東京大学学際情報学府学際情報学専攻生物統計情報学コース 2018年8月実施専門科目第1問

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以下の問い(1-1)〜(1-20)に答えよ。解答用紙には問いの番号と解答のみを，問いの番号の順序に従って記載せよ。なお，別途配布した分布表は適宜参照してよい。

(1-1)

リンパ節への転移は悪性腫瘍の重症度に影響する。所属リンパ節が評価不能であるものを除くと，転移の程度に応じた分類は次のようになる。リンパ節転移に関する変数をこの分類から定義するとき，その尺度としてより適切なものを，以下のア〜オのうちから一つ選べ。

0：所属リンパ節への転移なし

1：所属リンパ節に1個の転移あり

2：所属リンパ節に2個以上の転移あり

ア. 名義尺度
イ. 順序尺度
ウ. 間隔尺度
エ. 比例尺度
オ. 連続尺度

(1-2)

次の図は，ある糖尿病患者集団におけるHbA1cのヒストグラムである。図に対する平均値，中央値，最頻値を小さい順に左から並べたものとして適切なものを，以下のア〜オのうちから一つ選べ。

HbA1cのヒストグラム

ア. 平均値，中央値，最頻値
イ. 最頻値，中央値，平均値
ウ. 中央値，平均値，最頻値
エ. 最頻値，平均値，中央値
オ. 平均値，最頻値，中央値

(1-3)

Quality of life (QOL)に関するある質問票の得点 $X$ が，平均50，分散100の正規分布に従っている。このとき， $X$ が60点以下である人は何%いるか。最も近い値を次のア〜オのうちから一つ選べ。

ア. 10%
イ. 16%
ウ. 32%
エ. 68%
オ. 84%

(1-4)

次の表は，二つの変数 $X,Y$ に関する6人のデータをまとめたものである。この表から計算される $X$ と $Y$ の相関係数として正しいものを，以下のア〜オのうちから一つ選べ。

	1	2	3	4	5	6
$X$	−5	−3	−1	1	3	5
$Y$	13	−2	−11	−11	−2	13

ア. −1
イ. −0.5
ウ. 0
エ. 0.5
オ. 1

(1-5)

治療Aと治療Bのいずれかを，来院した6人の患者に順に割り付ける。治療Aと治療Bの患者が3人ずつになるようにランダムに治療を割り付けるとき，最初の3人に治療A，残る3人に治療Bが割り付けられる確率はいくらか。最も近い値を次のア〜オのうちから一つ選べ。

ア. 0.01
イ. 0.02
ウ. 0.05
エ. 0.10
オ. 0.17

(1-6)

1から6までの六つの目が出るサイコロを二つ投げるとき，出る目の組 $(X,Y)$ の同時確率が次の表で与えられたとする。二つのサイコロを投げたとき， $X=2$ であることがわかっているとすると， $Y=1$ である確率はいくらか。最も近い値を以下のア〜オのうちから一つ選べ。

	$Y=1$	$Y=2$	$Y=3$	$Y=4$	$Y=5$	$Y=6$
$X=1$	0.10	0.02	0.03	0.02	0.01	0.01
$X=2$	0.02	0.08	0.03	0.03	0.01	0.01
$X=3$	0.01	0.02	0.05	0.03	0.01	0.01
$X=4$	0.01	0.01	0.03	0.05	0.02	0.01
$X=5$	0.01	0.01	0.03	0.03	0.08	0.02
$X=6$	0.01	0.01	0.02	0.03	0.02	0.10

ア. 0.02
イ. 0.03
ウ. 0.11
エ. 0.13
オ. 0.17

(1-7)

10本のくじの中に当たりが3本ある。くじは順番に引き，一度引いたくじは戻さない。まだ誰もくじを引いていないとき，2番目の人が当たりを引く確率はいくらか。次のア〜オのうちから正しいものを一つ選べ。

ア. $\frac29$
イ. $\frac39$
ウ. $\frac2{10}$
エ. $\frac3{10}$
オ. $\frac5{18}$

(1-8)

ある確率 $p$ に対する対数オッズ $\log(p/(1-p))$ の $p$ に関する一階微分として正しいものを，次のア〜オのうちから一つ選べ。

ア. $\frac1p$
イ. $\frac1{1-p}$
ウ. $\frac p{1-p}$
エ. $\frac1p+\frac1{1-p}$
オ. $\frac1p-\frac1{1-p}$

(1-9)

正規分布 $N(\mu,\sigma^2)$ のモーメント母関数 $M(t)=\exp(\mu t+\sigma^2t^2/2)$ の導関数として正しいものを，次のア〜オのうちから一つ選べ。

ア.

