東京大学 学際情報学府 学際情報学専攻 生物統計情報学コース 2018年1月実施 専門科目 第2問

标签：

• 东京大学
• 联合分布
• 条件概率密度
• 边缘密度与独立性判定
• 仿射变换下的协方差

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

確率変数 $X$ と $Y$ の同時確率密度関数が次のように与えられている：

$$f_{X,Y}(x,y)=\begin{cases}cxy&(0<x<y<2),\\0&\text{(otherwise)}.\end{cases}$$

ただし，$c$ は定数とする。このとき，以下の問いに答えよ。

(2-1) 定数 $c$ を求めよ。

(2-2) 条件付き確率 $P(0<X<1/4\mid Y=1/2)$ を求めよ。

(2-3) 確率変数 $X$ と $Y$ は独立であるか，理由とあわせて述べよ。

(2-4) 確率変数 $X,Y$ の相関係数 $r_{XY}$ を求めよ。

(2-5) 実数 $a,b,c,d$ を用いて，$U=aX+b,V=cY+d$ という変数変換を考える。このとき，確率変数 $U,V$ の相関係数 $r_{UV}$ と (2-4) で求めた相関係数 $r_{XY}$ の正負はどのような場合に逆であるか，実数 $a,b,c,d$ に関する条件として求めよ。

题目描述

随机变量 $X,Y$ 的联合概率密度函数为

$$f_{X,Y}(x,y)=\begin{cases}cxy&(0<x<y<2),\\0&\text{其他情况}\end{cases}$$

其中 $c$ 为常数。回答下列问题。

(2-1) 求常数 $c$。

(2-2) 求条件概率 $P(0<X<1/4\mid Y=1/2)$。

(2-3) 随机变量 $X,Y$ 是否独立？说明理由。

(2-4) 求随机变量 $X,Y$ 的相关系数 $r_{XY}$。

(2-5) 用实数 $a,b,c,d$ 作变量变换 $U=aX+b,V=cY+d$。在什么情况下，随机变量 $U,V$ 的相关系数 $r_{UV}$ 与 (2-4) 所求的 $r_{XY}$ 符号相反？求出关于实数 $a,b,c,d$ 的条件。

Kai

(2-1)

$$\begin{aligned} \iint_{0 \lt x \lt y \lt 2} xy dx dy &= \int_0^2 \left( \int_0^y x dx \right) y dy \\ &= \int_0^2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^y y dy \\ &= \frac{1}{2} \int_0^2 y^3 dy \\ &= \frac{1}{2} \left[ \frac{y^4}{4} \right]_0^2 \\ &= 2 \\ \therefore \ \ \ \ c &= \frac{1}{2} \end{aligned}$$

(2-2)

条件付き密度を用いると，

$$\begin{aligned} f_Y\left(\frac12\right) &=\int_0^{1/2} f_{X,Y} \left(x, \frac{1}{2} \right) dx \\ &= \frac{1}{4} \int_0^{1/2} x dx\\ &= \frac{1}{4} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^{1/2}\\ &= \frac{1}{2^5}\\ \int_0^{1/4} f_{X,Y} \left(x, \frac{1}{2} \right) dx &= \frac{1}{4} \int_0^{1/4} x dx\\ &= \frac{1}{4} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^{1/4}\\ &= \frac{1}{2^7} \end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned} & P(0 \lt X \lt 1/4 | Y=1/2) = \frac{\frac{1}{2^7}}{\frac{1}{2^5}} = \frac{1}{4} \end{aligned}$$

(2-3)

$X,Y$ の周辺密度関数をそれぞれ $f_X(x), f_Y(y)$ とすると、

$$\begin{aligned} f_X(x) &= \int_x^2 f_{X,Y}(x,y) dy\\ &= \frac{x}{2} \int_x^2 y dy\\ &= \frac{x}{2} \left[ \frac{y^2}{2} \right]_x^2\\ &= \frac{x}{4} \left( 4 - x^2 \right)\\ &= x - \frac{x^3}{4}\\ f_Y(y) &= \int_0^y f_{X,Y}(x,y) dx\\ &= \frac{y}{2} \int_0^y x dx\\ &= \frac{y}{2} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^y\\ &= \frac{y^3}{4} \end{aligned}$$

であるから、 $f_{X,Y}(x,y) \neq f_X(x) f_Y(y)$ であり、 $X$ と $Y$ は独立ではない。

(2-4)

期待値を $E$ で表すと、

$$\begin{aligned} E(X) &= \int_0^2 x f_X(x) dx\\ &= \int_0^2 \left( x^2 - \frac{x^4}{4} \right) dx\\ &= \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{4 \cdot 5} \right]_0^2\\ &= \frac{8}{3} - \frac{8}{5}\\ &= \frac{16}{15}\\ E(Y) &= \int_0^2 y f_Y(y) dy\\ &= \int_0^2 \frac{y^4}{4} dy\\ &= \left[ \frac{y^5}{4 \cdot 5} \right]_0^2\\ &= \frac{2^5}{4 \cdot 5}\\ &= \frac{8}{5}\\ E(XY) &= \iint_{0 \lt x \lt y \lt 2} xy f_{X,Y}(x,y) dx dy\\ &= \frac{1}{2} \int_0^2 \left( \int_0^y x^2 dx \right) y^2 dy\\ &= \frac{1}{2} \int_0^2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^y y^2 dy\\ &= \frac{1}{6} \int_0^2 y^5 dy\\ &= \frac{1}{6} \left[ \frac{y^6}{6} \right]_0^2\\ &= \frac{16}{9}\\ \operatorname{Cov}(X,Y) &= E(XY) - E(X) E(Y)\\ &= \frac{16}{9} - \frac{16}{15} \cdot \frac{8}{5}\\ &= \frac{16}{225}\\ E(X^2) &=\int_0^2x^2f_X(x)\,dx=\frac43,\\ &E(Y^2)=\int_0^2y^2f_Y(y)\,dy=\frac83\\ V(X)&=\frac{44}{225},\\ &V(Y)=\frac{8}{75}\\ &\therefore\\ r_{XY} &=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sqrt{V(X)V(Y)}} =\frac{4}{\sqrt{66}} \end{aligned}$$

(2-5)

$a,c\neq0$ のとき，

$$r_{UV}=\frac{ac}{|a||c|}r_{XY}=\operatorname{sgn}(ac)r_{XY}.$$

したがって，正負が逆になる条件は $ac<0$ である。

Reference

• 大学公表の原題