影響が大きい。同じ相関係数と pp 値でも、散布図の形状は一致しない。

(1-20)​

エ. Adjusted R-squared が 0.0007579 なので、TV により SBP の変動は十分説明されない。

本页目录