\mu t+\frac{\sigma^2t^2}{2}

イ.

\exp\left(\mu t+\frac{\sigma^2t^2}{2}\right)

ウ.

\mu t+\frac{\sigma^2t^2}{2}+\exp\left(\mu t+\frac{\sigma^2t^2}{2}\right)

エ.

(\mu+\sigma^2t)\exp\left(\mu t+\frac{\sigma^2t^2}{2}\right)

オ.

\left(\mu t+\frac{\sigma^2t^2}{2}\right)\exp\left(\mu t+\frac{\sigma^2t^2}{2}\right)

(1-10)

確率変数 $X$ の確率密度関数が

f(x)=\begin{cases}cx^2(1-x)^2&(0\le x\le1),\\0&(\text{otherwise})\end{cases}

であるとき， $c$ の値として正しいものを次のア〜オのうちから一つ選べ。

ア. 1
イ. 2
ウ. 6
エ. 12
オ. 30

(1-11)

あるガンマ分布の規格化定数を求めるために $\int_0^\infty t^{-1/2}\exp(-t)\,dt$ を計算した結果として正しいものを，次のア〜オのうちから一つ選べ。

ア. $\frac12$
イ. $1$
ウ. $\sqrt\pi$
エ. $\sqrt e$
オ. $e$

(1-12)

互いに独立な二つの確率変数 $X,Y$ が， $X\sim N(3,9),\ Y\sim N(2,4)$ と正規分布に従うとする。このとき， $X^2+Y^2$ の期待値として正しいものを，次のア〜オのうちから一つ選べ。

ア. 5
イ. 10
ウ. 13
エ. 18
オ. 26

(1-13)

0から1までの連続値をとるVisual Analog Scale (VAS)により，100人の患者の痛みの程度を調べる。VASに関する確率変数 $X_1,\ldots,X_{100}$ が，区間 $[0,1]$ 上の一様分布に独立に従うとき， $\sum_{i=1}^{100}X_i/100$ が0.55以上となる確率はいくらか。最も近い値を次のア〜オのうちから一つ選べ。ただし， $\sqrt2\approx1.414,\ \sqrt3\approx1.732,\ \sqrt5\approx2.236$ である。

ア. 1%
イ. 2%
ウ. 4%
エ. 8%
オ. 16%

(1-14)

死亡するまでの時間 $T$ が，確率密度関数 $f(t)=0.3\exp(-0.3t)\ (t\ge0)$ で表される指数分布に従うとする。時点 $t_1$ まで生存することがわかっているとき，時点 $t_2\ (t_1<t_2)$ まで生存する確率はいくらか。次のア〜オのうちから正しいものを一つ選べ。

ア. $0.3\exp(-0.3t_1)$
イ. $0.3\exp(-0.3t_2)$
ウ. $\exp(-0.3t_1)$
エ. $\exp(-0.3t_2)$
オ. $\exp(-0.3(t_2-t_1))$

(1-15)

$n$ 人の患者について，治療の成功と失敗に関する確率変数 $X_1,\ldots,X_n$ が成功確率 $p\ (0<p<1)$ のベルヌーイ分布に独立に従うとする。 $n$ が十分大きいとき，近似的に標準正規分布に従う統計量として適切なものを，次のア〜オのうちから一つ選べ。ただし， $\bar X_n=\sum_{i=1}^nX_i/n$ である。

ア.

\frac{\bar X_n-p}{p(1-p)}

イ.

\frac{\bar X_n-p}{\sqrt{p(1-p)}}

ウ.

