東京大学 学際情報学府 学際情報学専攻 生物統計情報学コース 2018年8月実施 専門科目 第1問

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• Tokyo-University
• Measurement-Scales-and-Summary-Statistics
• Conditional-Density
• Moment-Generating-Function
• Beta-Function
• Gamma-Function
• Exponential-Memoryless-Property
• Central-Limit-Theorem
• Type-II-Error-Interpretation
• Adjusted-R-Squared

Author

Miyake

Description

题目描述

原文的 Description 章节为空，未提供题干、数据、模型、选项或各小问的作答要求，因此无法仅依据题面还原具体问题。

考点

• 测量尺度与描述统计量：标签表明题目涉及按变量的测量尺度选择或解释恰当的汇总统计量，但具体变量未给出。
• 条件密度：标签表明题目要求处理连续随机变量的条件密度，缺少相应联合分布或条件。
• 矩母函数及分布性质：标签表明题目涉及矩母函数、指数分布的无记忆性以及中心极限定理，但原文未给出需计算或证明的对象。
• Beta 函数与 Gamma 函数：标签表明题目涉及这两个特殊函数及其积分关系，具体表达式缺失。
• 第二类错误：标签表明题目考查假设检验中第二类错误的含义，但未提供检验情境。
• 调整决定系数：标签表明题目涉及调整后的 (R^2) 及其模型解释，具体回归设定未提供。

Kai

(1-1)

イ. 順序尺度

(1-2)

イ. 最頻値，中央値，平均値

(1-3)

オ. 84%

なぜなら、ほぼ 5/6 であるから。

(1-4)

ウ. 0

なぜなら、プロットすると、y軸に関して対称だから。

(1-5)

ウ. 0.05

なぜなら、$\frac{1}{{}_6 C_3} = \frac{1}{20} = 0.05$

(1-6)

ウ. 0.11

なぜなら、

$$\begin{aligned} P(Y=1 | X=2) &= \frac{P(X=2 \text{ and } Y=1)}{P(X=2)} \\ &= \frac{0.02}{0.02+0.08+0.03+0.03+0.01+0.01} \\ &= \frac{1}{9} \end{aligned}$$

(1-7)

エ. 3/10

なぜなら、

$$\begin{aligned} \frac{3}{10} \frac{2}{9} + \frac{7}{10} \frac{3}{9} = \frac{2+7}{30} = \frac{9}{30} = \frac{3}{10} \end{aligned}$$

(1-8)

エ. 1/p + 1/(1-p)

なぜなら、

$$\begin{aligned} \frac{d}{dp} \log \frac{p}{1-p} &= \frac{d}{dp} \left( \log p - \log (1-p) \right) \\ &= \frac{1}{p} - \frac{-1}{1-p} \\ &= \frac{1}{p} + \frac{1}{1-p} \end{aligned}$$

(1-9)

エ. $(\mu + \sigma^2 t ) \exp \left( \mu t + \sigma^2 t^2 / 2 \right)$

(1-10)

オ. 30

なぜなら、

$$\begin{aligned} \int_0^1 x^2 (1-x)^2 dx &= \int_0^1 (x^4 - 2x^3 + x^2) dx = \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{x^4}{2} + \frac{x^3}{3} \right]_0^1 \\ &= \frac{1}{5} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{6-15+10}{30} = \frac{1}{30} \end{aligned}$$

(1-11)

ウ. $\sqrt{\pi}$

なぜなら、$x = \sqrt{t}$ とおくと、 $x^2 = t, \ 2xdx=dt$ であり、

$$\begin{aligned} \int_0^\infty t^{-1/2} e^{-t} dt &= \int_0^\infty x^{-1} e^{-x^2} 2xdx = 2 \int_0^\infty e^{-x^2} dx = 2 \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2} = \sqrt{\pi} \end{aligned}$$

(1-12)

オ. 26

なぜなら、期待値と分散をそれぞれ $E, V$ で表すと、

$$\begin{aligned} E(X^2) &= V(X) + E(X)^2 = 9 + 3^2 = 18 \\ E(Y^2) &= V(Y) + E(Y)^2 = 4 + 2^2 = 8 \\ E(X^2+Y^2) &= E(X^2) + E(Y^2) = 18 + 8 = 26 \end{aligned}$$

(1-13)

(1-14)

オ. $\exp (-0.3(t_2-t_1))$

なぜなら、 $f(t) = \lambda \exp(- \lambda t)$ とすると、

$$\begin{aligned} P(T \gt t) &= 1 - \int_0^t f(s) ds = 1 - \lambda \int_0^t e^{- \lambda s} ds \\ &= 1 + \left[ e^{- \lambda s} \right]_0^t = e^{- \lambda t} \\ \therefore \ \ P(T \gt t_2 | T \gt t_1) &= \frac{P(T \gt t_2)}{P(T \gt t_1)} = \frac{e^{- \lambda t_2}}{e^{- \lambda t_1}} = e^{- \lambda (t_2 - t_1)} \end{aligned}$$

(1-15)

オ. $\left( \bar{X}_n - p \right) / \sqrt{p(1-p)/n}$

(1-16)

オ. 対立仮説 $H_1$ が正しいとき、帰無仮説 $H_0$ が棄却されない確率は $0.2$ である。

(1-17)

ア. (0.21, 0.39)

(1-18)

オ. 2.67

なぜなら、

$$\begin{aligned} \frac{\frac{132}{88}}{\frac{108}{192}} = \frac{132}{88} \cdot \frac{192}{108} = 2.66 \cdots \end{aligned}$$

(1-19)

(1-20)

エ. Adjusted R-squared が 0.0007579 なので、TV により SBP の変動は十分説明されない。