東京大学 学際情報学府 学際情報学専攻 生物統計情報学コース 2018年1月実施 専門科目 第2問

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

題意の要約

公式問題 PDF

同時密度は $f_{X,Y}(x,y)=cxy$（$0<x<y<2$）、領域外では0。

1. 正規化定数 $c$。
2. $P(0<X<1/4\mid Y=1/2)$。
3. $X,Y$ の独立性を理由とともに判定する。
4. 相関係数 $r_{XY}$。
5. $U=aX+b,\ V=cY+d$ により相関の符号が反転する実数 $a,b,c,d$ の条件。

题目描述

随机变量 $X,Y$ 的联合密度为

$$f_{X,Y}(x,y)= \begin{cases} cxy,&0<x<y<2,\\ 0,&\text{其他}, \end{cases}$$

其中 $c$ 为常数。

1. 求 $c$。
2. 求条件概率 $P(0<X<1/4\mid Y=1/2)$。
3. 判断 $X,Y$ 是否独立，并说明理由。
4. 求相关系数 $r_{XY}$。
5. 令 $U=aX+b,\ V=cY+d$。求 $r_{UV}$ 与 $r_{XY}$ 符号相反时，实数 $a,b,c,d$ 应满足的条件。

Kai

(2-1)

$$\begin{aligned} \iint_{0 \lt x \lt y \lt 2} xy dx dy &= \int_0^2 \left( \int_0^y x dx \right) y dy \\ &= \int_0^2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^y y dy \\ &= \frac{1}{2} \int_0^2 y^3 dy \\ &= \frac{1}{2} \left[ \frac{y^4}{4} \right]_0^2 \\ &= 2 \\ \therefore \ \ \ \ c &= \frac{1}{2} \end{aligned}$$

(2-2)

条件付き密度を用いると，

$$\begin{aligned} f_Y\left(\frac12\right) &=\int_0^{1/2} f_{X,Y} \left(x, \frac{1}{2} \right) dx &= \frac{1}{4} \int_0^{1/2} x dx = \frac{1}{4} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^{1/2} = \frac{1}{2^5} \\ \int_0^{1/4} f_{X,Y} \left(x, \frac{1}{2} \right) dx &= \frac{1}{4} \int_0^{1/4} x dx = \frac{1}{4} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^{1/4} = \frac{1}{2^7} \end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned} P(0 \lt X \lt 1/4 | Y=1/2) = \frac{\frac{1}{2^7}}{\frac{1}{2^5}} = \frac{1}{4} \end{aligned}$$

(2-3)

$X,Y$ の周辺密度関数をそれぞれ $f_X(x), f_Y(y)$ とすると、

$$\begin{aligned} f_X(x) &= \int_x^2 f_{X,Y}(x,y) dy = \frac{x}{2} \int_x^2 y dy = \frac{x}{2} \left[ \frac{y^2}{2} \right]_x^2 = \frac{x}{4} \left( 4 - x^2 \right) = x - \frac{x^3}{4} \\ f_Y(y) &= \int_0^y f_{X,Y}(x,y) dx = \frac{y}{2} \int_0^y x dx = \frac{y}{2} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^y = \frac{y^3}{4} \end{aligned}$$

であるから、 $f_{X,Y}(x,y) \neq f_X(x) f_Y(y)$ であり、 $X$ と $Y$ は独立ではない。

(2-4)

期待値を $E$ で表すと、

$$\begin{aligned} E(X) &= \int_0^2 x f_X(x) dx = \int_0^2 \left( x^2 - \frac{x^4}{4} \right) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{4 \cdot 5} \right]_0^2 = \frac{8}{3} - \frac{8}{5} = \frac{16}{15} \\ E(Y) &= \int_0^2 y f_Y(y) dy = \int_0^2 \frac{y^4}{4} dy = \left[ \frac{y^5}{4 \cdot 5} \right]_0^2 = \frac{2^5}{4 \cdot 5} = \frac{8}{5} \\ E(XY) &= \iint_{0 \lt x \lt y \lt 2} xy f_{X,Y}(x,y) dx dy = \frac{1}{2} \int_0^2 \left( \int_0^y x^2 dx \right) y^2 dy \\ &= \frac{1}{2} \int_0^2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^y y^2 dy = \frac{1}{6} \int_0^2 y^5 dy = \frac{1}{6} \left[ \frac{y^6}{6} \right]_0^2 = \frac{16}{9} \\ \operatorname{Cov}(X,Y) &= E(XY) - E(X) E(Y) = \frac{16}{9} - \frac{16}{15} \cdot \frac{8}{5} = \frac{16}{225} \\ E(X^2) &=\int_0^2x^2f_X(x)\,dx=\frac43, \qquad E(Y^2)=\int_0^2y^2f_Y(y)\,dy=\frac83 \\ V(X)&=\frac{44}{225}, \qquad V(Y)=\frac{8}{75} \\ \therefore\quad r_{XY} &=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sqrt{V(X)V(Y)}} =\frac{4}{\sqrt{66}} \end{aligned}$$

(2-5)

$a,c\neq0$ のとき，

$$r_{UV}=\frac{ac}{|a||c|}r_{XY}=\operatorname{sgn}(ac)r_{XY}.$$

したがって，正負が逆になる条件は $ac<0$ である。