\frac{\bar X_n-p}{n\sqrt{p(1-p)}}

エ.

\frac{\bar X_n-p}{\sqrt{np(1-p)}}

オ.

\frac{\bar X_n-p}{\sqrt{p(1-p)/n}}

(1-16)

帰無仮説を $H_0:\mu=0.6$ ，対立仮説を $H_1:\mu=0.7$ とした仮説検定を考える。有意水準は5%とし，採用した検定手法の検出力は80%であるとする。この仮説検定に関する記述として適切なものを，次のア〜オのうちから一つ選べ。

ア. 第1種の過誤確率は0.5である。
イ. 第1種の過誤確率は0.8である。
ウ. 第2種の過誤確率は0.5である。
エ. 第2種の過誤確率は0.8である。
オ. 対立仮説 $H_1$ が正しいとき，帰無仮説 $H_0$ が棄却されない確率は0.2である。

(1-17)

ある患者集団における治療Cの効果を知るために，ランダムに選ばれた100人の患者に治療Cを行った結果，100人中30人が治癒した。このデータから計算される，治療Cの治癒確率に対する近似的な95%信頼区間として適切なものを，次のア〜オのうちから一つ選べ。ただし， $\sqrt2\approx1.414,\ \sqrt3\approx1.732,\ \sqrt5\approx2.236,\ \sqrt7\approx2.646$ である。

ア. $(0.21,0.39)$
イ. $(0.25,0.35)$
ウ. $(0.29,0.31)$
エ. $(0.61,0.79)$
オ. $(0.65,0.75)$

(1-18)

ある会社の男女に普段の飲酒に関するアンケートを行った結果，次の表が得られた。この表から女性を基準として飲酒ありの確率に関するオッズ比を計算した結果として最も近い値を，次のア〜オのうちから一つ選べ。

	飲酒あり	飲酒なし	合計
男性	132	88	220
女性	108	192	300
合計	240	280	520

ア. 0
イ. 0.26
ウ. 1
エ. 1.78
オ. 2.67

(1-19)

次の四つの散布図において，ピアソンの相関係数 $\rho$ は0.82であり，帰無仮説 $H_0:\rho=0$ に対する検定のp値は0.002であった。これらの散布図に関する記述として適切なものを，以下のア〜オのうちから一つ選べ。

四つの散布図(a)〜(d)

資料：Anscombe FJ, Am Stat 1973

ア. $\rho=0.82$ なので，すべての散布図で $x$ が増加すれば $y$ も増加する。
イ. p値が0.002なので，すべての散布図で $x$ が増加すれば $y$ も増加する。
ウ. 相関係数が $x$ と $y$ の直線の関係を反映しているのは(a)である。
エ. 相関係数に関わらず， $x$ と $y$ が直線の関係にあると考えられる散布図は(a)と(b)のみである。
オ. 相関係数に関わらず， $x$ と $y$ が直線の関係にあると考えられる散布図は(c)と(d)のみである。

(1-20)

1,000人のデータから，テレビ視聴時間(TV)を説明変数として，収縮期血圧(SBP)を説明する線形回帰モデルを推定した結果，次の出力が得られた。この出力結果から考えられる記述として適切なものを，以下のア〜オのうちから一つ選べ。

Call:
lm(formula = SBP ~ TV)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max
-29.6304  -5.4643  -0.1049   5.3252  29.8892

Coefficients:
             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)  124.7933     0.2297   543.39   <2e-16 ***
TV             0.3149     0.1075     2.93   0.0034 **
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 7.991 on 9998 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.0008578, Adjusted R-squared:  0.0007579
F-statistic: 8.584 on 1 and 9998 DF,  p-value: 0.003399

ア. Interceptの $\Pr(>\lvert t\rvert)$ が2e-16なので，SBPの変動はInterceptにより十分説明される。
イ. TVの $\Pr(>\lvert t\rvert)$ が0.0034なので，TVはSBPと関連していない。
ウ. TVの $\Pr(>\lvert t\rvert)$ が0.0034なので，TVによりSBPの変動は十分説明される。
エ. Adjusted R-squaredが0.0007579なので，TVによりSBPの変動は十分説明されない。
オ. F-statisticに関するp値が0.003399なので，TVによりSBPの変動は十分説明される。

题目描述

回答以下(1-1)至(1-20)。答题纸上只须按题号顺序写出题号和答案。可按需要参阅另行发放的分布表。

(1-1)

淋巴结转移影响恶性肿瘤的严重程度。除去区域淋巴结无法评价的情况，按转移程度作如下分类。若按该分类定义淋巴结转移变量，从以下ア〜オ中选择更适当的测量尺度。

0：无区域淋巴结转移

1：有1个区域淋巴结转移

2：有2个及以上区域淋巴结转移

ア. 名义尺度
イ. 顺序尺度
ウ. 区间尺度
エ. 比例尺度
オ. 连续尺度

(1-2)

下图是某糖尿病患者群体的HbA1c直方图。从以下ア〜オ中选择将图对应的均值、中位数和众数由小到大从左向右排列的适当顺序。

HbA1c直方图

ア. 均值、中位数、众数
イ. 众数、中位数、均值
ウ. 中位数、均值、众数
エ. 众数、均值、中位数
オ. 均值、众数、中位数

(1-3)

某份关于生活质量（Quality of life，QOL）的问卷得分 $X$ 服从均值为50、方差为100的正态分布。 $X$ 不超过60分的人占百分之几？从下列ア〜オ中选择最接近的值。

ア. 10%
イ. 16%
ウ. 32%
エ. 68%
オ. 84%

(1-4)

下表汇总了6个人关于两个变量 $X,Y$ 的数据。从以下ア〜オ中选择由该表计算出的 $X$ 与 $Y$ 的正确相关系数。

	1	2	3	4	5	6
$X$	−5	−3	−1	1	3	5
$Y$	13	−2	−11	−11	−2	13

ア. −1
イ. −0.5
ウ. 0
エ. 0.5
オ. 1

(1-5)

依次为前来就诊的6名患者分配治疗A或治疗B。若随机分配且保证两种治疗各有3人，前3人分到治疗A、后3人分到治疗B的概率是多少？从下列ア〜オ中选择最接近的值。

ア. 0.01
イ. 0.02
ウ. 0.05
エ. 0.10
オ. 0.17

(1-6)

掷两枚点数为1至6的骰子，假设所得点数组合 $(X,Y)$ 的联合概率如下表所示。已知 $X=2$ 时， $Y=1$ 的概率是多少？从以下ア〜オ中选择最接近的值。

	$Y=1$	$Y=2$	$Y=3$	$Y=4$	$Y=5$	$Y=6$
$X=1$	0.10	0.02	0.03	0.02	0.01	0.01
$X=2$	0.02	0.08	0.03	0.03	0.01	0.01
$X=3$	0.01	0.02	0.05	0.03	0.01	0.01
$X=4$	0.01	0.01	0.03	0.05	0.02	0.01
$X=5$	0.01	0.01	0.03	0.03	0.08	0.02
$X=6$	0.01	0.01	0.02	0.03	0.02	0.10

ア. 0.02
イ. 0.03
ウ. 0.11
エ. 0.13
オ. 0.17

(1-7)

10根签中有3根中奖签。依次抽签，抽过的签不放回。在尚未有人抽签时，第二个人抽中中奖签的概率是多少？从下列ア〜オ中选择正确的一项。

ア. $\frac29$
イ. $\frac39$
ウ. $\frac2{10}$
エ. $\frac3{10}$
オ. $\frac5{18}$

(1-8)

从下列ア〜オ中选择概率 $p$ 的对数优势 $\log(p/(1-p))$ 关于 $p$ 的正确一阶导数。

ア. $\frac1p$
イ. $\frac1{1-p}$
ウ. $\frac p{1-p}$
エ. $\frac1p+\frac1{1-p}$
オ. $\frac1p-\frac1{1-p}$

(1-9)

正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$ 的矩母函数为 $M(t)=\exp(\mu t+\sigma^2t^2/2)$ 。从下列ア〜オ中选择其正确导函数。

ア.

\mu t+\frac{\sigma^2t^2}{2}

イ.

\exp\left(\mu t+\frac{\sigma^2t^2}{2}\right)

ウ.

\mu t+\frac{\sigma^2t^2}{2}+\exp\left(\mu t+\frac{\sigma^2t^2}{2}\right)

エ.

(\mu+\sigma^2t)\exp\left(\mu t+\frac{\sigma^2t^2}{2}\right)

オ.

\left(\mu t+\frac{\sigma^2t^2}{2}\right)\exp\left(\mu t+\frac{\sigma^2t^2}{2}\right)

(1-10)

随机变量 $X$ 的概率密度函数为

f(x)=\begin{cases}cx^2(1-x)^2&(0\le x\le1),\\0&(\text{otherwise})\end{cases}

从下列ア〜オ中选择正确的 $c$ 值。

ア. 1
イ. 2
ウ. 6
エ. 12
オ. 30

(1-11)

为求某Gamma分布的归一化常数，需要计算 $\int_0^\infty t^{-1/2}\exp(-t)\,dt$ 。从下列ア〜オ中选择正确结果。

ア. $\frac12$
イ. $1$
ウ. $\sqrt\pi$
エ. $\sqrt e$
オ. $e$

(1-12)

假设相互独立的随机变量 $X,Y$ 分别服从正态分布 $X\sim N(3,9),\ Y\sim N(2,4)$ 。从下列ア〜オ中选择 $X^2+Y^2$ 的正确期望值。

ア. 5
イ. 10
ウ. 13
エ. 18
オ. 26

(1-13)

利用取值为0至1之间连续值的视觉模拟量表（Visual Analog Scale，VAS）调查100名患者的疼痛程度。若VAS随机变量 $X_1,\ldots,X_{100}$ 相互独立，均服从区间 $[0,1]$ 上的均匀分布， $\sum_{i=1}^{100}X_i/100$ 至少为0.55的概率是多少？从下列ア〜オ中选择最接近的值。可用 $\sqrt2\approx1.414,\ \sqrt3\approx1.732,\ \sqrt5\approx2.236$ 。

ア. 1%
イ. 2%
ウ. 4%
エ. 8%
オ. 16%

(1-14)

假设死亡前的时间 $T$ 服从密度为 $f(t)=0.3\exp(-0.3t)\ (t\ge0)$ 的指数分布。已知存活至时刻 $t_1$ ，继续存活至时刻 $t_2\ (t_1<t_2)$ 的概率是多少？从下列ア〜オ中选择正确的一项。

ア. $0.3\exp(-0.3t_1)$
イ. $0.3\exp(-0.3t_2)$
ウ. $\exp(-0.3t_1)$
エ. $\exp(-0.3t_2)$
オ. $\exp(-0.3(t_2-t_1))$

(1-15)

对于 $n$ 名患者，假设表示治疗成功或失败的随机变量 $X_1,\ldots,X_n$ 相互独立，服从成功概率为 $p\ (0<p<1)$ 的伯努利分布。当 $n$ 足够大时，从下列ア〜オ中选择近似服从标准正态分布的适当统计量。其中 $\bar X_n=\sum_{i=1}^nX_i/n$ 。

ア.

\frac{\bar X_n-p}{p(1-p)}

イ.

\frac{\bar X_n-p}{\sqrt{p(1-p)}}

ウ.

\frac{\bar X_n-p}{n\sqrt{p(1-p)}}

エ.

\frac{\bar X_n-p}{\sqrt{np(1-p)}}

オ.

\frac{\bar X_n-p}{\sqrt{p(1-p)/n}}

(1-16)

考虑原假设为 $H_0:\mu=0.6$ 、备择假设为 $H_1:\mu=0.7$ 的假设检验。设显著性水平为5%，采用的检验方法功效为80%。从下列ア〜オ中选择关于该检验的适当叙述。

ア. 第一类错误概率为0.5。
イ. 第一类错误概率为0.8。
ウ. 第二类错误概率为0.5。
エ. 第二类错误概率为0.8。
オ. 当备择假设 $H_1$ 正确时，原假设 $H_0$ 未被拒绝的概率为0.2。

(1-17)

为了解治疗C在某患者群体中的效果，对随机选出的100名患者实施治疗C，其中30人治愈。从下列ア〜オ中选择根据这些数据计算的治疗C治愈概率的适当近似95%置信区间。可用 $\sqrt2\approx1.414,\ \sqrt3\approx1.732,\ \sqrt5\approx2.236,\ \sqrt7\approx2.646$ 。

ア. $(0.21,0.39)$
イ. $(0.25,0.35)$
ウ. $(0.29,0.31)$
エ. $(0.61,0.79)$
オ. $(0.65,0.75)$

(1-18)

对某公司的男性和女性进行日常饮酒情况调查，得到下表。从下列ア〜オ中选择根据该表以女性为基准计算饮酒优势比所得的最接近值。

	饮酒	不饮酒	合计
男性	132	88	220
女性	108	192	300
合计	240	280	520

ア. 0
イ. 0.26
ウ. 1
エ. 1.78
オ. 2.67

(1-19)

以下四幅散点图的Pearson相关系数 $\rho$ 均为0.82，对原假设 $H_0:\rho=0$ 的检验p值均为0.002。从以下ア〜オ中选择关于这些散点图的适当叙述。

四幅散点图(a)至(d)

资料：Anscombe FJ, Am Stat 1973

ア. 由于 $\rho=0.82$ ，所有散点图中 $x$ 增加时 $y$ 也增加。
イ. 由于p值为0.002，所有散点图中 $x$ 增加时 $y$ 也增加。
ウ. 相关系数反映 $x$ 与 $y$ 直线关系的是(a)。
エ. 不考虑相关系数，只有(a)和(b)可认为 $x$ 与 $y$ 存在直线关系。
オ. 不考虑相关系数，只有(c)和(d)可认为 $x$ 与 $y$ 存在直线关系。

(1-20)

根据1,000人的数据，以电视观看时间（TV）为解释变量，估计解释收缩压（SBP）的线性回归模型，得到以下输出。从以下ア〜オ中选择可由该输出得出的适当叙述。

Call:
lm(formula = SBP ~ TV)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max
-29.6304  -5.4643  -0.1049   5.3252  29.8892

Coefficients:
             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)  124.7933     0.2297   543.39   <2e-16 ***
TV             0.3149     0.1075     2.93   0.0034 **
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 7.991 on 9998 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.0008578, Adjusted R-squared:  0.0007579
F-statistic: 8.584 on 1 and 9998 DF,  p-value: 0.003399

ア. 由于Intercept的 $\Pr(>\lvert t\rvert)$ 为2e-16，Intercept可以充分解释SBP的变动。
イ. 由于TV的 $\Pr(>\lvert t\rvert)$ 为0.0034，TV与SBP无关。
ウ. 由于TV的 $\Pr(>\lvert t\rvert)$ 为0.0034，TV可以充分解释SBP的变动。
エ. 由于Adjusted R-squared为0.0007579，TV不能充分解释SBP的变动。
オ. 由于F-statistic的p值为0.003399，TV可以充分解释SBP的变动。

Kai

(1-1)

イ. 順序尺度

(1-2)

イ. 最頻値，中央値，平均値

(1-3)

オ. 84%

$Z=(X-50)/10$ より $P(X\le60)=\Phi(1)\simeq0.8413$ 。

(1-4)

ウ. 0

なぜなら、プロットすると、y軸に関して対称だから。

(1-5)

ウ. 0.05

なぜなら、 $\frac{1}{{}_6 C_3} = \frac{1}{20} = 0.05$

(1-6)

ウ. 0.11

なぜなら、

\begin{aligned} P(Y=1 | X=2) &= \frac{P(X=2 \text{ and } Y=1)}{P(X=2)} \\ &= \frac{0.02}{0.02+0.08+0.03+0.03+0.01+0.01} \\ &= \frac{1}{9} \end{aligned}

(1-7)

エ. 3/10

なぜなら、

\begin{aligned} \frac{3}{10} \frac{2}{9} + \frac{7}{10} \frac{3}{9} = \frac{2+7}{30} = \frac{9}{30} = \frac{3}{10} \end{aligned}

(1-8)

エ. 1/p + 1/(1-p)

なぜなら、

\begin{aligned} \frac{d}{dp} \log \frac{p}{1-p} &= \frac{d}{dp} \left( \log p - \log (1-p) \right) \\ &= \frac{1}{p} - \frac{-1}{1-p} \\ &= \frac{1}{p} + \frac{1}{1-p} \end{aligned}

(1-9)

エ. $(\mu + \sigma^2 t ) \exp \left( \mu t + \sigma^2 t^2 / 2 \right)$

(1-10)

オ. 30

なぜなら、

\begin{aligned} \int_0^1 x^2 (1-x)^2 dx &= \int_0^1 (x^4 - 2x^3 + x^2) dx\\ &= \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{x^4}{2} + \frac{x^3}{3} \right]_0^1 \\ &= \frac{1}{5} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{6-15+10}{30} = \frac{1}{30} \end{aligned}

(1-11)

ウ. $\sqrt{\pi}$

なぜなら、 $x = \sqrt{t}$ とおくと、 $x^2 = t, \ 2xdx=dt$ であり、

\begin{aligned} \int_0^\infty t^{-1/2}e^{-t}\,dt &=\int_0^\infty x^{-1}e^{-x^2}2x\,dx\\ &=2\int_0^\infty e^{-x^2}\,dx\\ &=2\cdot\frac{\sqrt\pi}{2}=\sqrt\pi. \end{aligned}

(1-12)

オ. 26

なぜなら、期待値と分散をそれぞれ $E, V$ で表すと、

\begin{aligned} E(X^2) &= V(X) + E(X)^2 = 9 + 3^2 = 18 \\ E(Y^2) &= V(Y) + E(Y)^2 = 4 + 2^2 = 8 \\ E(X^2+Y^2) &= E(X^2) + E(Y^2) = 18 + 8 = 26 \end{aligned}

(1-13)

ウ. 4%

$E[X_i]=1/2$ 、 $V(X_i)=1/12$ より、中心極限定理で

\begin{aligned} P(\bar X\ge0.55)&\simeq1-\Phi\!\left(\frac{0.55-0.5}{\sqrt{1/1200}}\right)\\ &=1-\Phi(\sqrt3)\simeq0.0416. \end{aligned}

(1-14)

オ. $\exp (-0.3(t_2-t_1))$

なぜなら、 $f(t) = \lambda \exp(- \lambda t)$ とすると、

\begin{aligned} P(T \gt t) &= 1 - \int_0^t f(s) ds = 1 - \lambda \int_0^t e^{- \lambda s} ds \\ &= 1 + \left[ e^{- \lambda s} \right]_0^t = e^{- \lambda t} \\ \therefore \ \ P(T \gt t_2 | T \gt t_1) &= \frac{P(T \gt t_2)}{P(T \gt t_1)} = \frac{e^{- \lambda t_2}}{e^{- \lambda t_1}} = e^{- \lambda (t_2 - t_1)} \end{aligned}

(1-15)

オ. $\left( \bar{X}_n - p \right) / \sqrt{p(1-p)/n}$

(1-16)

オ. 対立仮説 $H_1$ が正しいとき、帰無仮説 $H_0$ が棄却されない確率は $0.2$ である。

(1-17)

ア. (0.21, 0.39)

(1-18)

オ. 2.67

なぜなら、

\begin{aligned} \frac{\frac{132}{88}}{\frac{108}{192}} = \frac{132}{88} \cdot \frac{192}{108} = 2.66 \cdots \end{aligned}

(1-19)

ウ. 直線的な関係を相関係数が適切に表しているのは (a)。

(b) は曲線的、(c) は外れ値、(d) は離れた一点の影響が大きい。同じ相関係数と $p$ 値でも、散布図の形状は一致しない。

(1-20)

エ. Adjusted R-squared が 0.0007579 なので、TV により SBP の変動は十分説明されない。

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東京大学大学院情報学環・学際情報学府公式問題（PDF 2–9 ページ）

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